Symmetrische Digitalfilter in der physikalischen
Messtechnik
von
Manfred U. A. Bromba
Februar 1978
Gesamthochschule Paderborn - Fachbereich
6 - Angewandte Physik
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Inhalt
Einführung
1 Diskrete Messfolgen
1.1 Mathematische
Darstellung und Charakterisierung physikalischer Messfolgen
1.1.1 Mathematische
Darstellung
1.1.2 Absolut- und quadratsummierbare
Funktionen
1.1.3 Fastperiodische
und beschränkte Funktionen
1.2 Absolutsummierbare Signale
1.2.1 Einführung
1.2.2 Symmetrieeigenschaften
und Finität
1.2.3 Skalarprodukt,
Normen, Momente
1.2.4 Rechenoperationen
1.2.5 Beispiele
1.2.6 Spektroskopische
Signale
1.3 Störungen
1.3.1 Definition
1.3.2 Störspitzen
1.3.3 Rauschen
1.3.4 Periodische Störungen
1.4 Diskrete Fouriertransformation
1.4.1 Definition
1.4.2 Fouriertransformierte
Signale
1.4.3 Zusammenhang mit
der kontinuierlichen Fouriertransformation
2 Grundlagen digitaler Filter
2.1 Definition
des Digitalfilters
2.1.1 Vorbemerkungen
2.1.2 Definition
2.1.3 Frequenzgang
2.2 Eigenschaften von Digitalfiltern
2.2.1 Universelle
Eigenschaften
2.2.2 Symmetrische Digitalfilter
2.2.3 Finite Digitalfilter
2.2.4 Invertierbare
Digitalfilter
2.2.5 Wertebereich einer
gefilterten Messfolge
2.2.6 Beispiele
2.3 Signaldeformation durch
digitale Filterung
2.3.1 Vorbemerkungen
2.3.2 Eigenfunktionen
eines Digitalfilters
2.3.3 Maximumverschiebung
bei gaußähnlichen Signalen
2.3.4 Höhenreduktion
und Verbreiterung gaußähnlicher Signale
2.3.5 Momentenerhaltung
2.4 Störunterdrückung durch
Digitalfilter
2.4.1 Vorbemerkungen
2.4.2 Rauschunterdrückung
3 Optimale Digitalfilter für
gaußähnliche Signale
3.1 Optimale Digitalfilter
(weißes Rauschen)
3.1.1 Definition
3.1.2 Rechnung
3.1.3 Beispiele
3.2 Symmetrische Polynomfilter
3.2.1 Definition
3.2.2 Rechnung
3.2.3 Fehlerabschätzung
für polynomgefilterte Signale
3.2.4 Beispiele
3.3 Optimale Filterbreite
3.3.1 Effizienz
3.3.2 Optimale Filterbreite
3.3.3 Zur Wahl der Samplingfrequenz
3.4 Optimale Digitalfilter
(farbiges Rauschen)
3.4.1 Vorbemerkungen
3.4.2 Signal und Rauschen
vorgefiltert
3.4.3 Rauschen farbig
bzw. vorgefiltert
3.4.4 Polynomfilter
für farbiges Rauschen
4 Rekursivdarstellung digitaler
Filter
4.1 Einführung
4.1.1 Beschreibung
4.1.2 Stabilitätsprobleme
4.2 Rekursivdarstellung mittels
Fouriertransformation
4.2.1 Theorie
4.2.2 Beispiel: Digitales
RC-Filter
4.3 Rekursivdarstellung von
Polynomfiltern
4.3.1 Theorie
4.3.2 Beispiele
5 Praktisch-numerische Ergebnisse
5.1 Erläuterungen
5.2 Signal-Rausch-Verhältnis
5.3 Signaldeformation
5.4 Beispiel: Eine ENDOR-Messung
6 Anhang
6.1 Grampolynome
6.2 Beweisskizzen
6.3 Symbolliste
Literatur
Stichwortverzeichnis
Einführung
Alle spektroskopischen Messungen enthalten
einen mehr oder weniger großen Rauschanteil, der sich additiv der Signalkurve
überlagert und bei der Auswertung zu Fehlern führt (z. B. wenn
es um die Bestimmung der Lage des Maximums geht).
Bisher war man darauf angewiesen, diesen
Rauschanteil durch elektrische Filter zu vermindern. Diese Filter haben
jedoch den Nachteil, dass sie das Maximum einer Spektrallinie verschieben.
Abhilfe schafft eine Filterung auf digitalem Weg, z. B. unter Einsatz eines
Rechners. Obwohl die Theorie der digitalen Filterung im Großen und Ganzen
als abgeschlossen betrachtet werden kann, sind die Anschauungen darüber,
welcher Art ein Digitalfilter sein muss, um verrauschte spektroskopische
Signale optimal zu glätten, häufig doch recht verworren. Das mag zum
Teil daran liegen, dass vielfach subjektive Vorstellungen über die Eigenschaft
"optimal" bestehen; andererseits scheinen detaillierte praktisch-numerische
Untersuchungen gänzlich zu fehlen.
Aufgabe diese Arbeit ist es, etwas Licht
in dieses Dunkel zu bringen. Dazu gehört auch eine Zusammenstellung theoretischer
Grundlagen in moderner funktionalanalytischer Schreibweise, die sich, ähnlich
wie in der Quantenmechanik, als recht hilfreich erweist.
Das Hauptinteresse gilt den symmetrischen
Polynomfiltern 2M-ten Grades. Sie verschieben auch bei "stärkster" Filterung
nicht die Maxima symmetrischer spektroskopischer Linien und erhalten -
beides im Gegensatz zu elektrische Filtern - alle bis (2M+1)ten Momente
eine Signals exakt. Weiterhin wurden für diese Filter Rekursivdarstellungen
gefunden, die den Rechenaufwand soweit verringern, dass der Einsatz eines
Mikroprozessors auch bei relativ hohen Datenfolgefrequenzen möglich geworden
ist.
1 Diskrete Messfolgen
1.1 Mathematische darstellung
und Charakterisierung physikalischer Messfolgen
1.1.1 Mathematische Darstellung
Unter einer Messfolge wird in dieser Arbeit
die geordnete menge der durch Messung einer physikalische Größe gewonnenen
Messwerte verstanden. Die Messfolge soll die funktionale Abhängigkeit
der Messgröße (z.B. Lichtintensität, Absorption) von einer physikalischen
Variablen (z.B. Zeit, Wellenlänge, Energie, Magnetfeld) repräsentieren.
Werte und Variable einer Messfolge lassen sich prinzipiell jeweils in kontinuierlich
und diskret (Änderung in abzählbaren Schritten gleicher Länge) einteilen.
Abbildung 1.1: Ausschnitt aus einer
kontinuierlichen und einer diskreten Messfolge

|
Wir wollen ausschließlich mit Messfolgen
kontinuierlich verteilter Messwerte arbeiten. Wenn wir also von "diskreter"
oder "kontinuierlicher" Messfolge sprechen, so soll sich das stets auf
die Variable beziehen. In diesem Sinne werden uns in der Regel diskrete
Messfolgen beschäftigen. Ist eine solche Messfolge durch einen Sampling-
bzw Abtastprozess aus einer kontinuierlichen Messfolge hervorgegangen,
nennen wir sie auch "diskretisiert". Der Einfachheit halber nehmen wir
an, jede diskrete Messfolge sei ohne Anfang und ohne Ende, sie enthalte
also unendlich viele Messwerte, die wir dann mit Hilfe aller ganzen Zahlern
(ℤ) von -∞ bis +∞ nummerieren. Aus der physikalischen Variablen (Zeit,
Wellenlänge usw) wird damit eine mathematische. Die Zuordnung zwischen
beiden soll monoton in möglichst einfacher Weise erfolgen, auf dass eine
schnelle Umrechnung in beiden Richtungen jederzeit möglich ist. man stelle
sich unter der mathematischen Variable im Falle einer digital gespeicherten
Messfolge am Besten die Nummerierung des Speicherplatzes vor. Die Wahl
des Nullpunkts ist in der Zuordnungsvorschrift willkürlich, wir passen
sie deshalb den jeweiligen Bedürfnissen an. Dabei wird die Translationsinvarianz
unserer Operationen eine wichtige Rolle spielen.
Unsere Messfolge lässt sich als eine
Abbildung der ganzen Zahlen ℤ (Variable) in die reellen Zahlen ℝ (Messwerte,
einheitenfrei) darstellen. Geben wir der Messfolge das Symbol
f,
so heißt das mathematisch
f:
ℤ →
R.
Für den k-ten Wert schreiben wir f[k]. Wir können die Messfolge
f auch als "Vektor" (unendlichdimensional) ansehen, dessen k-te Komponente
f[k]
(-∞ < k < ∞) wäre. Beide Vorstellungen, nämlich f
als Funktion und
f als Vektor, sind in dieser Arbeit gleichberechtigt.
Im Folgenden werden wir den physikalisch orientierten Begriff "Messfolge"
häufig durch "Funktion" ersetzen. Fassen wir alle nur denkbaren diskreten
Funktionen dieser Art zusammen, so lässt sich ein Vektorraum bilden (Fuchssteiner
1974 S 14):
1.1.2 Absolut- und quadratsummierbare
Funktionen
Besondere Beachtung finden in dieser Arbeit
Funktionen, die absolutsummierbar sind. Das sind solche Funktionen f
∈ V, für die gilt:
Entsprechend für die quadratsummierbaren
Funktionen:
Die absolutsummierbaren und die quadratsummierbaren
Funktionen bilden jeweils Untervektorräume von V:
Definition 1.2
| (i) |
V1
|
≡ {f ∈ V | |
|
|f[k]| < ∞} |
| (ii) |
V2
|
≡ {f ∈ V | |
|
(f[k])² < ∞} |
|
Man kann zeigen, dass V1
⊂ V2 ⊂ V. Jede absolutsummierbare Funktion
ist demnach quadratsummierbar, die Umkehrung gilt nicht.
1.1.3 Fastperiodische
und beschränkte Funktionen
Für alle fastperiodischen Funktionen gilt
definitionsgemäß:
Zu den fastperiodischen Funktionen gehören
insbesondere alle beschränkten Funktionen, die wichtigsten periodischen
Funktionen, die konstante Funktion (die als Gleichanteil einer Messfolge
nicht quadratsummierbar ist) und trivialerweise auch die quadratsummierbaren
Funktionen. Wichtig ist diese Funktionengruppe deshalb, weil viele der
Störungen die sich den gemessenen Signalen additiv überlagern, in ihr
angesiedelt sind. Fastperiodische Funktionen sind aber im Gegensatz zu
allen realisierbaren Messfolgen nicht immer beschränkt, d.h. es gilt i.A.
nicht:
Als Räume der beschränkten und fastperiodischen
Funktionen definieren wir:
Definition 1.3
| (i) |
Vsup
|
≡ {f ∈ V | |
|
| (ii) |
VFP
|
≡ {f ∈ V | |
|
|
1.2 Absolutsummierbare
Signale
1.2.1 Einführung
Was eine absolutsummierbare Funktion ist,
haben wir in Abschnitt 1.1.2 kennengelernt. Unter
einem Signal versteht man nun eine (idealisierte) Messfolge, die, frei
von Fehlern jeglicher Art ("Störungen"), nur auswertbare Informationen
enthält.. Eine wichtige Gruppe sind die fastperiodischen Signale, zu der
z. B. das Niederfrequenzsignal eines Rundfunksenders gehört. Wir wollen
uns jedoch ausschließlich mit Signalen beschäftigen, die absolutsummierbar
sind. Fast alle Messfolgen in der Spektroskopie enthalten nämlich absolutsummierbare
Funktionen als additive Signalbestandteile. So besteht z. B. das Absorptionsspektrum
eines Festkörpers aus einer Vielzahl von mehr oder weniger breiten Linien,
die einzeln genommen jeweils diese Eigenschaft besitzen. Die Messfolge
selbst braucht in ihrer Gesamtheit nicht absolutsummierbar zu sein. Das
wäre z. B. der Fall, wenn das gesamte Spektrum sich theoretisch aus unendlich
vielen Absorptionslinien zusammensetzt oder wenn die Messfolge einen Gleichanteil
enthält.
1.2.2 Symmetrieeigenschaften
und Finität
Zunächst führen wir den sehr nützlichen
Spiegelungs- oder Paritätsoperator S ein. Ein Operator ist (allgemein
gesehen) eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen. Betrachten wir unsere
Funktionen als Vektoren, dürfen wir uns einen linearen Operator übrigens
als (unendlichdimensionale) Matrix vorstellen. Wir setzen deshalb alle
Operatoren wie Matrizen links neben die Funktion, auf die sie wirken sollen:
Af
= g, was gleichbedeutend ist mit
Statt (Af)[k] schreiben wir zukünftig
Af[k].
Verwechslungen sind nicht möglich, da der Ausdruck A(f[k]),
wie man ihn leider häufig findet, keinen Sinn hat. f[k] ist nämlich
eine Zahl, und Operatoren sind ja nicht Abbildungen zwischen skalaren Räumen,
sondern zwischen Vektor- bzw Funktionenräumen.
Die wichtigsten Eigenschaften des Spiegelungsoperators
fassen wir in einem Hilfssatz zusammen:
Sei
| I: |
{ |
|
|
der Einheitsoperator |
Dann gilt:
Hilfssatz 1.1
| (i) |
|
| |
|
|
|
|
Λ
|
|
Λ
|
S(αf + βg) = αSf
+ βSg |
|
α, β ∈ ℝ
|
|
f, g
∈ V2 |
|
|
|
Linearität |
|
|
|
| SS = I |
|
( |
Λ
|
S(Sf) = SSf = f) |
|
|
|
f ∈
V2
|
|
|
|
|
| (iii) |
|
S hat die Eigenwerte ±1 |
|
|
|
Definition 1.5
| (i) |
|
Eine Funktion f ∈ V2
heißt
symmetrisch, wenn |
|
Sf = f |
| |
|
|
|
|
| (ii) |
|
Eine Funktion f ∈ V2
heißt
antisymmetrisch, wenn |
|
Sf = -f |
|
Die symmetrischen und antisymmetrischen
Funktionen sind also gerade die Eigenfunktionen von S. Ein Beispiel
für eine symmetrische Funktion ist eine Gaußkurve, deren Maximum bei
k = 0 liegt. Die manchmal gemessene Ableitung einer Gaußfunktion ist hingegen
antisymmetrisch.
Viele Funktionen, mit denen wir uns beschäftigen
werden, sind außerhalb eines begrenzten Intervalls identisch null. Zu
ihrer Kennzeichnung bedienen wir uns des Projektionsoperators PN.
Definition 1.6
| S: |
{ |
| PNf[k]
≡ |
{ |
| f[k] |
|
|k| ≤ N ∈ ℕ0 |
| 0 |
|
sonst |
|
|
|
Projektionsoperator |
|
Der Projektionsoperator zeichnet sich
durch folgende Eigenschaften aus:
Hilfssatz 1.2
| (i) |
|
| |
|
|
|
|
Λ
|
|
Λ
|
PN(αf
+ βg) = αPNf + βPNg |
|
α, β ∈ ℝ
|
|
f, g
∈ V2 |
|
|
|
Linearität |
| (ii) |
|
| |
|
|
|
|
| PN²
: = PNPN = PN |
|
( |
Λ
|
S(Sf) = SSf = f) |
|
|
|
f ∈
V2
|
|
|
|
|
| (iii) |
|
Die Eigenwerte von PN
sind 0 und 1 |
|
|
|
Definition 1.7
| Eine Funktion f ∈ V heißt
finit,
falls es ein N ∈ ℕ0 gibt, so dass PNf
=
f |
|
Die finiten Funktionen sind damit Eigenfunktionen
von PN. Den Raum der finiten Funktionen nennen wir PNV.
Das soll ein Hinweis darauf sein, dass man PN generell
auf alle Funktionen aus V anwenden kann. Das Resultat ist in jedem
Fall absolutsummierbar.
Definition 1.8
| PNV ≡ { f
∈ V | PNf = f } |
|
Es gilt: PNV
⊂ V1 ⊂ V2 ⊂
Vsup
⊂
VFP.
Anschaulich bedeutet die Anwendung des
Projektionsoperators PN das "Herausschneiden" eines Fensters
von (2N + 1) Werten f[k] aus einer Funktion f,
der Rest (k < −N und k > N) wird null gesetzt.
1.2.3 Skalarprodukt,
Normen, Momente
Dieser Abschnitt ist der Einführung eines
Skalarprodukts und einiger wichtiger Funktionale (Abbildungen, die einer
Funktion eine Zahl zuordnen) gewidmet.
Definition 1.9
| (i) |
|
|
|
|
|
Skalarprodukt |
| (ii) |
|
|
|
|
|
Norm |
| (iii) |
|
|
|
|
|
Eins-Norm |
|
Die Berechtigung dafür, dass die obigen
Gebilde sich Skalarprodukt bzw Norm nennen dürfen, liefern die folgenden
Hilfssätze.
Hilfssatz 1.3
| (i) |
|
|
|
|
|
| <f,g> + <h,g>
= <f + h,g> |
|
|
|
Linearität |
| (ii) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| (iii) |
|
|
|
|
|
|
|
Symmetrie |
| (iv) |
|
|
|
|
|
|
|
Positive Definitheit |
|
Hilfssatz 1.4
| (i) |
|
|
|
|
|
|
|
Positive Definitheit |
| (ii) |
|
|
|
|
|
|
|
Homogenität |
| (iii) |
|
|
|
|
|
| ||f + g|| ≤ ||f||
+ ||g|| |
|
|
Dreiecksungleichung |
|
Der Raum der quadratsummierbaren Funktionen
bildet mit || || einen abzählbar unendlichdimensionalen Hilbertraum.
Hilfssatz 1.5
| (i) |
|
|
|
|
|
|
|
positive Definitheit |
| (ii) |
|
|
|
|
|
|
|
Homogenität |
| (iii) |
|
|
|
|
|
| ||f + g||1 ≤
||f||1 + ||g||1 |
|
|
Symmetrie |
|
Bei der Auswertung von Messfolgen sind
vielfach die Momente eines (absolutsummierbaren) Signals von Bedeutung.
Sie sind, falls sie existieren (was bei höheren Momenten durchaus nicht
selbstverständlich ist), lineare Funktionale.
Definition 1.10
| (i) |
|
|
|
|
|
Moment |
| (ii) |
|
|
|
|
|
m-tes Moment |
|
Die folgenden einfach zu verifizierenden
Formeln sind dazu angetan, spätere Berechnungen erheblich zu vereinfachen.
Zum Schluss dieses Abschnitts seien noch
einige wichtige Ungleichungen angegeben.
Hilfssatz 1.7
| (i) |
|
|
|
|
|
|
| (ii) |
|
|
|
|
|
Jensen-Ungleichung |
| (iv) |
|
|
|
|
|
Schwarz-Ungleichung |
|
Sind alle Werte f[k], k ∈ ℤ
einer Funktion f größer oder gleich null, so gilt in (i) das Gleichheitszeichen.
1.2.4 Rechenoperationen
Die Addition von Funktionen und die Multiplikation
von Funktionen mit Skalaren sind bereits durch die Vektorraumeigenschaften
von V1,
V2 usw festgelegt. Sie erfolgen,
wie man es bei Vektoren gewöhnt ist, komponentenweise. Um unsere Rechnungen
überschaubarer zu machen, führen wir noch zwei weitere Operationen zwischen
absolutsummierbaren Funktionen ein: Die Multiplikation (●) und die Faltung
(∗).
Definition 1.11
| (i) |
|
|
|
|
|
Multiplikation |
| (ii) |
|
|
|
| |
|
|
| (f ∗ g)[k] ≡ |
∑
|
f[n]g[k - n] |
|
n ∈ ℤ
|
|
|
|
Faltung |
|
Hilfssatz 1.8
| (i) |
|
|
|
|
|
|
|
Kommutativität |
| (ii) |
|
|
|
|
|
|
|
Assoziativität |
| (iii) |
|
|
|
|
|
|
|
Distributivität |
|
Die Beweise sind im Fall der Multiplikation
sehr einfach. Bei der Faltung führen Variablensubstitutionen dank der
unendlichen Summationsgrenzen schnell zum Ziel.
Das Einselement der Faltung nennen wir
d.
Es
entspricht der "Dirac-Deltafunktion" im kontinuierlichen Fall und zeichnet
sich dadurch aus, dass gilt:
Abbildung 1.2:
"Einheitsimpuls"
|
Im folgenden Hilfssatz sind als Ergänzung
zu Hilfssatz 1.7 weitere Formeln von Bedeutung
zusammengestellt.
Hilfssatz 1.9
| (i) |
|
|
|
| ||f ● g||1
≤ ||f||1||g||1 |
|
Hölder-Ungleichung |
| (ii) |
|
|
|
| ||f ∗ g||1
≤ ||f||1||g||1 |
|
|
| (iii) |
|
|
|
|
|
| (iv) |
|
|
|
|
|
|
Teil (i) und (ii) sorgen insbesondere
dafür, dass die Multiplikation und die Faltung zweier absolutsummierbarer
Funktionen wieder absolutsummierbar ist.
1.2.5 Beispiele
In der Spektroskopie spielen Gaußfunktionen
als Absorptions- oder Emissionslinien eine wichtige Rolle. Sie haben die
Form:
| fα[k] ≔ exp(- |
|
) |
, |
α ∈ R\{0} |
Abb. 1.3: Gaußfunktion
fα mit α = 10
|
Die Gaußfunktionen sind absolutsummierbar,
symmetrisch, aber nicht finit. Normen und Moment lassen sich nicht elementar
berechnen. Ersetzt man jedoch die Summen durch Integrale, so erhält man
geschlossene Ausdrücke mit einem Fehler, der für α > 1 überraschend
klein ist: Beispiel:
| α = 1 |
|
||f1||² = |
{ |
1.27134...
1.25331... |
|
summiert
integriert |
|
|
|
|
|
|
|
| α = 10 |
|
||f10||² = |
{ |
12.53314...
12.53314... |
|
summiert
integriert |
Ist α sehr groß, kann der Fehler, der
bei der Summation mit Hilfe eines Rechners entsteht, sogar größer sein,
als der der folgenden Abschätzungen:
| µ(fα) = ||fα||1
≈ √(π)α |
|
||fα||²
= √(π/2)α |
Abklingvorgänge (z. B. radioaktiver Zerfall)
verlaufen in der Regel exponentiell:
Die Funktion gα
ist
wieder absolutsummierbar, aber sonst weder symmetrisch oder antisymmetrisch,
noch finit. Die Normen und Momente sind hier insbesondere geometrische
Reihen und lassen sich im Bedarfsfall einfach berechnen. Wie bei der Gaußfunktion
existieren alle Momente.
Abb. 1.4: Exponentielle
Abklingkurve α = 10
|
das dritte Beispiel ist ein synthetisches
Signal, das die Eigenschaften Symmetrie, Absolutsummierbarkeit und Finität
in sich vereint.
Definition 1.13
| wN[k] ≡ |
{ |
1
0 |
|
-N ≤ k ≤ N
sonst |
|
Diese Funktion (Fensterfunktion genannt,
weil gilt: PNf = wN ●
f)
ist in der Theorie der digitalen Filter unentbehrlich.
| µ(wN) = ||wN||1
= ||wN||² = 2N +1 |
Charakteristisch für wN
ist (wie für alle finiten Funktionen), dass sämtliche Momente endlich
sind.
Abb. 1.5: Fensterfunktion
N = 10
|
Schließlich seien noch die Lorentzfunktionen
beschrieben, die wie die Gaußfunktionen als spektroskopische Signale in
Frage kommen:
hα ist symmetrisch,
absolutsummierbar, aber nicht finit. Die Normen und das Moment einer Lorentzfunktion
sind exakt bestimmbar
| µ(hα) = ||hα||1= |
παcoth(πα) |
| ||hα||² = ½πα(coth(πα)
+ |
|
) |
Abb. 1.6: Lorentzfunktion
α = 10
|
Im Vergleich zur Gaußfunktion konvergieren
die Ausläufer einer Lorentzfunktion wesentlich langsamer gegen null. So
verwundert es auch nicht, dass die höheren Moment nicht existieren.
1.2.6 Spektroskopische
Signale
In der Spektroskopie erwartet man idealerweise
Spektren mit "unendlich scharfen" d.h. monochromatischen Emissions- oder
Absorptionsspektren, die irgendwelchen diskreten Energieniveaus zugeordnet
werden können. Dass die Resonanzstellen eines Spektrums diese Eigenschaft
in der Praxis nicht besitzen, sondern um einen Mittelwert herum verschmiert
sind, hat mannigfache Gründe, von denen wir hier einige ansprechen wollen.
In der optischen Spektroskopie verschlechtert
i.A. die endliche Auflösung eines Spektrografen die Schärfe einer Linie.
In Gasentladungen rufen thermische Bewegungen auf Grund des Dopplereffekts
gaußförmige Linienverbreiterungen hervor, wobei der Maxwell-Verteilung
die formgebende Rolle zukommt. Weiterhin hat die endliche Lebensdauer von
Emissionsprozessen (in Festkörpern z. B. durch Phononenstöße veranlasst)
"lorentzförmige" Linien (Abb. 1.6) zur Folge, z.
B. wenn eine Emission irgendwann beginnt und dann die Amplitude exponentiell
abfällt.
Dass jedoch gerade in Festkörperspektren
vorwiegend gaußförmige Linien anzutreffen sind, lässt sich auf folgende
Weise erklären: Betrachtet man zunächst nur einen (Kristallgitter-) Nachbarn
des emittierenden Atoms, so ist festzustellen, dass durch Wechselwirkungskräfte
beliebiger Natur, deren Größe bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilungen
gehorcht, Frequenzverschiebungen entstehen. Die Superposition dieser effekte
von allen Nachbarn bewirkt nach den Zentralen Grenzwertsatz eine Verteilungsfunktion
der Gesamtwechselwirkung, die annähernd gaußförmig ist, wobei die Form
der Einzelverteilungen von untergeordneter Bedeutung ist.
1.3 Störungen
1.3.1 Definition
Als Störungen wollen wir solche additiven
Bestandteile einer Messfolge bezeichnen, die "nichts mit dem zu untersuchenden
physikalischen Ereignis zu tun haben". Störungen entstehen hauptsächlich
im Detektor und im nachfolgenden Verstärker eines Messaufbaus, manchmal
nehmen sie sogar schon im Messobjekt ihren Ursprung. Gemeinsames Charakteristikum
aller Störungen ist ihre Unerwünschtheit: Sie erschweren nämlich die
Auswertung des Signals oder machen sie gar unmöglich.
Zu den Störungen rechnen insbesondere
Nullpunktverschiebungen (Gleichanteile) der Messfolge, einzelne Störspitzen,
regellose Schwankungen des Signals (Rauschen) sowie monofrequent Überlagerungen
(50 Hz-Brummen z. B.). Nullpunktverschiebungen sollen hier nicht behandelt
werden, da sie meist am einfachsten zu eliminieren sind. Voraussetzung
dazu ist natürlich Driftfreiheit, d.h. der Gleichanteil muss für alle
Messpunkte konstant sein.
1.3.2 Störspitzen
Zu den Störspitzen rechnen wir Störungen,
die so "kurzzeitig" auftreten, dass sie bei der Diskretisierung der Messfolge
nur zu einem Punkt aufgelöst werden. Konkret gemeint sind also einzelne
Messpunkte, die aus der Reihe fallen. Verursacht werden sie zum Beispiel
durch Ein- und Ausschaltvorgänge bei leistungsstarken Motoren. Mathematisch
lässt sich eine Störspitze (ohne Beschränkung der Allgemeinheit bei
k = 0) durch den schon bekannten Einheitsimpuls
(Def. 1.12)
beschreiben, wenn wir diesen mit einer Konstante, der Amplitude des "Peaks",
multiplizieren.
1.3.3 Rauschen
Als Rauschen bezeichnen wir eine signalfreie
Messfolge, deren Messwerte regellos um einen "Mittelwert" fluktuieren.
Es sei nicht verschwiegen, dass es auch Signale gibt, die diese Eigenschaft
aufweisen: z. B. die Rauschspannung eines Widerstands beim Rauschthermometer
oder die radioaktive Zerfallskurve bei einer kleinen Zerfallsrate. Solche
Signale werden in dieser Arbeit nicht behandelt.
Wir definieren zwei wichtige Funktionale:
Definition 1.14
| (i) |
|
|
|
<f> ≡ |
|
|
Mittelwert |
| |
|
|
|
|
|
|
|
| (ii) |
|
|
|
σ(f) ≡ |
|
|
Varianz |
|
Zu den Benennungen dieser funktionale
ist anzumerken, dass es sich um einen "Zeit"-Mittelwert und eine "Zeit"-Varianz
handelt, nicht um "Schar"-Werte, wie sie der Statistiker kennt. Um ein
"Schar"-Mittel und eine "Schar"-Varianz zu erhalten, müssen wir in Def.
1.14 an Stelle der Messwerte f[k] unendlich viele Messfolgen
fk gliedweise miteinander addieren (bzw. quadrieren und
addieren und bekämen je eine neue Messfolge (keine Zahlen!). Sind alle
Werte dieser beiden Messfolgen jeweils konstant und identisch mit unserem
Mittelwert bzw. unserer Varianz, so haben wir es mit "ergodischem" Rauschen
zu tun, auf das wir uns in den Ausführungen über Digitalfilter beschränken
wollen. Ferner gehen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit davon aus,
dass der Mittelwert des Rauschens null ist: <f> = 0. Die Varianz
dürfen wir anschaulich als ein Maß für die mittlere Amplitude des Rauschens
ansehen. Sie ist vergleichbar mit der Norm für quadratsummierbare Funktionen,
während der Mittelwert dem Moment entspricht.
Der Korrelationsoperator Θ erlaubt
uns eine weitere Klassifizierung des Rauschens.
Definition 1.15
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Θf[k] ≡ |
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Korrelationsoperator |
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Für <f> = 0 wird die Funktion
Θf
(normierte
Auto-) "Korrelationsfunktion" von f genannt. Sie ist ein Maß für
die Abhängigkeit eines Messwerts f[k] von seinen Nachbarn und hat
für "vernünftiges" Rauschen folgende Eigenschaften:
| (i) |
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Θf[0] = 1 |
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Normiertheit |
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| (ii) |
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Θf ∈
V1 |
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Absolutsummierbarkeit |
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| (iii) |
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ΘSf = Θf
=
SΘf |
( |
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Θf[k] = Θf[-k]) |
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Symmetrie |
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In allen Rechnungen ist sogenanntes weißes
Rauschen am bequemsten zu handhaben.
Definition 1.16
| Θr ≡ d |
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r heißt "weißes" Rauschen |
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Weißes Rauschen liegt also dann vor,
wenn ein Messwert f[k] unabhängig von seinem Nachbarn eine rein
zufällige Größe annimmt. Nichtweißes Rauschen nennen wir "farbig" (korreliert).
Die Verteilungsfunktion ordnet jedem Wert
des Rauschens eine Wahrscheinlichkeit für sein Auftreten innerhalb der
Messfolge zu. Eine Konsequenz des "Zentralen Grenzwertsatzes" ist, dass
Rauschen in der Praxis meist annähernd nach einer Gaußfunktion verteilt
auftritt. Rauschen, das exakt einer Gaußverteilung folgt, ist übrigens
ein Beispiel für eine fastperiodische Funktion, die nicht beschränkt
ist. Es können nämlich, wenn auch mit verschwindend kleiner Wahrscheinlichkeit,
beliebig hohe Werte vorkommen.
Für die Berechnung der Rauschunterdrückung
eines Digitalfilters genügt es vollkommen, wenn vom Rauschen die Korrelationsfunktion
bekannt ist, so dass wir auf Verteilungsfunktionen nicht näher einzugehen
brauchen. Die beiden folgenden Abbildungen zeigen verschieden verteiltes
weißes Rauschen gleicher Varianz.
Abbildung 1.7
Gleichverteiltes weißes Rauschen
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Abbildung 1.8
Gaußverteiltes weißes Rauschen
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1.3.4 Periodische Störungen
In der Praxis macht sich besonders die 50
Hz-Netzwechselspannung mit ihren Oberwellen bemerkbar. Ihre Einflüsse
lassen sich durch geeignet Maßnahmen bei der Analog-Digital-Wandlung ausschalten,
z. B. durch Einsatz von Wandlern, die über die volle 50 Hz-Periode integrieren.
Auch durch digitale Filterung kann ein periodischer Störanteil wirksam
unterdrückt werden.
1.4 Diskrete Fouriertransformation
1.4.1 Definition
An dieser Stelle soll die "diskrete Fouriertransformation"
mathematisch motiviert werden. Aus der Theorie der Fourierreihen wissen
wir, dass sich eine periodische Funktion in eine komplexe Fourierreihe
entwickeln lässt. Erfüllt diese Funktion bestimmte Eigenschaften, so
kann man sicher sein, dass sie an allen Stetigkeitsstellen mit ihrer Fourierreihe
übereinstimmt. Die Koeffizienten der Fourierreihe ermöglichen dann eine
vollständige Bestimmung der periodischen Funktion. Auffallend ist, dass
sich ein periodisches Signal ausschließlich aus Sinus- und Cosinusschwingungen
ganzzahlig
vielfacher Frequenz zusammensetzt. Man spricht deshalb von einem diskreten
Spektrum des kontinuierlichen Signals.
Wir werden diese Anschauung für unsere
Zwecke jetzt umkehren, indem wir die Werte eines diskreten absolutsummierbaren
Signals f ∈
V1 mit den Fourierkoeffizienten
identifizieren. Die daraus gebildete Fourierreihe nennen wir Spektrum von
f und die Operation der Reihenbildung "diskrete Fouriertransformation".
dass dies sinnvoll ist, wird sich in der Theorie der Digitalfilter zeigen.
Definition 1.17
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ℱ f(ω)
≡ |
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Diskrete
Fouriertransformation |
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Das (kontinuierliche!) Spektrum ℱ
f einer diskreten Funktion
f ∈ V1 ist immer
2π-periodisch, die gesamte Information des Signals steckt also in einem
"Frequenz"-Intervall der Länge 2π, wir wählen ]- π, π] (d.h. - π
< ω ≤ π). Spektren absolutsummierbarer Funktionen sind im Übrigen
stetig und beschränkt. Den Raum dieser Spektren wollen wir F ("Frequenzraum")
nennen.
Definition 1.18
| F ≡ { ℱ f | ℱ
f : ]- π, π] → ℂ, f ∈
V1} |
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Definition 1.19
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ℱ -1f[k] ≡ |
1
2π
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Inverse
Fouriertransformation |
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Beide Transformationen sind lineare Operatoren.
Für die Spektren können wir in ähnlicher Weise wie bei den absolut-
bzw quadratsummierbaren Funktionen ein Skalarprodukt und eine Norm definieren:
Definition 1.20
| (i) |
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Skalarprodukt |
| (ii) |
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Norm |
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Die folgenden Eigenschaften geben uns
wiederum die Berechtigung zur Namengebung:
Hilfssatz 1.10
| (i) |
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| (f,g) + (h,g)
= (f + h,g) |
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Linearität |
| (ii) |
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| (iii) |
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Hermitesche
Symmetrie |
| (iv) |
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positive Definitheit |
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Hilfssatz 1.11
| (i) |
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| |||f||| > 0 |
, |
|||o||| = 0 |
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Positive Definitheit |
| (ii) |
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Homogenität |
| (iii) |
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| |||f + g||| ≤ |||f|||
+ |||g||| |
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Dreiecksungleichung |
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Der mathematisch interessierte Leser möge
beachten, dass durch unsere Beschränkung auf riemannintegrable Spektren
(Def. 1.18) der Raum F mit der Norm
||| ||| nicht vollständig, also nur ein Prähilbertraum ist.
1.4.2 Fouriertransformierte
Signale
Wir wollen nun betrachten, wie wichtige Signaleigenschaften,
die wir für absolutsummierbare Funktionen f ∈ V1
definiert haben, im Frequenzraum F aussehen. Tiefergehende Erörterungen
mögen einem Studium der Theorie der Fourierreihen vorbehalten bleiben.
Beginnen wir mit der Parsevalgleichung:
Satz 1.1
| (i) |
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Parseval-Gleichung |
| (ii) |
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Die Symmetrieeigenschaften des Signals
lassen sich mit den Formeln
beschreiben. Man erhält, dass symmetrische
Funktionen ein reelles symmetrisches Spektrum haben, antisymmetrische Funktionen
hingegen ein imaginäres antisymmetrisches.
Für Spektren definieren wir nun eine
Multiplikation (●) und eine Faltung (∗).
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