Symmetrische Digitalfilter in der physikalischen Messtechnik

von

Manfred U. A. Bromba

Februar 1978


Gesamthochschule Paderborn - Fachbereich 6 - Angewandte Physik

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Inhalt

Einführung

1 Diskrete Messfolgen

1.1 Mathematische Darstellung und Charakterisierung physikalischer Messfolgen
1.1.1 Mathematische Darstellung
1.1.2 Absolut- und quadratsummierbare Funktionen
1.1.3 Fastperiodische und beschränkte Funktionen
1.2 Absolutsummierbare Signale
1.2.1 Einführung
1.2.2 Symmetrieeigenschaften und Finität
1.2.3 Skalarprodukt, Normen, Momente
1.2.4 Rechenoperationen
1.2.5 Beispiele
1.2.6 Spektroskopische Signale
1.3 Störungen
1.3.1 Definition
1.3.2 Störspitzen
1.3.3 Rauschen
1.3.4 Periodische Störungen
1.4 Diskrete Fouriertransformation
1.4.1 Definition
1.4.2 Fouriertransformierte Signale
1.4.3 Zusammenhang mit der kontinuierlichen Fouriertransformation
2 Grundlagen digitaler Filter
2.1 Definition des Digitalfilters
2.1.1 Vorbemerkungen
2.1.2 Definition
2.1.3 Frequenzgang
2.2 Eigenschaften von Digitalfiltern
2.2.1 Universelle Eigenschaften
2.2.2 Symmetrische Digitalfilter
2.2.3 Finite Digitalfilter
2.2.4 Invertierbare Digitalfilter
2.2.5 Wertebereich einer gefilterten Messfolge
2.2.6 Beispiele
2.3 Signaldeformation durch digitale Filterung
2.3.1 Vorbemerkungen
2.3.2 Eigenfunktionen eines Digitalfilters
2.3.3 Maximumverschiebung bei gaußähnlichen Signalen
2.3.4 Höhenreduktion und Verbreiterung gaußähnlicher Signale
2.3.5 Momentenerhaltung
2.4 Störunterdrückung durch Digitalfilter
2.4.1 Vorbemerkungen
2.4.2 Rauschunterdrückung
3 Optimale Digitalfilter für gaußähnliche Signale
3.1 Optimale Digitalfilter (weißes Rauschen)
3.1.1 Definition
3.1.2 Rechnung
3.1.3 Beispiele
3.2 Symmetrische Polynomfilter
3.2.1 Definition
3.2.2 Rechnung
3.2.3 Fehlerabschätzung für polynomgefilterte Signale
3.2.4 Beispiele
3.3 Optimale Filterbreite
3.3.1 Effizienz
3.3.2 Optimale Filterbreite
3.3.3 Zur Wahl der Samplingfrequenz
3.4 Optimale Digitalfilter (farbiges Rauschen)
3.4.1 Vorbemerkungen
3.4.2 Signal und Rauschen vorgefiltert
3.4.3 Rauschen farbig bzw. vorgefiltert
3.4.4 Polynomfilter für farbiges Rauschen
4 Rekursivdarstellung digitaler Filter
4.1 Einführung
4.1.1 Beschreibung
4.1.2 Stabilitätsprobleme
4.2 Rekursivdarstellung mittels Fouriertransformation
4.2.1 Theorie
4.2.2 Beispiel: Digitales RC-Filter
4.3 Rekursivdarstellung von Polynomfiltern
4.3.1 Theorie
4.3.2 Beispiele
5 Praktisch-numerische Ergebnisse
5.1 Erläuterungen
5.2 Signal-Rausch-Verhältnis
5.3 Signaldeformation
5.4 Beispiel: Eine ENDOR-Messung
6 Anhang
6.1 Grampolynome
6.2 Beweisskizzen
6.3 Symbolliste
Literatur

Stichwortverzeichnis

Einführung

Alle spektroskopischen Messungen enthalten einen mehr oder weniger großen Rauschanteil, der sich additiv der Signalkurve überlagert und bei der Auswertung zu Fehlern führt  (z. B. wenn es um die Bestimmung der Lage des Maximums geht).

Bisher war man darauf angewiesen, diesen Rauschanteil durch elektrische Filter zu vermindern. Diese Filter haben jedoch den Nachteil, dass sie das Maximum einer Spektrallinie verschieben. Abhilfe schafft eine Filterung auf digitalem Weg, z. B. unter Einsatz eines Rechners. Obwohl die Theorie der digitalen Filterung im Großen und Ganzen als abgeschlossen betrachtet werden kann, sind die Anschauungen darüber, welcher Art ein Digitalfilter sein muss, um verrauschte spektroskopische Signale optimal zu glätten, häufig doch recht verworren. Das mag zum Teil daran liegen, dass vielfach subjektive Vorstellungen über die Eigenschaft "optimal" bestehen; andererseits scheinen detaillierte praktisch-numerische Untersuchungen gänzlich zu fehlen.

Aufgabe diese Arbeit ist es, etwas Licht in dieses Dunkel zu bringen. Dazu gehört auch eine Zusammenstellung theoretischer Grundlagen in moderner funktionalanalytischer Schreibweise, die sich, ähnlich wie in der Quantenmechanik, als recht hilfreich erweist.

Das Hauptinteresse gilt den symmetrischen Polynomfiltern 2M-ten Grades. Sie verschieben auch bei "stärkster" Filterung nicht die Maxima symmetrischer spektroskopischer Linien und erhalten - beides im Gegensatz zu elektrische Filtern - alle bis (2M+1)ten Momente eine Signals exakt. Weiterhin wurden für diese Filter Rekursivdarstellungen gefunden, die den Rechenaufwand soweit verringern, dass der Einsatz eines Mikroprozessors auch bei relativ hohen Datenfolgefrequenzen möglich geworden ist.

1 Diskrete Messfolgen

1.1 Mathematische darstellung und Charakterisierung physikalischer Messfolgen

1.1.1 Mathematische Darstellung

Unter einer Messfolge wird in dieser Arbeit die geordnete menge der durch Messung einer physikalische Größe gewonnenen Messwerte verstanden. Die Messfolge soll die funktionale Abhängigkeit der Messgröße (z.B. Lichtintensität, Absorption) von einer physikalischen Variablen (z.B. Zeit, Wellenlänge, Energie, Magnetfeld) repräsentieren. Werte und Variable einer Messfolge lassen sich prinzipiell jeweils in kontinuierlich und diskret (Änderung in abzählbaren Schritten gleicher Länge) einteilen.
 
Abbildung 1.1:  Ausschnitt aus einer kontinuierlichen und einer diskreten Messfolge

Wir wollen ausschließlich mit Messfolgen kontinuierlich verteilter Messwerte arbeiten. Wenn wir also von "diskreter" oder "kontinuierlicher" Messfolge sprechen, so soll sich das stets auf die Variable beziehen. In diesem Sinne werden uns in der Regel diskrete Messfolgen beschäftigen. Ist eine solche Messfolge durch einen Sampling- bzw Abtastprozess aus einer kontinuierlichen Messfolge hervorgegangen, nennen wir sie auch "diskretisiert". Der Einfachheit halber nehmen wir an, jede diskrete Messfolge sei ohne Anfang und ohne Ende, sie enthalte also unendlich viele Messwerte, die wir dann mit Hilfe aller ganzen Zahlern (ℤ) von -∞ bis +∞ nummerieren. Aus der physikalischen Variablen (Zeit, Wellenlänge usw) wird damit eine mathematische. Die Zuordnung zwischen beiden soll monoton in möglichst einfacher Weise erfolgen, auf dass eine schnelle Umrechnung in beiden Richtungen jederzeit möglich ist. man stelle sich unter der mathematischen Variable im Falle einer digital gespeicherten Messfolge am Besten die Nummerierung des Speicherplatzes vor. Die Wahl des Nullpunkts ist in der Zuordnungsvorschrift willkürlich, wir passen sie deshalb den jeweiligen Bedürfnissen an. Dabei wird die Translationsinvarianz unserer Operationen eine wichtige Rolle spielen.

Unsere Messfolge lässt sich als eine Abbildung der ganzen Zahlen ℤ (Variable) in die reellen Zahlen ℝ (Messwerte, einheitenfrei) darstellen. Geben wir der Messfolge das Symbol f, so heißt das mathematisch f: ℤ → R. Für den k-ten Wert schreiben wir f[k]. Wir können die Messfolge f auch als "Vektor" (unendlichdimensional) ansehen, dessen k-te Komponente f[k] (-∞ < k < ∞) wäre. Beide Vorstellungen, nämlich f als Funktion und f als Vektor, sind in dieser Arbeit gleichberechtigt. Im Folgenden werden wir den physikalisch orientierten Begriff "Messfolge" häufig durch "Funktion" ersetzen. Fassen wir alle nur denkbaren diskreten Funktionen dieser Art zusammen, so lässt sich ein Vektorraum bilden (Fuchssteiner 1974 S 14):
 

Definition 1.1
V ≡ { f | f: ℤ → R}

1.1.2 Absolut- und quadratsummierbare Funktionen

Besondere Beachtung finden in dieser Arbeit Funktionen, die absolutsummierbar sind. Das sind solche Funktionen f ∈ V, für die gilt:
 
∑
 |f[k]|  <  ∞
k ∈ ℤ
      

Entsprechend für die quadratsummierbaren Funktionen:
 

∑
 (f[k])²  <  ∞
k ∈ ℤ
      

Die absolutsummierbaren und die quadratsummierbaren Funktionen bilden jeweils Untervektorräume von V:
 

Definition 1.2
(i)
 V1
 ≡ {f ∈ V | 
 
∑
k∈Z
|f[k]| < ∞}
(ii)
 V2
 ≡ {f ∈ V |
 
∑
k∈Z
(f[k])² < ∞}

Man kann zeigen, dass V1 ⊂ V2 ⊂ V. Jede absolutsummierbare Funktion ist demnach quadratsummierbar, die Umkehrung gilt nicht.

1.1.3 Fastperiodische und beschränkte Funktionen

Für alle fastperiodischen Funktionen gilt definitionsgemäß:
 
 
lim
n → ∞
1
2n + 1
n
∑
k = -n
(f[k])²  < ∞

Zu den fastperiodischen Funktionen gehören insbesondere alle beschränkten Funktionen, die wichtigsten periodischen Funktionen, die konstante Funktion (die als Gleichanteil einer Messfolge nicht quadratsummierbar ist) und trivialerweise auch die quadratsummierbaren Funktionen. Wichtig ist diese Funktionengruppe deshalb, weil viele der Störungen die sich den gemessenen Signalen additiv überlagern, in ihr angesiedelt sind. Fastperiodische Funktionen sind aber im Gegensatz zu allen realisierbaren Messfolgen nicht immer beschränkt, d.h. es gilt i.A. nicht:
 

 
  
sup
 |f[k]| < ∞
k ∈ ℤ  

Als Räume der beschränkten und fastperiodischen Funktionen definieren wir:
 

Definition 1.3
(i)
 Vsup
  ≡ {f ∈ V | 
 
  
sup
 |f[k]| < ∞ }
k ∈ ℤ  
(ii)
 VFP
  ≡ {f ∈ V |
 
lim
n → ∞
1
2n + 1
n
∑
k = -n
(f[k])²  < ∞ }

1.2 Absolutsummierbare Signale

1.2.1 Einführung

Was eine absolutsummierbare Funktion ist, haben wir in Abschnitt 1.1.2 kennengelernt. Unter einem Signal versteht man nun eine (idealisierte) Messfolge, die, frei von Fehlern jeglicher Art ("Störungen"), nur auswertbare Informationen enthält.. Eine wichtige Gruppe sind die fastperiodischen Signale, zu der z. B. das Niederfrequenzsignal eines Rundfunksenders gehört. Wir wollen uns jedoch ausschließlich mit Signalen beschäftigen, die absolutsummierbar sind. Fast alle Messfolgen in der Spektroskopie enthalten nämlich absolutsummierbare Funktionen als additive Signalbestandteile. So besteht z. B. das Absorptionsspektrum eines Festkörpers aus einer Vielzahl von mehr oder weniger breiten Linien, die einzeln genommen jeweils diese Eigenschaft besitzen. Die Messfolge selbst braucht in ihrer Gesamtheit nicht absolutsummierbar zu sein. Das wäre z. B. der Fall, wenn das gesamte Spektrum sich theoretisch aus unendlich vielen Absorptionslinien zusammensetzt oder wenn die Messfolge einen Gleichanteil enthält.

1.2.2 Symmetrieeigenschaften und Finität

Zunächst führen wir den sehr nützlichen Spiegelungs- oder Paritätsoperator S ein. Ein Operator ist (allgemein gesehen) eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen. Betrachten wir unsere Funktionen als Vektoren, dürfen wir uns einen linearen Operator übrigens als (unendlichdimensionale) Matrix vorstellen. Wir setzen deshalb alle Operatoren wie Matrizen links neben die Funktion, auf die sie wirken sollen: Af = g, was gleichbedeutend ist mit
 
Λ
 (Af)[k] = g[k]
k ∈ ℤ

Statt (Af)[k] schreiben wir zukünftig Af[k]. Verwechslungen sind nicht möglich, da der Ausdruck A(f[k]), wie man ihn leider häufig findet, keinen Sinn hat. f[k] ist nämlich eine Zahl, und Operatoren sind ja nicht Abbildungen zwischen skalaren Räumen, sondern zwischen Vektor- bzw Funktionenräumen.
 

Definition 1.4
S:  {
 
V2 → V2
Λ
 Sf[k] ≡ f[-k]
k ∈ ℤ
Spiegelungsoperator

Die wichtigsten Eigenschaften des Spiegelungsoperators fassen wir in einem Hilfssatz zusammen:

Sei

I:  {
V2 → V2
If  = f
der Einheitsoperator
Dann gilt:
 
Hilfssatz 1.1
(i)  
   
Λ
Λ
 S(αf + βg) = αSf + βSg
α, β ∈ ℝ
 f, g ∈ V2
  Linearität
(ii)
 
 
SS = I  (
Λ
 S(Sf) = SSf = f)
f ∈ V2
   
(iii)   S hat die Eigenwerte ±1    
Definition 1.5
(i)   Eine Funktion f ∈ V2 heißt symmetrisch, wenn  Sf = f
       
(ii)   Eine Funktion f ∈ V2 heißt antisymmetrisch, wenn  Sf = -f

Die symmetrischen und antisymmetrischen Funktionen sind also gerade die Eigenfunktionen von S. Ein Beispiel für eine symmetrische Funktion ist eine Gaußkurve, deren Maximum bei k = 0 liegt. Die manchmal gemessene Ableitung einer Gaußfunktion ist hingegen antisymmetrisch.

Viele Funktionen, mit denen wir uns beschäftigen werden, sind außerhalb eines begrenzten Intervalls identisch null. Zu ihrer Kennzeichnung bedienen wir uns des Projektionsoperators PN.
 

Definition 1.6
S:   {
 
 V2 → V2
 PNf[k] ≡   {
 f[k] |k| ≤ N ∈ ℕ0
 0 sonst
Projektionsoperator

Der Projektionsoperator zeichnet sich durch folgende Eigenschaften aus:
 

Hilfssatz 1.2
(i)  
 
Λ
Λ
 PN(αf + βg) = αPNf + βPNg
α, β ∈ ℝ
 f, g ∈ V2
  Linearität
(ii)  
 
PN² : = PNPN = PN (
Λ
 S(Sf) = SSf = f)
f ∈ V2
   
(iii)   Die Eigenwerte von PN sind 0 und 1    
Definition 1.7
Eine Funktion f ∈ V heißt finit, falls es ein N ∈ ℕ0 gibt, so dass PNf = f

Die finiten Funktionen sind damit Eigenfunktionen von PN. Den Raum der finiten Funktionen nennen wir PNV. Das soll ein Hinweis darauf sein, dass man PN generell auf alle Funktionen aus V anwenden kann. Das Resultat ist in jedem Fall absolutsummierbar.
 

Definition 1.8
PNV ≡ { f ∈ V | PNf = f }

Es gilt: PNV ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ Vsup ⊂ VFP.
Anschaulich bedeutet die Anwendung des Projektionsoperators PN das "Herausschneiden" eines Fensters von (2N + 1) Werten f[k] aus einer Funktion f, der Rest (k < −N und k > N) wird null gesetzt.

1.2.3 Skalarprodukt, Normen, Momente

Dieser Abschnitt ist der Einführung eines Skalarprodukts und einiger wichtiger Funktionale (Abbildungen, die einer Funktion eine Zahl zuordnen) gewidmet.
 
Definition 1.9
(i)  
 
Λ
f, g ∈ V2
 
 
<f,g> ≡
∑
 f[n]g[n]
n ∈ ℤ
  Skalarprodukt
(ii)  
 
Λ
f ∈ V2
 
 
||f|| ≡ √<f,f>
 
  Norm
(iii)  
 
Λ
f ∈ V1
 
   
||f||1 ≡
∑
 |f[n]|
n ∈ ℤ
  Eins-Norm

Die Berechtigung dafür, dass die obigen Gebilde sich Skalarprodukt bzw Norm nennen dürfen, liefern die folgenden Hilfssätze.
 

Hilfssatz 1.3
(i)  
 
Λ
f, g, h ∈ V2
<f,g> + <h,g> = <f + h,g>
Linearität
(ii)  
 
Λ
α ∈ ℝ
 
Λ
f, g ∈ V2
 
<αf,g> = α<f,g>
 
(iii)  
 
Λ
f, g ∈ V2
 
<f,g> = <g,f>
Symmetrie
(iv)  
 
Λ
f ∈ V2\{o}
 
<f,f> > 0
Positive Definitheit
Hilfssatz 1.4
(i)  
 
Λ
f ∈ V2\{o}
 
||f|| > 0  ,  ||o|| = 0
Positive Definitheit
(ii)  
 
Λ
α ∈ ℝ
 
Λ
f ∈ V2
 
||αf|| = |α| ||f||
Homogenität
(iii)  
 
Λ
f, g ∈ V2
 
||f + g|| ≤ ||f|| + ||g||
Dreiecksungleichung

Der Raum der quadratsummierbaren Funktionen bildet mit || || einen abzählbar unendlichdimensionalen Hilbertraum.
 

Hilfssatz 1.5
(i)  
 
Λ
f ∈ V1\{o}
 
||f||1 > 0 , ||o||1 = 0
positive Definitheit
(ii)  
 
Λ
α ∈ ℝ
 
Λ
f ∈ V1
 
||αf||1 = |α| ||f||1
Homogenität
(iii)  
 
Λ
f, g ∈ V1
 
||f + g||1 ≤ ||f||1 + ||g||1
Symmetrie

Bei der Auswertung von Messfolgen sind vielfach die Momente eines (absolutsummierbaren) Signals von Bedeutung. Sie sind, falls sie existieren (was bei höheren Momenten durchaus nicht selbstverständlich ist), lineare Funktionale.
 

Definition 1.10
(i)  
 
Λ
f ∈ V1
 
 
µ(f) ≡
∑
 f[n]
n ∈ ℤ
  Moment
(ii)  
 
Λ
m ∈ ℕ
 
   
µm(f) ≡
∑
 nmf[n]
n ∈ ℤ
  m-tes Moment

Die folgenden einfach zu verifizierenden Formeln sind dazu angetan, spätere Berechnungen erheblich zu vereinfachen.
 

Hilfssatz 1.6
(i)  
 
Λ
f, g ∈ V2
 
<Sf,g> = <f,Sg>
(ii)  
 
Λ
f ∈ V2
 
||Sf|| = ||f||
(iii)  
 
Λ
f ∈ V1
 
||Sf||1 = ||f||1
(iv)  
Λ
f ∈ V1
 
µ(Sf) = µ(f)

Zum Schluss dieses Abschnitts seien noch einige wichtige Ungleichungen angegeben.
 

Hilfssatz 1.7
(i)  
 
Λ
f ∈ V1
 
|µ(f)| ≤ ||f||1
(ii)  
 
Λ
f ∈ V1
 
||f|| ≤ ||f||1
Jensen-Ungleichung
(iv)  
 
Λ
f, g ∈ V2
 
||f|| ||g|| ≥ |<f,g>|
Schwarz-Ungleichung

Sind alle Werte f[k], k ∈ ℤ einer Funktion f größer oder gleich null, so gilt in (i) das Gleichheitszeichen.

1.2.4 Rechenoperationen

Die Addition von Funktionen und die Multiplikation von Funktionen mit Skalaren sind bereits durch die Vektorraumeigenschaften von V1, V2 usw festgelegt. Sie erfolgen, wie man es bei Vektoren gewöhnt ist, komponentenweise. Um unsere Rechnungen überschaubarer zu machen, führen wir noch zwei weitere Operationen zwischen absolutsummierbaren Funktionen ein: Die Multiplikation (●) und die Faltung (∗).
 
Definition 1.11
(i)  
 
Λ
Λ
f, g ∈ V1
k ∈ ℤ
 
(f ● g)[k] ≡ f[k]g[k]
Multiplikation
(ii)  
 
Λ
Λ
f, g ∈ V1
 k ∈ ℤ
 
 
(f ∗ g)[k] ≡
∑
 f[n]g[k - n]
n ∈ ℤ
Faltung
Hilfssatz 1.8
(i)
 
Λ
f, g ∈ V1
f●g = g●f
f∗g = g∗f
Kommutativität
(ii)
 
Λ
f, g, h ∈ V1
(f●g)●h = f●(g●h)
(f∗g)∗h = f∗(g∗h)
Assoziativität
(iii)
 
Λ
f, g, h ∈ V1
 
f●(g+h) = f●g+f●h
f∗(g+h) = f∗g+f∗h
Distributivität

Die Beweise sind im Fall der Multiplikation sehr einfach. Bei der Faltung führen Variablensubstitutionen dank der unendlichen Summationsgrenzen schnell zum Ziel.

Das Einselement der Faltung nennen wir d. Es entspricht der "Dirac-Deltafunktion" im kontinuierlichen Fall und zeichnet sich dadurch aus, dass gilt:
 

Λ
 f ∗ d = f
f ∈ V1
Definition 1.12
d[k] ≡  {
1
 k = 0
0
 sonst
Abbildung 1.2:  "Einheitsimpuls"

Im folgenden Hilfssatz sind als Ergänzung zu Hilfssatz 1.7 weitere Formeln von Bedeutung zusammengestellt.
 

Hilfssatz 1.9
(i)  
 
Λ
f, g ∈ V1
 
||f ● g||1 ≤ ||f||1||g||1
Hölder-Ungleichung
(ii)  
 
Λ
f, g ∈ V1
 
||f ∗ g||1 ≤ ||f||1||g||1
 
(iii)  
 
Λ
f, g ∈ V1
 
S(f ∗ g) = Sf ∗ Sg
 
(iv)  
 
Λ
f, g ∈ V1
 
<f ∗ g,h> = <f, Sg ∗ h>
 

Teil (i) und (ii) sorgen insbesondere dafür, dass die Multiplikation und die Faltung zweier absolutsummierbarer Funktionen wieder absolutsummierbar ist.

1.2.5 Beispiele

In der Spektroskopie spielen Gaußfunktionen als Absorptions- oder Emissionslinien eine wichtige Rolle. Sie haben die Form:
 
fα[k] ≔ exp(- 
k²
α²
) , α ∈ R\{0}
Abb. 1.3:  Gaußfunktion fα mit α = 10

Die Gaußfunktionen sind absolutsummierbar, symmetrisch, aber nicht finit. Normen und Moment lassen sich nicht elementar berechnen. Ersetzt man jedoch die Summen durch Integrale, so erhält man geschlossene Ausdrücke mit einem Fehler, der für α > 1 überraschend klein ist: Beispiel:
 

α = 1 ||f1||² =  { 1.27134...
1.25331...		 summiert
integriert
α = 10 ||f10||² = { 12.53314...
12.53314...		   summiert
integriert

Ist α sehr groß, kann der Fehler, der bei der Summation mit Hilfe eines Rechners entsteht, sogar größer sein, als der der folgenden Abschätzungen:
 

µ(fα) = ||fα||1 ≈ √(π)α ||fα||² = √(π/2)α

Abklingvorgänge (z. B. radioaktiver Zerfall) verlaufen in der Regel exponentiell:
 
 

gα[k] ≔ {
exp(-
k
|α|
) k ≥ 0
0 k < 0
 		 α ∈ R\{0}

Die Funktion gα ist wieder absolutsummierbar, aber sonst weder symmetrisch oder antisymmetrisch, noch finit. Die Normen und Momente sind hier insbesondere geometrische Reihen und lassen sich im Bedarfsfall einfach berechnen. Wie bei der Gaußfunktion existieren alle Momente.
 

Abb. 1.4:  Exponentielle Abklingkurve  α = 10

das dritte Beispiel ist ein synthetisches Signal, das die Eigenschaften Symmetrie, Absolutsummierbarkeit und Finität in sich vereint.
 

Definition 1.13
wN[k] ≡  { 1
0		   -N ≤ k ≤ N
sonst

Diese Funktion (Fensterfunktion genannt, weil gilt: PNf = wN ● f) ist in der Theorie der digitalen Filter unentbehrlich.
 

µ(wN) = ||wN||1 = ||wN||² = 2N +1

Charakteristisch für wN ist (wie für alle finiten Funktionen), dass sämtliche Momente endlich sind.
 

Abb. 1.5:  Fensterfunktion N = 10

Schließlich seien noch die Lorentzfunktionen beschrieben, die wie die Gaußfunktionen als spektroskopische Signale in Frage kommen:
 

hα[k] ≔ 
α²
α² + k²

hα ist symmetrisch, absolutsummierbar, aber nicht finit. Die Normen und das Moment einer Lorentzfunktion sind exakt bestimmbar
 

µ(hα) = ||hα||1= παcoth(πα)
||hα||² = ½πα(coth(πα) + 
πα
(sinh(πα))²
)
Abb. 1.6:  Lorentzfunktion α = 10

Im Vergleich zur Gaußfunktion konvergieren die Ausläufer einer Lorentzfunktion wesentlich langsamer gegen null. So verwundert es auch nicht, dass die höheren Moment nicht existieren.

1.2.6 Spektroskopische Signale

In der Spektroskopie erwartet man idealerweise Spektren mit "unendlich scharfen" d.h. monochromatischen Emissions- oder Absorptionsspektren, die irgendwelchen diskreten Energieniveaus zugeordnet werden können. Dass die Resonanzstellen eines Spektrums diese Eigenschaft in der Praxis nicht besitzen, sondern um einen Mittelwert herum verschmiert sind, hat mannigfache Gründe, von denen wir hier einige ansprechen wollen.

In der optischen Spektroskopie verschlechtert i.A. die endliche Auflösung eines Spektrografen die Schärfe einer Linie. In Gasentladungen rufen thermische Bewegungen auf Grund des Dopplereffekts gaußförmige Linienverbreiterungen hervor, wobei der Maxwell-Verteilung die formgebende Rolle zukommt. Weiterhin hat die endliche Lebensdauer von Emissionsprozessen (in Festkörpern z. B. durch Phononenstöße veranlasst) "lorentzförmige" Linien (Abb. 1.6) zur Folge, z. B. wenn eine Emission irgendwann beginnt und dann die Amplitude exponentiell abfällt.

Dass jedoch gerade in Festkörperspektren vorwiegend gaußförmige Linien anzutreffen sind, lässt sich auf folgende Weise erklären: Betrachtet man zunächst nur einen (Kristallgitter-) Nachbarn des emittierenden Atoms, so ist festzustellen, dass durch Wechselwirkungskräfte beliebiger Natur, deren Größe bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilungen gehorcht, Frequenzverschiebungen entstehen. Die Superposition dieser effekte von allen Nachbarn bewirkt nach den Zentralen Grenzwertsatz eine Verteilungsfunktion der Gesamtwechselwirkung, die annähernd gaußförmig ist, wobei die Form der Einzelverteilungen von untergeordneter Bedeutung ist.

1.3 Störungen

1.3.1 Definition

Als Störungen wollen wir solche additiven Bestandteile einer Messfolge bezeichnen, die "nichts mit dem zu untersuchenden physikalischen Ereignis zu tun haben". Störungen entstehen hauptsächlich im Detektor und im nachfolgenden Verstärker eines Messaufbaus, manchmal nehmen sie sogar schon im Messobjekt ihren Ursprung. Gemeinsames Charakteristikum aller Störungen ist ihre Unerwünschtheit: Sie erschweren nämlich die Auswertung des Signals oder machen sie gar unmöglich.

Zu den Störungen rechnen insbesondere Nullpunktverschiebungen (Gleichanteile) der Messfolge, einzelne Störspitzen, regellose Schwankungen des Signals (Rauschen) sowie monofrequent Überlagerungen (50 Hz-Brummen z. B.). Nullpunktverschiebungen sollen hier nicht behandelt werden, da sie meist am einfachsten zu eliminieren sind. Voraussetzung dazu ist natürlich Driftfreiheit, d.h. der Gleichanteil muss für alle Messpunkte konstant sein.

1.3.2 Störspitzen

Zu den Störspitzen rechnen wir Störungen, die so "kurzzeitig" auftreten, dass sie bei der Diskretisierung der Messfolge nur zu einem Punkt aufgelöst werden. Konkret gemeint sind also einzelne Messpunkte, die aus der Reihe fallen. Verursacht werden sie zum Beispiel durch Ein- und Ausschaltvorgänge bei leistungsstarken Motoren. Mathematisch lässt sich eine Störspitze (ohne Beschränkung der Allgemeinheit bei k = 0) durch den schon bekannten Einheitsimpuls
d[k] ≡  { 1
0		 k = 0
sonst
(Def. 1.12) beschreiben, wenn wir diesen mit einer Konstante, der Amplitude des "Peaks", multiplizieren.

1.3.3 Rauschen

Als Rauschen bezeichnen wir eine signalfreie Messfolge, deren Messwerte regellos um einen "Mittelwert" fluktuieren. Es sei nicht verschwiegen, dass es auch Signale gibt, die diese Eigenschaft aufweisen: z. B. die Rauschspannung eines Widerstands beim Rauschthermometer oder die radioaktive Zerfallskurve bei einer kleinen Zerfallsrate. Solche Signale werden in dieser Arbeit nicht behandelt.

Wir definieren zwei wichtige Funktionale:
 

Definition 1.14
(i)  
 
Λ
f ∈ VFP
  <f> ≡ 
 
lim
n → ∞
1
2n + 1
n
∑
k = -n
f[k]
Mittelwert
 
(ii)  
 
f ∈ VFP , <f> = 0
 
  σ(f) ≡ 
 
lim
n → ∞
1
2n + 1
n
∑
k = -n
(f[k])²
Varianz

Zu den Benennungen dieser funktionale ist anzumerken, dass es sich um einen "Zeit"-Mittelwert und eine "Zeit"-Varianz handelt, nicht um "Schar"-Werte, wie sie der Statistiker kennt. Um ein "Schar"-Mittel und eine "Schar"-Varianz zu erhalten, müssen wir in Def. 1.14 an Stelle der Messwerte f[k] unendlich viele Messfolgen fk gliedweise miteinander addieren (bzw. quadrieren und addieren und bekämen je eine neue Messfolge (keine Zahlen!). Sind alle Werte dieser beiden Messfolgen jeweils konstant und identisch mit unserem Mittelwert bzw. unserer Varianz, so haben wir es mit "ergodischem" Rauschen zu tun, auf das wir uns in den Ausführungen über Digitalfilter beschränken wollen. Ferner gehen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit davon aus, dass der Mittelwert des Rauschens null ist: <f> = 0. Die Varianz dürfen wir anschaulich als ein Maß für die mittlere Amplitude des Rauschens ansehen. Sie ist vergleichbar mit der Norm für quadratsummierbare Funktionen, während der Mittelwert dem Moment entspricht.

Der Korrelationsoperator Θ erlaubt uns eine weitere Klassifizierung des Rauschens.
 

Definition 1.15
 
Λ
f∈VFP
 
Λ
k∈Z
Θf[k] ≡ 
 
lim
n→∞
n
∑
 f[m]f[k+m]
m=-n
n
∑
 f[m]f[m]
m=-n
Korrelationsoperator

Für <f> = 0 wird die Funktion Θf (normierte Auto-) "Korrelationsfunktion" von f genannt. Sie ist ein Maß für die Abhängigkeit eines Messwerts f[k] von seinen Nachbarn und hat für "vernünftiges" Rauschen folgende Eigenschaften:
 
 

(i) Θf[0] = 1 Normiertheit
 
(ii) Θf ∈ V1 Absolutsummierbarkeit
(iii) ΘSf = Θf = SΘf  (
 
Λ
k∈Z
 Θf[k] = Θf[-k]) Symmetrie

In allen Rechnungen ist sogenanntes weißes Rauschen am bequemsten zu handhaben.
 

Definition 1.16
Θr ≡ d r heißt "weißes" Rauschen

Weißes Rauschen liegt also dann vor, wenn ein Messwert f[k] unabhängig von seinem Nachbarn eine rein zufällige Größe annimmt. Nichtweißes Rauschen nennen wir "farbig" (korreliert).

Die Verteilungsfunktion ordnet jedem Wert des Rauschens eine Wahrscheinlichkeit für sein Auftreten innerhalb der Messfolge zu. Eine Konsequenz des "Zentralen Grenzwertsatzes" ist, dass Rauschen in der Praxis meist annähernd nach einer Gaußfunktion verteilt auftritt. Rauschen, das exakt einer Gaußverteilung folgt, ist übrigens ein Beispiel für eine fastperiodische Funktion, die nicht beschränkt ist. Es können nämlich, wenn auch mit verschwindend kleiner Wahrscheinlichkeit, beliebig hohe Werte vorkommen.

Für die Berechnung der Rauschunterdrückung eines Digitalfilters genügt es vollkommen, wenn vom Rauschen die Korrelationsfunktion bekannt ist, so dass wir auf Verteilungsfunktionen nicht näher einzugehen brauchen. Die beiden folgenden Abbildungen zeigen verschieden verteiltes weißes Rauschen gleicher Varianz.
 

Abbildung 1.7  Gleichverteiltes weißes Rauschen
Abbildung 1.8  Gaußverteiltes weißes Rauschen

1.3.4 Periodische Störungen

In der Praxis macht sich besonders die 50 Hz-Netzwechselspannung mit ihren Oberwellen bemerkbar. Ihre Einflüsse lassen sich durch geeignet Maßnahmen bei der Analog-Digital-Wandlung ausschalten, z. B. durch Einsatz von Wandlern, die über die volle 50 Hz-Periode integrieren. Auch durch digitale Filterung kann ein periodischer Störanteil wirksam unterdrückt werden.

1.4 Diskrete Fouriertransformation

1.4.1 Definition

An dieser Stelle soll die "diskrete Fouriertransformation" mathematisch motiviert werden. Aus der Theorie der Fourierreihen wissen wir, dass sich eine periodische Funktion in eine komplexe Fourierreihe entwickeln lässt. Erfüllt diese Funktion bestimmte Eigenschaften, so kann man sicher sein, dass sie an allen Stetigkeitsstellen mit ihrer Fourierreihe übereinstimmt. Die Koeffizienten der Fourierreihe ermöglichen dann eine vollständige Bestimmung der periodischen Funktion. Auffallend ist, dass sich ein periodisches Signal ausschließlich aus Sinus- und Cosinusschwingungen ganzzahlig vielfacher Frequenz zusammensetzt. Man spricht deshalb von einem diskreten Spektrum des kontinuierlichen Signals.

Wir werden diese Anschauung für unsere Zwecke jetzt umkehren, indem wir die Werte eines diskreten absolutsummierbaren Signals f ∈ V1 mit den Fourierkoeffizienten identifizieren. Die daraus gebildete Fourierreihe nennen wir Spektrum von f und die Operation der Reihenbildung "diskrete Fouriertransformation". dass dies sinnvoll ist, wird sich in der Theorie der Digitalfilter zeigen.
 

Definition 1.17
 
 
Λ
f∈V1
 
Λ
ω∈R
ℱ f(ω) ≡ 
 
∑
 f[k]exp(- ωk)
k∈Z
Diskrete
Fouriertransformation

Das (kontinuierliche!) Spektrum ℱ f einer diskreten Funktion f ∈ V1 ist immer 2π-periodisch, die gesamte Information des Signals steckt also in einem "Frequenz"-Intervall der Länge 2π, wir wählen ]- π, π] (d.h. - π < ω ≤ π). Spektren absolutsummierbarer Funktionen sind im Übrigen stetig und beschränkt. Den Raum dieser Spektren wollen wir F ("Frequenzraum") nennen.
 

Definition 1.18
F ≡ { ℱ f | ℱ f : ]- π, π] → ℂ,  f ∈ V1} 

 
Definition 1.19
 
 
Λ
f∈F
 
Λ
k∈Z
ℱ -1f[k] ≡ 
1
2π
π 
∫
 f(ω)exp(iωk)dω
-π
Inverse
Fouriertransformation

Beide Transformationen sind lineare Operatoren. Für die Spektren können wir in ähnlicher Weise wie bei den absolut- bzw quadratsummierbaren Funktionen ein Skalarprodukt und eine Norm definieren:
 

Definition 1.20
(i)  
 
Λ
f, g ∈ F
 
 
π
(f,g) ≡
∫
 f(ω)*g(ω)
-π
  Skalarprodukt
(ii)  
 
Λ
f ∈ F
 
 
|||f||| ≡ √(f,f)
 
  Norm

Die folgenden Eigenschaften geben uns wiederum die Berechtigung zur Namengebung:
 

Hilfssatz 1.10
(i)  
 
Λ
f, g, h ∈ F
 
(f,g) + (h,g) = (f + h,g)
Linearität
(ii)  
 
Λ
α ∈ ℂ
 
Λ
f, g ∈ F
 
(αf,g) = α*(f,g)
 
(iii)  
 
Λ
f, g ∈ F
 
(f,g) = (g,f)*
Hermitesche
Symmetrie
(iv)  
 
Λ
f ∈ F\{o}
 
(f,f) > 0
positive Definitheit
Hilfssatz 1.11
(i)  
 
Λ
f ∈ F\{o}
 
|||f||| > 0  ,  |||o||| = 0
Positive Definitheit
(ii)  
 
Λ
α ∈ ℂ
 
Λ
f ∈ F
 
|||αf||| = |α| |||f|||
Homogenität
(iii)  
 
Λ
f, g ∈ F
 
|||f + g||| ≤ |||f||| + |||g|||
Dreiecksungleichung

Der mathematisch interessierte Leser möge beachten, dass durch unsere Beschränkung auf riemannintegrable Spektren (Def. 1.18) der Raum F mit der Norm ||| ||| nicht vollständig, also nur ein Prähilbertraum ist.

1.4.2 Fouriertransformierte Signale

Wir wollen nun betrachten, wie wichtige Signaleigenschaften, die wir für absolutsummierbare Funktionen f ∈ V1 definiert haben, im Frequenzraum F aussehen. Tiefergehende Erörterungen mögen einem Studium der Theorie der Fourierreihen vorbehalten bleiben. Beginnen wir mit der Parsevalgleichung:
 
Satz 1.1
(i)  
 
Λ
f ∈ V1
 
||f|| = |||ℱ f|||
  Parseval-Gleichung
(ii)  
 
Λ
f, g ∈ V1
 
<f,g> = (ℱ f,ℱIg)
 

Die Symmetrieeigenschaften des Signals lassen sich mit den Formeln
 

Hilfssatz 1.12
(i)  
 
Λ
f ∈ V1
 
Λ
ω∈]- π, π]
 
ℱ f(ω)* = ℱ f(-ω)
(ii)  
 
Λ
f ∈ V1
 
ℱ Sf = ℱ f*

beschreiben. Man erhält, dass symmetrische Funktionen ein reelles symmetrisches Spektrum haben, antisymmetrische Funktionen hingegen ein imaginäres antisymmetrisches.

Für Spektren definieren wir nun eine Multiplikation (●) und eine Faltung (∗).