Dieses Dokument benötigt zur einwandfreien Formelzeichendarstellung die Installation der Schriftart "Arial Unicode MS"

Symmetrische Digitalfilter in der physikalischen Messtechnik

von

Manfred U. A. Bromba

Februar 1978

Gesamthochschule Paderborn - Fachbereich 6 - Angewandte Physik

Neu erfasste Version - kann Übertragungsfehler enthalten!

Inhalt

Einführung

1 Diskrete Messfolgen

1.1 Mathematische Darstellung und Charakterisierung physikalischer Messfolgen

1.1.1 Mathematische Darstellung
1.1.2 Absolut- und quadratsummierbare Funktionen
1.1.3 Fastperiodische und beschränkte Funktionen
1.2 Absolutsummierbare Signale
1.2.1 Einführung
1.2.2 Symmetrieeigenschaften und Finität
1.2.3 Skalarprodukt, Normen, Momente
1.2.4 Rechenoperationen
1.2.5 Beispiele
1.2.6 Spektroskopische Signale
1.3 Störungen
1.3.1 Definition
1.3.2 Störspitzen
1.3.3 Rauschen
1.3.4 Periodische Störungen
1.4 Diskrete Fouriertransformation
1.4.1 Definition
1.4.2 Fouriertransformierte Signale
1.4.3 Zusammenhang mit der kontinuierlichen Fouriertransformation

2 Grundlagen digitaler Filter

2.1 Definition des Digitalfilters
2.1.1 Vorbemerkungen
2.1.2 Definition
2.1.3 Frequenzgang
2.2 Eigenschaften von Digitalfiltern
2.2.1 Universelle Eigenschaften
2.2.2 Symmetrische Digitalfilter
2.2.3 Finite Digitalfilter
2.2.4 Invertierbare Digitalfilter
2.2.5 Wertebereich einer gefilterten Messfolge
2.2.6 Beispiele
2.3 Signaldeformation durch digitale Filterung
2.3.1 Vorbemerkungen
2.3.2 Eigenfunktionen eines Digitalfilters
2.3.3 Maximumverschiebung bei gaußähnlichen Signalen
2.3.4 Höhenreduktion und Verbreiterung gaußähnlicher Signale
2.3.5 Momentenerhaltung
2.4 Störunterdrückung durch Digitalfilter
2.4.1 Vorbemerkungen
2.4.2 Rauschunterdrückung

3 Optimale Digitalfilter für gaußähnliche Signale

3.1 Optimale Digitalfilter (weißes Rauschen)
3.1.1 Definition
3.1.2 Rechnung
3.1.3 Beispiele
3.2 Symmetrische Polynomfilter
3.2.1 Definition
3.2.2 Rechnung
3.2.3 Fehlerabschätzung für polynomgefilterte Signale
3.2.4 Beispiele
3.3 Optimale Filterbreite
3.3.1 Effizienz
3.3.2 Optimale Filterbreite
3.3.3 Zur Wahl der Samplingfrequenz
3.4 Optimale Digitalfilter (farbiges Rauschen)
3.4.1 Vorbemerkungen
3.4.2 Signal und Rauschen vorgefiltert
3.4.3 Rauschen farbig bzw. vorgefiltert
3.4.4 Polynomfilter für farbiges Rauschen

4 Rekursivdarstellung digitaler Filter

4.1 Einführung
4.1.1 Beschreibung
4.1.2 Stabilitätsprobleme
4.2 Rekursivdarstellung mittels Fouriertransformation
4.2.1 Theorie
4.2.2 Beispiel: Digitales RC-Filter
4.3 Rekursivdarstellung von Polynomfiltern
4.3.1 Theorie
4.3.2 Beispiele

5 Praktisch-numerische Ergebnisse

5.1 Erläuterungen
5.2 Signal-Rausch-Verhältnis
5.3 Signaldeformation
5.4 Beispiel: Eine ENDOR-Messung

6 Anhang

6.1 Grampolynome
6.2 Beweisskizzen
6.3 Symbolliste

Literatur

Stichwortverzeichnis

Einführung

Alle spektroskopischen Messungen enthalten einen mehr oder weniger großen Rauschanteil, der sich additiv der Signalkurve überlagert und bei der Auswertung zu Fehlern führt (z. B. wenn es um die Bestimmung der Lage des Maximums geht).

Bisher war man darauf angewiesen, diesen Rauschanteil durch elektrische Filter zu vermindern. Diese Filter haben jedoch den Nachteil, dass sie das Maximum einer Spektrallinie verschieben. Abhilfe schafft eine Filterung auf digitalem Weg, z. B. unter Einsatz eines Rechners. Obwohl die Theorie der digitalen Filterung im Großen und Ganzen als abgeschlossen betrachtet werden kann, sind die Anschauungen darüber, welcher Art ein Digitalfilter sein muss, um verrauschte spektroskopische Signale optimal zu glätten, häufig doch recht verworren. Das mag zum Teil daran liegen, dass vielfach subjektive Vorstellungen über die Eigenschaft "optimal" bestehen; andererseits scheinen detaillierte praktisch-numerische Untersuchungen gänzlich zu fehlen.

Aufgabe diese Arbeit ist es, etwas Licht in dieses Dunkel zu bringen. Dazu gehört auch eine Zusammenstellung theoretischer Grundlagen in moderner funktionalanalytischer Schreibweise, die sich, ähnlich wie in der Quantenmechanik, als recht hilfreich erweist.

Das Hauptinteresse gilt den symmetrischen Polynomfiltern 2M-ten Grades. Sie verschieben auch bei "stärkster" Filterung nicht die Maxima symmetrischer spektroskopischer Linien und erhalten - beides im Gegensatz zu elektrische Filtern - alle bis (2M+1)ten Momente eine Signals exakt. Weiterhin wurden für diese Filter Rekursivdarstellungen gefunden, die den Rechenaufwand soweit verringern, dass der Einsatz eines Mikroprozessors auch bei relativ hohen Datenfolgefrequenzen möglich geworden ist.

1 Diskrete Messfolgen

1.1 Mathematische darstellung und Charakterisierung physikalischer Messfolgen

1.1.1 Mathematische Darstellung

Unter einer Messfolge wird in dieser Arbeit die geordnete menge der durch Messung einer physikalische Größe gewonnenen Messwerte verstanden. Die Messfolge soll die funktionale Abhängigkeit der Messgröße (z.B. Lichtintensität, Absorption) von einer physikalischen Variablen (z.B. Zeit, Wellenlänge, Energie, Magnetfeld) repräsentieren. Werte und Variable einer Messfolge lassen sich prinzipiell jeweils in kontinuierlich und diskret (Änderung in abzählbaren Schritten gleicher Länge) einteilen.

Abbildung 1.1: Ausschnitt aus einer kontinuierlichen und einer diskreten Messfolge

Wir wollen ausschließlich mit Messfolgen kontinuierlich verteilter Messwerte arbeiten. Wenn wir also von "diskreter" oder "kontinuierlicher" Messfolge sprechen, so soll sich das stets auf die Variable beziehen. In diesem Sinne werden uns in der Regel diskrete Messfolgen beschäftigen. Ist eine solche Messfolge durch einen Sampling- bzw Abtastprozess aus einer kontinuierlichen Messfolge hervorgegangen, nennen wir sie auch "diskretisiert". Der Einfachheit halber nehmen wir an, jede diskrete Messfolge sei ohne Anfang und ohne Ende, sie enthalte also unendlich viele Messwerte, die wir dann mit Hilfe aller ganzen Zahlern (ℤ) von -∞ bis +∞ nummerieren. Aus der physikalischen Variablen (Zeit, Wellenlänge usw) wird damit eine mathematische. Die Zuordnung zwischen beiden soll monoton in möglichst einfacher Weise erfolgen, auf dass eine schnelle Umrechnung in beiden Richtungen jederzeit möglich ist. man stelle sich unter der mathematischen Variable im Falle einer digital gespeicherten Messfolge am Besten die Nummerierung des Speicherplatzes vor. Die Wahl des Nullpunkts ist in der Zuordnungsvorschrift willkürlich, wir passen sie deshalb den jeweiligen Bedürfnissen an. Dabei wird die Translationsinvarianz unserer Operationen eine wichtige Rolle spielen.

Unsere Messfolge lässt sich als eine Abbildung der ganzen Zahlen ℤ (Variable) in die reellen Zahlen ℝ (Messwerte, einheitenfrei) darstellen. Geben wir der Messfolge das Symbol f, so heißt das mathematisch f: ℤ → R. Für den k-ten Wert schreiben wir f[k]. Wir können die Messfolge f auch als "Vektor" (unendlichdimensional) ansehen, dessen k-te Komponente f[k] (-∞ < k < ∞) wäre. Beide Vorstellungen, nämlich f als Funktion und f als Vektor, sind in dieser Arbeit gleichberechtigt. Im Folgenden werden wir den physikalisch orientierten Begriff "Messfolge" häufig durch "Funktion" ersetzen. Fassen wir alle nur denkbaren diskreten Funktionen dieser Art zusammen, so lässt sich ein Vektorraum bilden (Fuchssteiner 1974 S 14):

Definition 1.1

V ≡ { f | f: ℤ → R}

1.1.2 Absolut- und quadratsummierbare Funktionen

Besondere Beachtung finden in dieser Arbeit Funktionen, die absolutsummierbar sind. Das sind solche Funktionen f ∈ V, für die gilt:

∑	\|f[k]\|	<	∞
k ∈ ℤ

Entsprechend für die quadratsummierbaren Funktionen:

∑	(f[k])²	<	∞
k ∈ ℤ

Die absolutsummierbaren und die quadratsummierbaren Funktionen bilden jeweils Untervektorräume von V:

Definition 1.2

(i)

V₁¹

≡ {f ∈ V |

∑

k∈Z

|f[k]| < ∞}

(ii)

V₂¹

≡ {f ∈ V |

∑

k∈Z

(f[k])² < ∞}

Man kann zeigen, dass V₁ ⊂ V₂ ⊂ V. Jede absolutsummierbare Funktion ist demnach quadratsummierbar, die Umkehrung gilt nicht.

1.1.3 Fastperiodische und beschränkte Funktionen

Für alle fastperiodischen Funktionen gilt definitionsgemäß:

lim

n → ∞

2n + 1

∑

k = -n

(f[k])²

< ∞

Zu den fastperiodischen Funktionen gehören insbesondere alle beschränkten Funktionen, die wichtigsten periodischen Funktionen, die konstante Funktion (die als Gleichanteil einer Messfolge nicht quadratsummierbar ist) und trivialerweise auch die quadratsummierbaren Funktionen. Wichtig ist diese Funktionengruppe deshalb, weil viele der Störungen die sich den gemessenen Signalen additiv überlagern, in ihr angesiedelt sind. Fastperiodische Funktionen sind aber im Gegensatz zu allen realisierbaren Messfolgen nicht immer beschränkt, d.h. es gilt i.A. nicht:


sup	\|f[k]\| < ∞
k ∈ ℤ

Als Räume der beschränkten und fastperiodischen Funktionen definieren wir:

Definition 1.3

(i)

V_sup

≡ {f ∈ V |


sup	\|f[k]\| < ∞	}
k ∈ ℤ

(ii)

V_FP

≡ {f ∈ V |

lim

n → ∞

2n + 1

∑

k = -n

(f[k])²

< ∞

}

1.2 Absolutsummierbare Signale

1.2.1 Einführung

Was eine absolutsummierbare Funktion ist, haben wir in Abschnitt 1.1.2 kennengelernt. Unter einem Signal versteht man nun eine (idealisierte) Messfolge, die, frei von Fehlern jeglicher Art ("Störungen"), nur auswertbare Informationen enthält.. Eine wichtige Gruppe sind die fastperiodischen Signale, zu der z. B. das Niederfrequenzsignal eines Rundfunksenders gehört. Wir wollen uns jedoch ausschließlich mit Signalen beschäftigen, die absolutsummierbar sind. Fast alle Messfolgen in der Spektroskopie enthalten nämlich absolutsummierbare Funktionen als additive Signalbestandteile. So besteht z. B. das Absorptionsspektrum eines Festkörpers aus einer Vielzahl von mehr oder weniger breiten Linien, die einzeln genommen jeweils diese Eigenschaft besitzen. Die Messfolge selbst braucht in ihrer Gesamtheit nicht absolutsummierbar zu sein. Das wäre z. B. der Fall, wenn das gesamte Spektrum sich theoretisch aus unendlich vielen Absorptionslinien zusammensetzt oder wenn die Messfolge einen Gleichanteil enthält.

1.2.2 Symmetrieeigenschaften und Finität

Zunächst führen wir den sehr nützlichen Spiegelungs- oder Paritätsoperator S ein. Ein Operator ist (allgemein gesehen) eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen. Betrachten wir unsere Funktionen als Vektoren, dürfen wir uns einen linearen Operator übrigens als (unendlichdimensionale) Matrix vorstellen. Wir setzen deshalb alle Operatoren wie Matrizen links neben die Funktion, auf die sie wirken sollen: Af = g, was gleichbedeutend ist mit

Λ	(Af)[k] = g[k]
k ∈ ℤ

Statt (Af)[k] schreiben wir zukünftig Af[k]. Verwechslungen sind nicht möglich, da der Ausdruck A(f[k]), wie man ihn leider häufig findet, keinen Sinn hat. f[k] ist nämlich eine Zahl, und Operatoren sind ja nicht Abbildungen zwischen skalaren Räumen, sondern zwischen Vektor- bzw Funktionenräumen.

Definition 1.4

{

V₂ → V₂

Λ	Sf[k] ≡ f[-k]
k ∈ ℤ

Spiegelungsoperator

Die wichtigsten Eigenschaften des Spiegelungsoperators fassen wir in einem Hilfssatz zusammen:

Sei

{

V₂ → V₂
If = f

der Einheitsoperator

Dann gilt:

Hilfssatz 1.1

(i)


Λ	Λ	S(αf + βg) = αSf + βSg
α, β ∈ ℝ	f, g ∈ V₂

Linearität

(ii)

SS = I		(	Λ	S(Sf) = SSf = f)
			f ∈ V₂

(iii)

S hat die Eigenwerte ±1

Definition 1.5

(i)	Eine Funktion f ∈ V₂ heißt symmetrisch, wenn	Sf = f

(ii)	Eine Funktion f ∈ V₂ heißt antisymmetrisch, wenn	Sf = -f

Die symmetrischen und antisymmetrischen Funktionen sind also gerade die Eigenfunktionen von S. Ein Beispiel für eine symmetrische Funktion ist eine Gaußkurve, deren Maximum bei k = 0 liegt. Die manchmal gemessene Ableitung einer Gaußfunktion ist hingegen antisymmetrisch.

Viele Funktionen, mit denen wir uns beschäftigen werden, sind außerhalb eines begrenzten Intervalls identisch null. Zu ihrer Kennzeichnung bedienen wir uns des Projektionsoperators P_N.

Definition 1.6

{

V₂ → V₂

P_Nf[k] ≡

{

f[k]		\|k\| ≤ N ∈ ℕ₀
0		sonst

Projektionsoperator

Der Projektionsoperator zeichnet sich durch folgende Eigenschaften aus:

Hilfssatz 1.2

(i)


Λ	Λ	P_N(αf + βg) = αP_Nf + βP_Ng
α, β ∈ ℝ	f, g ∈ V₂

Linearität

(ii)


P_N² : = P_NP_N = P_N	(	Λ	S(Sf) = SSf = f)
		f ∈ V₂

(iii)

Die Eigenwerte von P_N sind 0 und 1

Definition 1.7

Eine Funktion f ∈ V heißt finit, falls es ein N ∈ ℕ₀ gibt, so dass P_Nf = f

Die finiten Funktionen sind damit Eigenfunktionen von P_N. Den Raum der finiten Funktionen nennen wir P_NV. Das soll ein Hinweis darauf sein, dass man P_N generell auf alle Funktionen aus V anwenden kann. Das Resultat ist in jedem Fall absolutsummierbar.

Definition 1.8

P_NV ≡ { f ∈ V | P_Nf = f }

Es gilt: P_NV ⊂ V₁ ⊂ V₂ ⊂ V_sup⊂ V_FP.
Anschaulich bedeutet die Anwendung des Projektionsoperators P_N das "Herausschneiden" eines Fensters von (2N + 1) Werten f[k] aus einer Funktion f, der Rest (k < −N und k > N) wird null gesetzt.

1.2.3 Skalarprodukt, Normen, Momente

Dieser Abschnitt ist der Einführung eines Skalarprodukts und einiger wichtiger Funktionale (Abbildungen, die einer Funktion eine Zahl zuordnen) gewidmet.

Definition 1.9

(i)

f, g ∈ V₂


<f,g> ≡	∑	f[n]g[n]
	n ∈ ℤ

Skalarprodukt

(ii)

f ∈ V₂


\|\|f\|\| ≡	√<f,f>

Norm

(iii)

f ∈ V₁


\|\|f\|\|₁≡	∑	\|f[n]\|
	n ∈ ℤ

Eins-Norm

Die Berechtigung dafür, dass die obigen Gebilde sich Skalarprodukt bzw Norm nennen dürfen, liefern die folgenden Hilfssätze.

Hilfssatz 1.3

(i)

f, g, h ∈ V₂

<f,g> + <h,g> = <f + h,g>

Linearität

(ii)

α ∈ ℝ

f, g ∈ V₂

<αf,g> = α<f,g>

(iii)

f, g ∈ V₂

<f,g> = <g,f>

Symmetrie

(iv)

f ∈ V₂\{o}

<f,f> > 0

Positive Definitheit

Hilfssatz 1.4

(i)

f ∈ V₂\{o}

||f|| > 0

||o|| = 0

Positive Definitheit

(ii)

α ∈ ℝ

f ∈ V₂

||αf|| = |α| ||f||

Homogenität

(iii)

f, g ∈ V₂

||f + g|| ≤ ||f|| + ||g||

Dreiecksungleichung

Der Raum der quadratsummierbaren Funktionen bildet mit || || einen abzählbar unendlichdimensionalen Hilbertraum.

Hilfssatz 1.5

(i)

f ∈ V₁\{o}

||f||₁ > 0

||o||₁ = 0

positive Definitheit

(ii)

α ∈ ℝ

f ∈ V₁

||αf||₁ = |α| ||f||₁

Homogenität

(iii)

f, g ∈ V₁

||f + g||₁≤ ||f||₁ + ||g||₁

Symmetrie

Bei der Auswertung von Messfolgen sind vielfach die Momente eines (absolutsummierbaren) Signals von Bedeutung. Sie sind, falls sie existieren (was bei höheren Momenten durchaus nicht selbstverständlich ist), lineare Funktionale.

Definition 1.10

(i)

f ∈ V₁


µ(f) ≡	∑	f[n]
	n ∈ ℤ

Moment

(ii)

m ∈ ℕ


µ_m(f) ≡	∑	n^mf[n]
	n ∈ ℤ

m-tes Moment

Die folgenden einfach zu verifizierenden Formeln sind dazu angetan, spätere Berechnungen erheblich zu vereinfachen.

Hilfssatz 1.6

(i)

f, g ∈ V₂

<Sf,g> = <f,Sg>

(ii)

f ∈ V₂

||Sf|| = ||f||

(iii)

f ∈ V₁

||Sf||₁ = ||f||₁

(iv)

f ∈ V₁

µ(Sf) = µ(f)

Zum Schluss dieses Abschnitts seien noch einige wichtige Ungleichungen angegeben.

Hilfssatz 1.7

(i)

f ∈ V₁

|µ(f)| ≤ ||f||₁

(ii)

f ∈ V₁

||f|| ≤ ||f||₁

Jensen-Ungleichung

(iv)

f, g ∈ V₂

||f|| ||g|| ≥ |<f,g>|

Schwarz-Ungleichung

Sind alle Werte f[k], k ∈ ℤ einer Funktion f größer oder gleich null, so gilt in (i) das Gleichheitszeichen.

1.2.4 Rechenoperationen

Die Addition von Funktionen und die Multiplikation von Funktionen mit Skalaren sind bereits durch die Vektorraumeigenschaften von V₁, V₂ usw festgelegt. Sie erfolgen, wie man es bei Vektoren gewöhnt ist, komponentenweise. Um unsere Rechnungen überschaubarer zu machen, führen wir noch zwei weitere Operationen zwischen absolutsummierbaren Funktionen ein: Die Multiplikation (●) und die Faltung (∗).

Definition 1.11

(i)


Λ		Λ
f, g ∈ V₁		k ∈ ℤ

(f ● g)[k] ≡ f[k]g[k]

Multiplikation

(ii)


Λ		Λ
f, g ∈ V₁		k ∈ ℤ


(f ∗ g)[k] ≡	∑	f[n]g[k - n]
	n ∈ ℤ

Faltung

Hilfssatz 1.8

(i)

f, g ∈ V₁

f●g = g●f

f∗g = g∗f

Kommutativität

(ii)

f, g, h ∈ V₁

(f●g)●h = f●(g●h)

(f∗g)∗h = f∗(g∗h)

Assoziativität

(iii)

f, g, h ∈ V₁

f●(g+h) = f●g+f●h

f∗(g+h) = f∗g+f∗h

Distributivität

Die Beweise sind im Fall der Multiplikation sehr einfach. Bei der Faltung führen Variablensubstitutionen dank der unendlichen Summationsgrenzen schnell zum Ziel.

Das Einselement der Faltung nennen wir d. Es entspricht der "Dirac-Deltafunktion" im kontinuierlichen Fall und zeichnet sich dadurch aus, dass gilt:

Λ		f ∗ d = f
f ∈ V₁

Definition 1.12

d[k] ≡

{

1		k = 0
0		sonst

Abbildung 1.2: "Einheitsimpuls"

Im folgenden Hilfssatz sind als Ergänzung zu Hilfssatz 1.7 weitere Formeln von Bedeutung zusammengestellt.

Hilfssatz 1.9

(i)

f, g ∈ V₁

||f ● g||₁ ≤ ||f||₁||g||₁

Hölder-Ungleichung

(ii)

f, g ∈ V₁

||f ∗ g||₁ ≤ ||f||₁||g||₁

(iii)

f, g ∈ V₁

S(f ∗ g) = Sf ∗ Sg

(iv)

f, g ∈ V₁

Teil (i) und (ii) sorgen insbesondere dafür, dass die Multiplikation und die Faltung zweier absolutsummierbarer Funktionen wieder absolutsummierbar ist.

1.2.5 Beispiele

In der Spektroskopie spielen Gaußfunktionen als Absorptions- oder Emissionslinien eine wichtige Rolle. Sie haben die Form:

^αf_α[k] ≔ exp(-

k²

α²

)

α ∈ R\{0}

Abb. 1.3: Gaußfunktion f_α mit α = 10

Die Gaußfunktionen sind absolutsummierbar, symmetrisch, aber nicht finit. Normen und Moment lassen sich nicht elementar berechnen. Ersetzt man jedoch die Summen durch Integrale, so erhält man geschlossene Ausdrücke mit einem Fehler, der für α > 1 überraschend klein ist: Beispiel:

α = 1	\|\|f₁\|\|²=	{	1.27134... 1.25331...	summiert integriert

α = 10	\|\|f₁₀\|\|²=	{	12.53314... 12.53314...	summiert integriert

Ist α sehr groß, kann der Fehler, der bei der Summation mit Hilfe eines Rechners entsteht, sogar größer sein, als der der folgenden Abschätzungen:

µ(f_α) = ||f_α||₁ ≈ √(π)α

||f_α||² = √(π/2)α

Abklingvorgänge (z. B. radioaktiver Zerfall) verlaufen in der Regel exponentiell:

^αg_α[k] ≔

{

exp(-

|α|

)

k ≥ 0

k < 0

α ∈ R\{0}

Die Funktion g_αist wieder absolutsummierbar, aber sonst weder symmetrisch oder antisymmetrisch, noch finit. Die Normen und Momente sind hier insbesondere geometrische Reihen und lassen sich im Bedarfsfall einfach berechnen. Wie bei der Gaußfunktion existieren alle Momente.

Abb. 1.4: Exponentielle Abklingkurve α = 10

das dritte Beispiel ist ein synthetisches Signal, das die Eigenschaften Symmetrie, Absolutsummierbarkeit und Finität in sich vereint.

Definition 1.13

^Nw_N[k] ≡

{

1
0

-N ≤ k ≤ N
sonst

Diese Funktion (Fensterfunktion genannt, weil gilt: P_Nf = w_N ● f) ist in der Theorie der digitalen Filter unentbehrlich.

µ(w_N) = ||w_N||₁ = ||w_N||² = 2N +1

Charakteristisch für w_N ist (wie für alle finiten Funktionen), dass sämtliche Momente endlich sind.

Abb. 1.5: Fensterfunktion N = 10

Schließlich seien noch die Lorentzfunktionen beschrieben, die wie die Gaußfunktionen als spektroskopische Signale in Frage kommen:

h_α[k] ≔

α²

α² + k²

h_α ist symmetrisch, absolutsummierbar, aber nicht finit. Die Normen und das Moment einer Lorentzfunktion sind exakt bestimmbar

µ(h_α) = ||h_α||₁=

παcoth(πα)

||h_α||² = ½πα(coth(πα) +

πα

(sinh(πα))²

)

Abb. 1.6: Lorentzfunktion α = 10

Im Vergleich zur Gaußfunktion konvergieren die Ausläufer einer Lorentzfunktion wesentlich langsamer gegen null. So verwundert es auch nicht, dass die höheren Moment nicht existieren.

1.2.6 Spektroskopische Signale

In der Spektroskopie erwartet man idealerweise Spektren mit "unendlich scharfen" d.h. monochromatischen Emissions- oder Absorptionsspektren, die irgendwelchen diskreten Energieniveaus zugeordnet werden können. Dass die Resonanzstellen eines Spektrums diese Eigenschaft in der Praxis nicht besitzen, sondern um einen Mittelwert herum verschmiert sind, hat mannigfache Gründe, von denen wir hier einige ansprechen wollen.

In der optischen Spektroskopie verschlechtert i.A. die endliche Auflösung eines Spektrografen die Schärfe einer Linie. In Gasentladungen rufen thermische Bewegungen auf Grund des Dopplereffekts gaußförmige Linienverbreiterungen hervor, wobei der Maxwell-Verteilung die formgebende Rolle zukommt. Weiterhin hat die endliche Lebensdauer von Emissionsprozessen (in Festkörpern z. B. durch Phononenstöße veranlasst) "lorentzförmige" Linien (Abb. 1.6) zur Folge, z. B. wenn eine Emission irgendwann beginnt und dann die Amplitude exponentiell abfällt.

Dass jedoch gerade in Festkörperspektren vorwiegend gaußförmige Linien anzutreffen sind, lässt sich auf folgende Weise erklären: Betrachtet man zunächst nur einen (Kristallgitter-) Nachbarn des emittierenden Atoms, so ist festzustellen, dass durch Wechselwirkungskräfte beliebiger Natur, deren Größe bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilungen gehorcht, Frequenzverschiebungen entstehen. Die Superposition dieser effekte von allen Nachbarn bewirkt nach den Zentralen Grenzwertsatz eine Verteilungsfunktion der Gesamtwechselwirkung, die annähernd gaußförmig ist, wobei die Form der Einzelverteilungen von untergeordneter Bedeutung ist.

1.3 Störungen

1.3.1 Definition

Als Störungen wollen wir solche additiven Bestandteile einer Messfolge bezeichnen, die "nichts mit dem zu untersuchenden physikalischen Ereignis zu tun haben". Störungen entstehen hauptsächlich im Detektor und im nachfolgenden Verstärker eines Messaufbaus, manchmal nehmen sie sogar schon im Messobjekt ihren Ursprung. Gemeinsames Charakteristikum aller Störungen ist ihre Unerwünschtheit: Sie erschweren nämlich die Auswertung des Signals oder machen sie gar unmöglich.

Zu den Störungen rechnen insbesondere Nullpunktverschiebungen (Gleichanteile) der Messfolge, einzelne Störspitzen, regellose Schwankungen des Signals (Rauschen) sowie monofrequent Überlagerungen (50 Hz-Brummen z. B.). Nullpunktverschiebungen sollen hier nicht behandelt werden, da sie meist am einfachsten zu eliminieren sind. Voraussetzung dazu ist natürlich Driftfreiheit, d.h. der Gleichanteil muss für alle Messpunkte konstant sein.

1.3.2 Störspitzen

Zu den Störspitzen rechnen wir Störungen, die so "kurzzeitig" auftreten, dass sie bei der Diskretisierung der Messfolge nur zu einem Punkt aufgelöst werden. Konkret gemeint sind also einzelne Messpunkte, die aus der Reihe fallen. Verursacht werden sie zum Beispiel durch Ein- und Ausschaltvorgänge bei leistungsstarken Motoren. Mathematisch lässt sich eine Störspitze (ohne Beschränkung der Allgemeinheit bei k = 0) durch den schon bekannten Einheitsimpuls

d[k] ≡

{

1
0

k = 0
sonst

(Def. 1.12) beschreiben, wenn wir diesen mit einer Konstante, der Amplitude des "Peaks", multiplizieren.

1.3.3 Rauschen

Als Rauschen bezeichnen wir eine signalfreie Messfolge, deren Messwerte regellos um einen "Mittelwert" fluktuieren. Es sei nicht verschwiegen, dass es auch Signale gibt, die diese Eigenschaft aufweisen: z. B. die Rauschspannung eines Widerstands beim Rauschthermometer oder die radioaktive Zerfallskurve bei einer kleinen Zerfallsrate. Solche Signale werden in dieser Arbeit nicht behandelt.

Wir definieren zwei wichtige Funktionale:

Definition 1.14

(i)

f ∈ V_FP

<f> ≡

lim

n → ∞

2n + 1

∑

k = -n

f[k]

Mittelwert

(ii)

f ∈ V_FP , <f> = 0

σ(f) ≡

lim

n → ∞

2n + 1

∑

k = -n

(f[k])²

Varianz

Zu den Benennungen dieser Funktionale ist anzumerken, dass es sich um einen "Zeit"-Mittelwert und eine "Zeit"-Varianz handelt, nicht um "Schar"-Werte, wie sie der Statistiker kennt. Um ein "Schar"-Mittel und eine "Schar"-Varianz zu erhalten, müssen wir in Def. 1.14 an Stelle der Messwerte f[k] unendlich viele Messfolgen f_k gliedweise miteinander addieren (bzw. quadrieren und addieren und bekämen je eine neue Messfolge (keine Zahlen!). Sind alle Werte dieser beiden Messfolgen jeweils konstant und identisch mit unserem Mittelwert bzw. unserer Varianz, so haben wir es mit "ergodischem" Rauschen zu tun, auf das wir uns in den Ausführungen über Digitalfilter beschränken wollen. Ferner gehen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit davon aus, dass der Mittelwert des Rauschens null ist: <f> = 0. Die Varianz dürfen wir anschaulich als ein Maß für die mittlere Amplitude des Rauschens ansehen. Sie ist vergleichbar mit der Norm für quadratsummierbare Funktionen, während der Mittelwert dem Moment entspricht.

Der Korrelationsoperator Θ erlaubt uns eine weitere Klassifizierung des Rauschens.

Definition 1.15

f∈V_FP

k∈Z

Θf[k] ≡

lim

n→∞

n
∑	f[m]f[k+m]
m=-n

n
∑	f[m]f[m]
m=-n

Korrelationsoperator

Für <f> = 0 wird die Funktion Θf (normierte Auto-) "Korrelationsfunktion" von f genannt. Sie ist ein Maß für die Abhängigkeit eines Messwerts f[k] von seinen Nachbarn und hat für "vernünftiges" Rauschen folgende Eigenschaften:

(i)

Θf[0] = 1

Normiertheit

(ii)

Θf ∈ V₁

Absolutsummierbarkeit

(iii)

ΘSf = Θf = SΘf

(

k∈Z

Θf[k] = Θf[-k])

Symmetrie

In allen Rechnungen ist sogenanntes weißes Rauschen am bequemsten zu handhaben.

Definition 1.16

Θr ≡ d

r heißt "weißes" Rauschen

Weißes Rauschen liegt also dann vor, wenn ein Messwert f[k] unabhängig von seinem Nachbarn eine rein zufällige Größe annimmt. Nichtweißes Rauschen nennen wir "farbig" (korreliert).

Die Verteilungsfunktion ordnet jedem Wert des Rauschens eine Wahrscheinlichkeit für sein Auftreten innerhalb der Messfolge zu. Eine Konsequenz des "Zentralen Grenzwertsatzes" ist, dass Rauschen in der Praxis meist annähernd nach einer Gaußfunktion verteilt auftritt. Rauschen, das exakt einer Gaußverteilung folgt, ist übrigens ein Beispiel für eine fastperiodische Funktion, die nicht beschränkt ist. Es können nämlich, wenn auch mit verschwindend kleiner Wahrscheinlichkeit, beliebig hohe Werte vorkommen.

Für die Berechnung der Rauschunterdrückung eines Digitalfilters genügt es vollkommen, wenn vom Rauschen die Korrelationsfunktion bekannt ist, so dass wir auf Verteilungsfunktionen nicht näher einzugehen brauchen. Die beiden folgenden Abbildungen zeigen verschieden verteiltes weißes Rauschen gleicher Varianz.

Abbildung 1.7 Gleichverteiltes weißes Rauschen

Abbildung 1.8 Gaußverteiltes weißes Rauschen

1.3.4 Periodische Störungen

In der Praxis macht sich besonders die 50 Hz-Netzwechselspannung mit ihren Oberwellen bemerkbar. Ihre Einflüsse lassen sich durch geeignet Maßnahmen bei der Analog-Digital-Wandlung ausschalten, z. B. durch Einsatz von Wandlern, die über die volle 50 Hz-Periode integrieren. Auch durch digitale Filterung kann ein periodischer Störanteil wirksam unterdrückt werden.

1.4 Diskrete Fouriertransformation

1.4.1 Definition

An dieser Stelle soll die "diskrete Fouriertransformation" mathematisch motiviert werden. Aus der Theorie der Fourierreihen wissen wir, dass sich eine periodische Funktion in eine komplexe Fourierreihe entwickeln lässt. Erfüllt diese Funktion bestimmte Eigenschaften, so kann man sicher sein, dass sie an allen Stetigkeitsstellen mit ihrer Fourierreihe übereinstimmt. Die Koeffizienten der Fourierreihe ermöglichen dann eine vollständige Bestimmung der periodischen Funktion. Auffallend ist, dass sich ein periodisches Signal ausschließlich aus Sinus- und Cosinusschwingungen ganzzahlig vielfacher Frequenz zusammensetzt. Man spricht deshalb von einem diskreten Spektrum des kontinuierlichen Signals.

Wir werden diese Anschauung für unsere Zwecke jetzt umkehren, indem wir die Werte eines diskreten absolutsummierbaren Signals f ∈ V₁ mit den Fourierkoeffizienten identifizieren. Die daraus gebildete Fourierreihe nennen wir Spektrum von f und die Operation der Reihenbildung "diskrete Fouriertransformation". dass dies sinnvoll ist, wird sich in der Theorie der Digitalfilter zeigen.

Definition 1.17

f∈V₁

ω∈R

ℱ f(ω) ≡


∑	f[k]exp(- ωk)
k∈Z

Diskrete
Fouriertransformation

Das (kontinuierliche!) Spektrum ℱ f einer diskreten Funktion f ∈ V₁ ist immer 2π-periodisch, die gesamte Information des Signals steckt also in einem "Frequenz"-Intervall der Länge 2π, wir wählen ]- π, π] (d.h. - π < ω ≤ π). Spektren absolutsummierbarer Funktionen sind im Übrigen stetig und beschränkt. Den Raum dieser Spektren wollen wir F ("Frequenzraum") nennen.

Definition 1.18

F ≡ { ℱ f | ℱ f : ]- π, π] → ℂ, f ∈ V₁}

Definition 1.19

f∈F

k∈Z

ℱ ^-1f[k] ≡

2π

π
∫	f(ω)exp(iωk)dω
-π

Inverse
Fouriertransformation

Beide Transformationen sind lineare Operatoren. Für die Spektren können wir in ähnlicher Weise wie bei den absolut- bzw quadratsummierbaren Funktionen ein Skalarprodukt und eine Norm definieren:

Definition 1.20

(i)

f, g ∈ F

	π
(f,g) ≡	∫	f(ω)*g(ω)
	-π

Skalarprodukt

(ii)

f ∈ F


\|\|\|f\|\|\| ≡	√(f,f)

Norm

Die folgenden Eigenschaften geben uns wiederum die Berechtigung zur Namengebung:

Hilfssatz 1.10

(i)

f, g, h ∈ F

(f,g) + (h,g) = (f + h,g)

Linearität

(ii)

α ∈ ℂ

f, g ∈ F

(αf,g) = α*(f,g)

(iii)

f, g ∈ F

(f,g) = (g,f)*

Hermitesche
Symmetrie

(iv)

f ∈ F\{o}

(f,f) > 0

positive Definitheit

Hilfssatz 1.11

(i)

f ∈ F\{o}

|||f||| > 0

|||o||| = 0

Positive Definitheit

(ii)

α ∈ ℂ

f ∈ F

|||αf||| = |α| |||f|||

Homogenität

(iii)

f, g ∈ F

|||f + g||| ≤ |||f||| + |||g|||

Dreiecksungleichung

Der mathematisch interessierte Leser möge beachten, dass durch unsere Beschränkung auf riemannintegrable Spektren (Def. 1.18) der Raum F mit der Norm ||| ||| nicht vollständig, also nur ein Prähilbertraum ist.

1.4.2 Fouriertransformierte Signale

Wir wollen nun betrachten, wie wichtige Signaleigenschaften, die wir für absolutsummierbare Funktionen f ∈ V₁ definiert haben, im Frequenzraum F aussehen. Tiefergehende Erörterungen mögen einem Studium der Theorie der Fourierreihen vorbehalten bleiben. Beginnen wir mit der Parsevalgleichung:

Satz 1.1

(i)

f ∈ V₁

||f|| = |||ℱ f|||

Parseval-Gleichung

(ii)

f, g ∈ V₁

<f,g> = (ℱ f,ℱIg)

Die Symmetrieeigenschaften des Signals lassen sich mit den Formeln

Hilfssatz 1.12

(i)

f ∈ V₁

ω∈]- π, π]

ℱ f(ω)* = ℱ f(-ω)

(ii)

f ∈ V₁

ℱ Sf = ℱ f*

beschreiben. Man erhält, dass symmetrische Funktionen ein reelles symmetrisches Spektrum haben, antisymmetrische Funktionen hingegen ein imaginäres antisymmetrisches.

Für Spektren definieren wir nun eine Multiplikation (●) und eine Faltung (∗).

Definition 1.21

(i)


Λ		Λ
f, g ∈ F		ω∈]- π, π]


(f ● g)(ω) ≡		f(ω)g(ω)

Multiplikation

(ii)


Λ		Λ
f, g ∈ F		ω∈]- π, π]

(f ∗ g)(ω) ≡

2π

π
∫	f(x)g(ω - x)dx
-π

Faltung

(In (ii) ist zu beachten, dass auf Grund der 2π - Periodizität der Spektren ihr Definitionsbereich beliebig erweitert werden kann.)

Satz 1.2

(i)

f, g ∈ V₁

ℱ (f ∗ g) = ℱIf ●ℱ g

(ii)

f, g ∈ V₁

ℱ (f ● g) = ℱIf ∗ℱ g

Die diskrete Fouriertransformation überführt (wie die kontinuierliche) also ein Multiplikation in ein Faltung und umgekehrt. Diese Eigenschaft macht die Fouriertransformation in vielen Rechnungen zu einem wertvollen Hilfsmittel, da die Multiplikationen wesentlich einfacher auszuführen sind als Faltungen.

Für die Momente ergibt sich, falls sie existieren:

Satz 1.3

(i)

f ∈ V₁

µ(f) = ℱ f(0)

(ii)

i^m(ℱ f)^(m)(0)

Die m-ten Momente sind somit direkt proportional der m-ten Ableitung des Spektrums an der Stelle null.

Die Sätze 1.1 bis 1.3 erlauben es uns, wahlweise mit einer Funktion f ∈ V₁ oder ihrem Spektrum ℱ f ∈ F zu arbeiten. Die Entscheidung wird davon abhängen, in welchem Raum wir unsere Problem besser formulieren und lösen können. In diesem Sinne haben wir es in der vorliegenden Arbeit vornehmlich mit V₁ zu tun.

1.4.3 Zusammenhang mit der kontinuierlichen Fouriertransformation

Als kontinuierliche Fouriertransformation definieren wir:

Definition 1.22

Sei f : ℝ → ℝ absolutintegrierbar

(i)

ω∈R

ℱ f(ω) ≡

∞
∫	f(x)exp(-iωx)dx
-∞

Fouriertransformation

(ii)

ω∈R

ℱ^-1f(ω) ≡

2π

∞
∫	f(x)exp(iωx)dx
-∞

Inverse
Fouriertransformation

Meistens hat man es in der Praxis mit kontinuierlichen Signalen zu tun, die erst diskretisiert werden müssen. Auf absolutintegrable kontinuierliche Signale f kann man die kontinuierliche Fouriertransformation ℱ anwenden, und es ist nun interessant, zu wissen, in welcher Weise das Spektrum ℱf des kontinuierlichen Signals mit dem des diskretisierten (ℱ f) zusammenhängt.

Satz 1.4

Sei f: ℤ → ℝ definiert durch

k∈Z

f[k] ≔ f(k)

Hat die beschränkte und absolutintegrierbare Funktion f: ℝ → ℝ ein absolutintegrierbares Spektrum ℱf: ℝ → C, dann gilt:

ω∈R

ℱ f(ω) =

∑

k∈Z

ℱ f(ω - 2πk)

Ist nun ℱ f außerhalb des Intervalls ]-π,π] identisch null, so ergibt sich

ω∈]-π,π]

ℱ f(ω) = ℱlf(ω)

k∈Z

ℱ ^-1ℱ f[k] = ℱ ^-1ℱ f(k)

Damit ist insbesondere sichergestellt, dass ein kontinuierliches Signal f, dessen Spektrum außerhalb ]-π,π] überall null ist, ohne jeglichen Informationsverlust diskretisiert werden kann (Sampling-Theorem siehe: Jerri 1977 p 1565).

1.4.4 Beispiele

Zur Illustration der diskreten Fouriertransformation seien im Folgenden einige Beispiele angegeben.

Der Einheitsimpuls d hat das einfachste Spektrum:

ω∈]-π,π]

ℱ d(ω) =

∑

k∈Z

d[k]exp(-iωk) = 1

Wir schreiben

Definition 1.23

1 ≡ ℱ d

Abbildung 1.9 Spektrum des Einheitsimpulses

Die Fensterfunktion ist schon schwieriger zu transformieren

ω∈]-π,π]

ℱ w_N(ω) =

∑

k∈Z

w_N[k]exp(-iωk)

∑

k=-N

exp( -iωk)

2 cos(Nω/2)

sin(ω/2)

- 1

sin((2N +1)ω/2)

sin(ω/2)

Abbildung 1.10 Spektrum der Fensterfunktion N = 10

Die Lorentzfunktion

f_α[k] ≔

α²

α² + k²

ist eine absolutsummierbare Funktion, für die nur das Moment µ, nicht jedoch alle höheren Momente µ_m existieren. Im Spektrum äußert sich das als nichtdifferenzierbare Stelle bei ω = 0.


Λ		ℱ f_α(ω) = πα cosh(πα - α\|ω\|)/sinh(πα)
ω∈]-π,π]

Abbildung 1.11 Spektrum der Lorentzfunktion α = 0.5

2 Grundlagen digitaler Filter

2.1 Definition des Digitalfilters

2.1.1 Vorbemerkungen

Physikalische Messfolgen werden in der Regel nicht in ihrer ursprünglichen Form ausgewertet. In vielen Fällen ist z. B. eine Unterdrückung des Rauschanteils wünschenswert oder gar erforderlich. Ein Vorgang, der solches wenigstens teilweise bewerkstelligt, heiß Glättung. Im Prinzip kann man ein kontinuierliches Signal natürlich durch elektrische Filter (z. B. RC-Filter) glätten. Es wird sich aber zeigen, dass eine Glättung des diskretisierten Signals, digitale Filterung genannt, vorteilhafter ist.

Der Begriff "digitale Filterung" lässt sich problemlos auf andere Operationen, die aus einer diskreten Messfolge eine neue machen, verallgemeinern. Beispiel hierfür sind die "diskrete Differentiation" oder die gezielte Abschwächung einzelner "Frequenzbestandteile" des Signals (Filterung im üblichen Sinn).

2.1.2 Definition

Wir nennen einen mathematischen Operator D, der eine diskrete Messfolge f in eine neue (Df) überführt, Digitalfilter, wenn er sich wie folgt definieren lässt:

Definition 2.1

f∈V_sup

k∈Z

Df[k] ≡


∑	a[n]f[k - n]
n∈Z

Ist die "Filterfunktion" a absolutsummierbar (a ∈ V₁), heißt D Digitalfilter

Die Absolutsummierbarkeit der Filterfunktion a sichert die Beschränktheit des Operators D. Das bedeutet: Ein absolutsummierbares Signal f ∈ V₁ bleibt nach der Filterung absolutsummierbar, ein quadratsummierbares f ∈ V₂quadratsummierbar und ein beschränktes f ∈ V_sup beschränkt. Ist die Filterfunktion finit, können wir D theoretisch sogar auf alle Elemente aus V anwenden, da es bei endlichen Summen

	N
a ∈ P_NV → Df[k] =	∑	a[n]f[k - n]
	k=-N

keine Konvergenzprobleme gibt.

Bei absolutsummierbaren Signalen entspricht die Operation der digitalen Filterung einer Faltung des Signals mit der Filterfunktion:

{

V₁ → V₁
f → a ∗ f

D ist dann ein so genannter Faltungsoperator.

Filtern wir den Einheitsimpuls d, so erhalten wir als Ausgangsfunktion die Filterfunktion Dd = a ∗ d = a, weshalb diese oft Impulsantwort heißt.

2.1.3 Frequenzgang

Wir wenden den Operator D jetzt einmal versuchsweise auf ein beschränktes komplexes Signal der Form

f[k] ≔ exp(- iωk) = cos(ωk) + i sin(ωk)

an:

Df[k] =

∑

n∈Z

a[n]exp(iω(k - n)) = exp(iωk)

∑

n∈Z

a[n]exp(- iωn)

Als Ausgangssignal erscheint also das Eingangssignal, gewichtet mit einem nur von ω, nicht aber von k abhängigen Faktor

∑

n∈Z

a[n]exp(- iωn),

der die Amplituden- und Phasenänderung des monofrequenten Signals beschreibt. Dieser Faktor ist aber gerade die diskret fouriertransformierte Filterfunktion F a. Wir wollen ihn Frequenzgang des Digitalfilters D nennen. Hier erkennen wir das erste Mal, dass unsere Definition einer diskreten Fouriertransformation (Def. 1.17) ganz sinnvoll war.

Für absolutsummierbare Funktionen f gilt:

Satz 2.1

f∈V₁

ℱ Df = ℱ a ● ℱ f

Im Frequenzraum lässt sich die digitale Filterung also durch eine Multiplikation des Signalspektrums mit dem Frequenzgang des Filters ausdrücken, ganz so, wie man es bei kontinuierlichen Filtern gewöhnt ist.

2.2 Eigenschaften von Digitalfiltern

2.2.1 Universelle Eigenschaften

Die universellen Eigenschaften eines Digitalfilters sind diejenigen, die man gratis durch die Definition geliefert bekommt und die infolgedessen für beliebige Digitalfilter Gültigkeit haben. Zu den wichtigsten Merkmalen dieser Kategorie gehören die Linearität und die Translationsinvarianz.

Satz 2.2

f,g∈V_sup

α,β∈R

Df(αf + βg) = αDf + βDg

Die Linearität ist gerade deshalb von Bedeutung, weil sich eine Messfolge i.A. aus vielen Einzelsignalen (z. B. Gaußfunktionen) additiv zusammensetzt. Sie ermöglicht uns auch eine getrennte Betrachtung der Wirkung eines Digitalfilters auf Signale und Störungen.

Translations- oder Zeitinvarianz meint, dass die Filterung einer "zeit"-verschobenen Messfolge das gleiche Ergebnis liefert, wie die verschobene gefilterte Messfolge. Identifizieren wir die Variable der Messfolge mit der Zeit, können wir anschaulich sagen: Die Filtercharakteristik ist zeitunabhängig. Der Translationsoperator Tschafft die Voraussetzung für eine mathematische Formulierung dieses Sachverhalts.

Definition 2.2

f∈V_sup

k,n∈R

Tⁿf[k] ≡ f[k - n]

Translationsoperator

Wir erhalten dann:

Satz 2.3

Ein Digitalfilter ist translationsinvariant:

f∈V_sup

DTf = TDf

DT = TD

Beispiele für nichttranslationsinvariante Operatoren sind der Spiegelungsoperator S und der Projektionsoperator P_N: ST = T^-1S und P_NT ≠ TP_N.

Bemerkenswert ist, dass sich fast alle Eigenschaften durch "Vertauschungsrelationen" darstellen lassen. Vertauschbar sind auch zwei beliebige Digitalfilter miteinander.

Satz 2.4

Seien D₁, D₂: V_sup → V_sup Digitalfilter, dann gilt:

D₁D₂ = D₂D₁

In der Praxis heißt das z. B.: Es ist gleich, ob wir eine Messfolge erst (diskret) differenzieren und dann glätten oder ob wir erst glätten und dann differenzieren. Sind a₁und a₂ die Filterfunktionen zu D₁ und D₂, so erlaubt uns der Hilfssatz 1.9 (ii) sogar die Bildung eines einzigen Digitalfilters D₃ = D₁D₂ mit der Filterfunktion a₃ = a₁ ∗ a₂.

2.2.2 Symmetrische Digitalfilter

Definition 2.3

Ein Digitalfilter D: V₂ → V₂ heißt symmetrisch, wenn die zugehörige Filterfunktion a symmetrisch ist.

Die Definition der Symmetrie hätten wir auch auf andere Weise vornehmen können:

Satz 2.5

Sei D: V₂ → V₂ ein Digitalfilter, dann ist äquivalent:

(i)

D ist symmetrisch (a = Sa)

(ii)

DS = SD

(iii)

f,g∈V₂

<f,Dg> = <Df,g>

Der Teil (ii) von Satz 2.5 liefert uns eine folgenschwere Aussage:
Ist D: V₂ → V₂ ein symmetrisches Digitalfilter, so bleiben symmetrische Signale symmetrisch und antisymmetrische Signale antisymmetrisch:

Sf = f	→	SDf = Df

Sf = - f	→	SDf = - Df

Ist eine Filterfunktion antisymmetrisch, spricht man von einem antisymmetrischen Digitalfilter.

Wesentlich ist die Frage der Realisierbarkeit symmetrischer Filter. Sehen wir uns die Faltungssumme

Df[k] =

∑

k∈Z

a[n]f[k - n]

einmal etwas näher an. Ist die Variable der Messfolge f die Zeit, so müssen wir feststellen, dass sich Df zum gegenwärtigen Zeitpunkt k i.A. nicht nur aus Funktionswerten der Vergangenheit (k' < k), sondern auch aus Werten der Zukunft (k' > k) berechnet. Damit würde aber das Prinzip der Kausalität verletzt, denn das Filter antwortete auf einen Einheitsimpuls schon vor dessen "Eintreten" mit Werten der Filterfunktion. Das einzige kausale (a[k] = 0 für k < 0) und symmetrische Digitalfilter ist das triviale Einheitsfilter I mit der Filterfunktion d. Diese Feststellungen sind in gleicher Weise für kontinuierliche Filter gültig.

Anders sieht die Sache aus, und das ist ein wesentlicher Vorzug digitaler Filter gegenüber kontinuierlichen, wenn die Messfolge bereits digital abgespeichert ist. Die Variable ist dann nicht mehr gezwungenermaßen die Zeit, sondern die Speicherplatznummer, und mit der gibt es keine Kausalitätsprobleme.

Bei elektrischen Filtern ist die Variable immer die Zeit. Es kann also kein nichttriviales elektrisches Filter geben, das die Symmetrieeigenschaften eines Signals exakt erhält. Das Resultat ist zB bei Gaußfunktionen eine Verschiebung des Maximums.

2.2.3 Finite Digitalfilter

Bisher sind wir immer davon ausgegangen, dass es unendlich viel Speicherplatz gäbe, und dass man beim Faltungsprozess unendlich viele Rechenoperationen für jeden einzelnen gefilterten Funktionswert durchführen könne. Beides ist in der Praxis natürlich unmöglich. Abhilfe schafft hier das finite Digitalfilter, das jeden gefilterten Wert aus endlich vielen ungefilterten berechnet.

Definition 2.4

Ein Digitalfilter heißt finit, wenn die zugehörige Filterfunktion finit ist.

Jeder Wert Df[k] der gefilterten Funktion (Df) hängt dann nur noch von einem begrenzten Bereich (z. B. -N ≤ k ≤ N) der Eingangsfunktion f ab:

a ∈ P_NV

→

k∈Z

Df[k] ≔

N
∑	a[n]f[k - n]
n=-N

Damit ist es auch unerheblich geworden, dass eine reale Messfolge einen Anfang und ein Ende hat, wenn nur die "Filterbreite" N wesentlich kleiner als die Zahl der Messwerte ist. Den Rand der Messfolge kann man, falls er nicht gar physikalisch bedeutungslos ist, gesondert verarbeiten. Das soll jedoch nicht Gegenstand unserer Diskussion sein.

Im Übrigen kann jede nichtfinite Filterfunktion a durch eine finite approximiert werden, da wegen der Forderung ||a||₁ < ∞ die "Filterkoeffizienten" a[n] im Unendlichen sowieso verschwinden müssen.

Auch für finite Digitalfilter D_N lässt sich eine Art Vertauschungsrelation beweisen.

Satz 2.6

K,N∈ℕ₀

D_NP_K = P_N+KD_NP_K

⇔

a = P_Na

Diese Relation besagt u.a., dass aus a ∈ P_NV und f ∈ P_KV folgt, dass Df ∈ P_N+KV. das Ausgangssignal ist also schlimmstenfalls über den Bereich -(K + N) ≤ k ≤ K + N verteilt - was jedoch nicht ausschließt, dass es auch "schmaler" als das Eingangssignal f sein kann. Mit finiten Digitalfiltern ist im Übrigen eine Quasi-Echtzeitfilterung möglich, wenn man eine Zeitverzögerung zwischen Ein- und Ausgang zulässt. Diese Verzögerung muss mindestens so groß sein, dass die Kausalitätsbedingung erfüllt ist. Beispiel:

a_N ∈ P_NV → T^-Na_N[k] = 0 (k < 0)

T^-ND_Nf = T^-Na_N ∗ f = D_NT^-Nf

2.2.4 Invertierbare Digitalfilter

Es mag Fälle geben, in denen man zB eine unvermeidbare kontinuierliche Vorfilterung des Signals (zB hervorgerufen durch parasitäre RC-Filter) rückgängig machen will. Gelingt es, die kontinuierliche Vorfilterung wenigstens approximativ durch ein Digitalfilter darzustellen (gemäß Satz 1.4), hat man den ersten Schritt getan. Als Nächstes, und damit wollen wir uns hier kurz beschäftigen, ist die Frage der Invertierbarkeit dieses Digitalfilters zu klären. Wir suchen also nach einer Filterfunktion a', für die gilt

f∈V₁

D^-1Df = D^-1(a ∗ f) = a' ∗ a ∗ f = f

Im Frequenzraum F wird daraus

ℱ f∈F

ℱ a' ● ℱ a ● ℱ f = ℱ f

Diese Gleichung lässt sich durch ℱIa' ● ℱIa = 1 erfüllen. Schreiben wir formal ℱIa' = (ℱIa)^-1, so sieht das bereits wie die Lösung aus. Diese Schreibweise bedarf jedoch einer Rechtfertigung. Zunächst einmal darf das Spektrum von a wegen der Forderung der Beschränktheit von ℱIa' nirgends null sein. Dann ist zu prüfen, ob der Quotient (ℱ a)^-1(ω) ≔ (ℱ a(ω))^-1 auch wirklich zu einem Element aus F führt. Das ist z. B. bei stetigen Funktionen (ℱ a)^-1, die bis auf endlich viele Stellen differenzierbar sind, immer der Fall.

Satz 2.7

Ein Digitalfilter D mit der Filterfunktion a ist invertierbar, wenn der Frequenzgang ℱ a überall stetig, frei von Nullstellen und bis auf endlich viele Stellen differenzierbar ist. Die Filterfunktion a^-1 des inversen Digitalfilters D^-1 ist dann gegeben durch

a^-1 = ℱ ^-1 (ℱ a)^-1

Dieser Satz schließt nicht aus, dass es inverse Operatoren A^-1 mit A^-1Df = f gibt, obwohl der Frequenzgang von D Nullstellen hat. In solch einem Fall ist aber A^-1 kein Digitalfilter im Sinne unserer Definition. Wir werden deshalb zukünftig nur dann von Invertierbarkeit reden, wenn alle Bedingungen des Satzes 2.7 erfüllt sind.

2.2.5 Wertebereich einer gefilterten Messfolge

Für praktische Belange ist es von Bedeutung, wie sich der Wertebereich einer Messfolge durch die Filterung ändert. Nimmt also die ursprüngliche Messfolge Werte im Bereich −10 ≤ f[k] ≤ 10 an, in welchem Bereich sind dann die Werte der gefilterten Messfolge Df anzutreffen?

Satz 2.8

f∈V_sup


sup	\|Df[k]\| ≤ \|\|a\|\|₁	sup	(f[k])
k∈Z		k∈Z

Die Änderung des Wertebereichs ist somit direkt von der Eins-Norm der Filterfunktion abhängig. Es ist nicht schwer, Signale f ∈ V_sup zu konstruieren, die aus der Ungleichung in Satz 2.8 eine Gleichung machen.

2.2.6 Beispiele

Das bekannteste Digitalfilter ist wohl das Mittelwertfilter. Wir definieren hier eine symmetrische Ausführung:

f∈V_sup

k∈Z

Df[k] ≔

2N + 1

N
∑	f[k - n]
n=-N

oder

f∈V_sup

Df ≔

2N + 1

w_N ∗ f

a ≔

w_N

2N + 1

Das Mittelwertfilter dient zur Glättung verrauschter Signale (Gleitende Mittelwertbildung). Es ist finit, aber nicht invertierbar, da der Frequenzgang

ℱ a(ω) =

sin((2N +1)ω/2)

(2N + 1)sin(ω/2)

nur im Trivialfall N = 0 ohne Nullstellen ist. Der Wertebereich eines Signals bleibt wegen ||a||₁ erhalten.

Der Differenzenoperator Δ ist ebenfalls ein finites Digitalfilter:

Δ ≔ ½(T - T^-1)

Es hat die antisymmetrische Filterfunktion

a[k] =

{

½		k = 1
− ½		k = -1
0		sonst

und wegen ℱITⁿd(ω) = exp(iωn) den imaginären Frequenzgang

ℱIa(ω) = ½(exp(iω) - exp(-iω)) = i sin(ω)

Im Bereich kleiner ω-Werte (→ ℱIa(ω) ≈ iω) wirkt der Differenzenoperator wie eine Differentiation. Die Differenzenbildung ist nicht umkehrbar (ℱIa(ω) = 0), ein Hinweis darauf, dass die numerische Integration nicht durch ein Digitalfilter (wohl aber durch einen anderen Operator!) verwirklicht werden kann. Der Signalwertebereich bleibt erhalten: ||a||₁ = 1.

Ein RC-Filter kann durch ein "digitales RC-Filter" approximiert werden, wenn wir als Filterfunktion wählen:

a_α[k]=

{

1 - α)α^k	0 < α < 1	k ≥ 0

0		k < 0

Dieses Filter ist weder finit, noch symmetrisch, noch antisymmetrisch, dafür aber kausal. Der Frequenzgang (geometrische Reihe!)

ℱIa_α(ω) =

1 - α

1 - αexp(-iω)

ist stetig, differenzierbar und frei von Nullstellen. Wir haben also

(ℱIa_α(ω))^-1

(1 - αexp(-iω))/(1 - α) =:

∑

k∈Z

a^-1[k]exp(-iωk)

woraus sich die inverse Filterfunktion a^-1 durch Koeffizientenvergleich direkt ablesen lässt:

a^-1[k] =

{

- α(1 - α)^-1		k = 1
α(1 - α)^-1		k = 0
0		sonst

Das diskrete RC-Filter erweist sich als brauchbare Simulation des elektrischen RC-Filters auf dem Rechner, wobei α mit der Zeitkonstante verknüpft ist: α = exp(- τ/(RC)). Eine gute Approximation darf man erwarten, wenn die Zeitkonstante RC des kontinuierlichen Filters wesentlich größer als der Samplingabstand τ ist. (Bendat-Piersol 1971 S 297) der Signalwertebereich bleibt erhalten: ||a_α||₁ = 1.

Abbildung 2.1 Filterfunktion eines digitalen RC-Filters

Vielfach wird der (ideale) digitale Tiefpass diskutiert. Sein Name entspringt der Eigenschaft, ausschließlich Signalfrequenzanteile aus ]-π,π], deren Betrag kleiner als βπ (0 < β ≤ 1) ist, durchzulassen. Der Frequenzgang g des Tiefpasses hat die Form

g(ω) ≔

{

1	\|ω\| < βπ
		(0 < β ≤ 1)
0	βπ < \|ω\| ≤ π

Abbildung 2.2 Frequenzgang des Tiefpasses β = 0.2

Die Unstetigkeit des Frequenzgangs bei ω = ± βπ hat allerdings zur Folge, dass die formal gebildete Filterfunktion ℱ^-1g zwar quadratsummierbar, nicht aber absolutsummierbar ist! Damit dürfen wir den idealen Tiefpass nach unserer Definition nicht zu den Digitalfiltern zählen.

k∈Z

ℱ ^-1g[k] =

{

k = 0

sin(βπk)

πk

sonst

Abbildung 2.3 "Filterfunktion" des Tiefpasses β = 0.2

Eine der Kuriositäten des Tiefpasses ist die, dass an der Stelle null des Frequenzgangs zwar alle Ableitungen existieren, nicht jedoch die m-ten Momente (vgl. Satz 1.3). Die Daten: ℱ (ℱ^-1g) = g, |||g|||² = β, ||ℱ^-1g||₁ = ∞. µ(ℱ^-1g) = 1.

2.3 Signaldeformation durch digitale Filterung

2.3.1 Vorbemerkungen

Wir werden uns jetzt immer gezielter der Gruppe von Digitalfiltern zuwenden, die die Aufgabe haben, bei kleinstmöglicher Verformung des Signals eine hohe Störunterdrückung zu erwirken. Das Hauptinteresse gilt dabei denjenigen Signalen, die sich durch gaußähnliche Funktionen beschreiben lassen. Gaußähnlich nennen wir alle symmetrischen absolutsummierbaren Funktionen mit positivem Maximum an der Stelle null. Beispiele für gaußähnliche Funktionen sind die Gaußfunktion selbst, die Lorentzfunktion, die Fensterfunktion w_N und der Einheitsimpuls d.

In den allermeisten Fällen ist es nicht möglich, das Ausgangssignal eines Digitalfilters in geschlossener Form zu berechnen. Wir werden deshalb darauf angewiesen sein, die wichtigsten Signaleigenschaften als Funktionale darzustellen und dann deren Änderung zu ermitteln.

2.3.2 Eigenfunktionen eines Digitalfilters

Zunächst ist die Frage von Bedeutung, ob es nichttriviale Digitalfilter D gibt, die ein Signal f bis auf eine Konstante unverändert lassen: Df = αf. Für absolutsummierbare Signale muss diese Frage leider mit "nein" beschieden werden.

Satz 2.9

Ein Digitalfilter D: V₁ → V₁ hat keine Eigenfunktionen f ∈ V₁\{o}, es sei denn, es handelt sich um das Einheitsfilter I mit der Filterfunktion d.

Der Beweis ist denkbar einfach: Sei f ∈ V₁, α ∈ ℝ und Df = a ∗ f = αf. Die Gleichung a ∗ f = αf heißt in der Spektraldarstellung ℱ a ● ℱ f = αℱ f oder

ω∈]-π,π]

ℱ a(ω)ℱ f(ω) = αℱ f(ω)

Sie wird trivialerweise nur durch ℱ f = o oder ℱ a = α1 erfüllt, und das ist wegen ℱ^-1o = o und ℱ ^-11 = d die Aussage des Satzes. Dieser Beweis gilt natürlich nur für absolutsummierbare Signale und mit Einschränkungen für quadratsummierbare, nicht dagegen für beschränkte oder gar unbeschränkte. In der Tat findet man nichtfouriertransformierbare Funktionen, die ein (oft sogar beliebiges) Digitalfilter bis auf eine multiplikative Konstante unverändert durchlaufen.

Der folgende Satz lässt sich leicht nachrechnen.

Satz 2.10

(i)		Alle Digitalfilter haben die konstante Funktion als Eigenfunktion
(ii)		Alle finiten Digitalfilter haben die Exponentialfunktion als Eigenfunktion
(iii)		Alle symmetrischen Digitalfilter haben die Cosinusfunktion als Eigenfunktion
(iv)		Alle antisymmetrischen Digitalfilter haben die Sinusfunktion als Eigenfunktion
(v)		Es gibt finite Digitalfilter, die alle Polynome m-ten Grades als Eigenfunktion haben

Allen Eigenfunktionen f ist gemeinsam, dass man ihre Werte f[k - n] aufspalten kann in ein Produkt f[k]f[-n] oder eine Summe f[k] + f[-n] oder eine Mischung aus beidem.

2.3.3 Maximumverschiebung bei gaußähnlichen Signalen

Die wichtigste physikalische Eigenschaft einer gaußähnlichen Linie zB in einem Emissionsspektrum ist die Lage ihres Maximums. Wir hatten bereits gezeigt, dass symmetrische Filter die Symmetrieeigenschaften einer Funktion erhalten (2.2.2). Ist also ein symmetrisches Digitalfilter mit einer anständigen Filterfunktion ausgestattet (die zB aus einem Gaußpeak nicht zwei macht, was auch denkbar wäre), so bleibt das Maximum einer gaußähnlichen Funktion in seiner Lage unverändert. bei nichtsymmetrischen Filtern (zB RC-Filter) ist diese Erhaltungseigenschaft ausgeschlossen. Die Berechnung der Maximumverschiebung ist hier mit analytischen Methoden i.A. nicht möglich, so dass man auf die Hilfe eines Rechners angewiesen ist.

2.3.4 Höhenreduktion und Verbreiterung gaußähnlicher Signale

Physikalisch gesehen stellt die Höhe des maximums zB einer Gaußline ein Maß für die Intensität des spektralen Ereignisses dar. Deshalb ist der Einfluss einer Digitalisierung auf die Höhe des Signals an der Stelle null nicht ohne Bedeutung, wobei wir davon ausgehen, dass der Nullpunkt der Variable immer an der Stelle des zu betrachtenden Maximums liegt. Die (Maximal-) Höhe einer gaußähnlichen Funktion f wird damit durch das Funktional f → f[0] = <d,f> bestimmt. Die Höhe der gefilterten Funktion Df ist also <Df,d> = <a ∗ f,d> = <f,Sa> = <f,a>, vorausgesetzt, D ist symmetrisch, da andernfalls das Maximum von Df nicht mehr an der Stelle null zu liegen kommt. Beim RC-Filter lässt sich die Höhe des gefilterten Signals aus der Maximumverschiebung berechnen, da glücklicherweise das Maximum einer RC-gefilterten gaußähnlichen Funktion stets die ungefilterte Funktion schneidet, was wir bei der Rekursivdarstellung des digitalen RC-Filters beweisen werden.

Sind zwei gaußähnliche Signale additiv so überlagert, dass ihre Maxima dicht nebeneinander liegen, erhebt sich die Frage der "Auflösungsverschlechterung" durch digitale Filterung. Die Auflösung zweier Spektrallinien wird umso schlechter, je mehr sich die einzelnen Linien bei der Filterung verbreitern. Die Änderung der Breite (zB Halbwertsbreite) einer gaußähnlichen Funktion lässt sich manchmal näherungsweise, meist aber nur unter Benutzung eines Rechners ermitteln. Eine grobe Abschätzung legt nahe, dass µ(Df)/Df[0] ein Maß für die Breite des gefilterten Signals sein könnte, wenn µ(f)/f[0] proportional der Breite des ungefilterten Signals f ist.

2.3.5 Momentenerhaltung

Von den Momenten einer gefilterten Funktion ist, falls sie existieren, Erfreuliches zu berichten.

Satz 2.11

(i)


Λ		µ(Df) = µ(a)µ(f)
f∈V₁

(ii)

	m-1
µ_m(Df) = µ(a)µ_m(f) +	∑	(	m n	)	µ_n(a)µ_m-n(f) + µ_m(a)µ(f)
	n=1

Das Moment µ(f) wird also bis auf eine filterspezifische Konstante µ(a) immer erhalten, besondere Beachtung mögen dabei die Filter mit µ(a) = 1 finden. Der zweite Teil des Satzes sagt aus: das m-te Moment eines beliebigen Signals bleibt bis auf eine Konstante µ(a) erhalten, wenn die Momente der Filterfunktion µ₁(a) bis einschließlich µ_m(a) verschwinden. Die ungeraden Momente sind übrigens, falls sie existieren, für symmetrische Funktionen automatisch null.

Die aufgezählten Tatsachen lassen sich als Konstruktionsvorschrift für momentenerhaltende Digitalfilter nutzen.

2.4 Störunterdrückung durch Digitalfilter

2.4.1 Vorbemerkungen

Zu den lästigsten Störungen einer Messfolge zählt in der Regel das Rauschen. Wir wollen uns deshalb hier nicht mehr mit periodischen Störungen auseinandersetzen, deren Unterdrückung ja direkt durch den Frequenzgang des Digitalfilters zu beschreiben ist, sondern uns ganz dem Rauschen widmen.

2.4.2 Rauschunterdrückung

Wir haben nun zu untersuchen, in welcher Weise ein Digitalfilter auf die mittlere Amplitude des Rauschens einwirkt. Wir setzen farbiges oder weißes, aber ergodisches Rauschen, dessen Mittelwert ohne Beschränkung der Allgemeinheit null ist, voraus.

Das Maß für die mittlere Rauschamplitude war die √Varianz (1.3.3). Gesucht ist also jetzt die Varianz des gefilterten Rauschens Ds, wobei die Varianz des Rauschens s bekannt sei.

Satz 2.12

Sei s farbiges (r weißes) Rauschen mit absolutsummierbarer Korrelationsfunktion Θs und D ein Digitalfilter mit der Filterfunktion a, dann gilt:

(i)		σ²(Ds) = <a,Θs ∗,a>σ²(s)

(ii)		σ(Dr) = \|\|a\|\|σ(r)

Uns soll besonders der Fall weißen Rauschens näher beschäftigen. Wir brauchen dann nur die Norm der Filterfunktion a zu berechnen und erhalten auf diese Weise die "Rauschverstärkung". also das Verhältnis von mittlerer Rauschamplitude am Ausgang des Filters zur mittleren Rauschamplitude am Eingang des Filters: σ(Dr)/σ(r).

Von einem glättenden Digitalfilter wird man erwarten dürfen, dass die Rauschverstärkung kleiner als eins ist. Eine interessant Parallele offenbart sich, wenn wir die Varianz durch die Norm und das Rauschen durch eine Störspitze d (1.3.2) ersetzen:

\|\|Dd\|\| = \|\|a\|\|	=	\|\|a\|\| \|\|d\|\|

σ(Dr)	=	\|\|a\|\|σ(r)

der Einheitsimpuls d scheint sich so wie weißes Rauschen mit der Varianz eins zu benehmen, nur dass er eben absolutsummierbar ist. Vertieft wird diese Anschauung noch dadurch, dass die Definition des weißen Rauschens (Def. 1.16) in keiner Weise eindeutig ist, es gilt nämlich auch

Θd = d

In entsprechender Art lässt sich Dd als farbiges bzw vorgefiltertes "Rauschen" auffassen. Wir wenden dieses "Konzept" jetzt einmal an, um zu zeigen, dass weißes Rauschen, das zweimal das gleiche Filter D passiert, beim zweiten Mal schwächer unterdrückt wird:

||DDd|| = ||a ∗ a|| ≥ ||a||² = ||Dd||²

Das Gleichheitszeichen tritt nur auf für a ∗ a = d. Die Rauschverstärkung zweier hintereinandergeschalteter gleicher Filter ||D²d|| ist also für nichttriviale Digitalfilter D immer größer als das Produkt der einzelnen Rauschverstärkungen ||Dd||². Die Ungleichung ist ein Resultat der Schwarz-Ungleichung (Hilfssatz 1.7 (iii)):

||a||² = <a,a> = <d,a ∗ Sa> ≤ ||a ∗ Sa|| = ||a ∗ a||

Die Korrelationsfunktion des gefilterten Rauschens ist

ΘDr =

a ∗ Sa

||a||²

= ΘDd = Θa

Der Korrelationsoperator Θ ist also für absolutsummierbare Signale f gegeben durch

f∈V₁\{o]

Θf =

f ∗ Sf

||f||²

der Mittelwert des Rauschens bleibt bis auf eine Konstante µ(a) erhalten:

f∈V_FP

Zum Vergleich:

f∈V₁

µ(Df) = µ(a)µ(f)

Wir hatten für unser Rauschen <s> = 0 angenommen. Nach der Filterung ist der Mittelwert damit ebenfalls null.

3 Optimale Digitalfilter für gaußähnliche Signale

3.1 Optimale Digitalfilter (weißes Rauschen)

3.1.1 Definition

Es gibt unzählige Möglichkeiten, "optimale" Digitalfilter zu definieren. Wir wollen den Begriff "optimal" auf ein Digitalfilter anwenden, das in der Lage ist, ein verrauschtes Signal möglichst in seiner Ursprungsform, also ohne Rauschen und ohne Signaldeformation zu reproduzieren. Dass sich bei gaußähnlichen Signalen das Rauschen nicht ohne Deformation abschwächen lässt, ergibt sich aus der Nichtexistenz absolutsummierbarer Eigenfunktionen von Digitalfiltern (Satz 2.9). Also müssen wir nach einem Digitalfilter D mit Filterfunktion a suchen, für das die Rauschverstärkung σ(Ds)/σ(s) möglichst klein ist - unter der Voraussetzung natürlich, dass sich die Signaldeformation in Grenzen hält. Als Maß für die Deformation bei gaußähnlichen Signalen bietet sich die Veränderung der Höhe (des Maximums) an, sie lässt sich rechnerisch am Einfachsten fassen. Für weißes Rauschen r gilt:

σ²(Dr)

σ²(r)

= ||a||²

Die Höhe des ungefilterten gaußähnlichen Signals f (= Sf) im Maximum ist

f[0] = <d,f> = <d,Sf>,

die des gefilterten Signals Df

Df[0] = <Df,d> = <a ∗ f,d> = <a,Sf> = <a,f>

3.1.2 Rechnung

Wir fragen uns jetzt, wie die optimale Filterfunktion (zunächst für beliebige absolutsummierbare Signale) aussieht unter der Nebenbedingung, dass wir den Signalwert an der Stelle null festhalten, zB

Df[0] = f[0] ⇔ <a,Sf> = <d,Sf>

Zur mathematischen Berücksichtigung dieser Nebenbedingung bedienen wir uns der Methode der Lagrange-Multiplikatoren und bilden für die quadratische Rauschverstärkung das Lagrange-Funktional

ϕ(a) ≔ ||a||² - λ(<a,Sf> - <d,Sf>)

Dieses differenzierbare Funktional ist zu minimieren. Die Ableitung an der Stelle a', ϕ'(a'), ist die lineare Abbildung

ϕ'(a'):

{

V₁ → ℝ

g → <2a' - λSf,g>

Wir wollen aber stattdessen anschaulicher schreiben

ϕ'(a') = 2a' - λSf

was der Gradientenbildung (mit partieller Differentiation nach allen a[k], k ∈ Z) in einem unendlichdimensionalen Vektorraum entspricht. Aus der notwendigen Forderung, dass ϕ'(a') im Minimum (bei a' = a) gleich der Nullfunktion o sein muss, erhalten wir

a = ½λSf

Der Lagrangemultiplikator λ wird mit Hilfe der Nebenbedingungen (<a,Sf> - <d,Sf> = 0) bestimmt.

Satz 3.1

Für eine beliebige Funktion f ∈ V₁ und weißes Rauschen ist ein Digitalfilter D bzgl. der Nebenbedingung

Df[0] = f[0]

optimal, wenn es die Filterfunktion

a =

f[0]

||f||²

hat. Für diese Filterfunktion ist also die Rauschverstärkung

||a|| = f[0]/||f|| = √(a[0])

unter der Nebenbedingung Df[0] = f[0] minimal.

Wir haben in dieser Rechnung bisher alle absolutsummierbaren Funktionen als Signale zugelassen. Jedoch ist die Nebenbedingung Df[0] = f[0] nicht für all diese Funktionen nutzreich. So sind beispielsweise alle antisymmetrischen Funktionen an der Stelle null gleich null. Damit wäre die optimale Filterfunktion die Nullfunktion - sicher kein sinnvoll anwendbares Ergebnis. Beschränken wir uns dagegen auf gaußähnliche Signale, treten derlei Schwierigkeiten nicht auf. Für diesen Fall wollen wir festhalten:

(i) Die optimale Filterfunktion hat die Form des Signals
(ii) Die Unterdrückung weißen Rauschens ist umso besser, je höher die Norm des Signals ist, und die ist i.A. direkt proportional der Halbwertsbreite des Signals.

Wichtig ist die allgemeine Feststellung, dass die Rauschunterdrückung (1/||a||) für ein festes Signal f eine obere Grenze hat unter der Voraussetzung, dass das gefilterte SignalDf "erkennbar" bleibt.

3.1.3 Beispiele

Wählen wir als künstliches Signal die Fensterfunktion w_N, so erhalten wir als optimale Filterfunktion die Filterfunktion des Mittelwertfilters (2.2.6)

a =

w_N[0]

||w_N||²

w_N =

w_N

2N +1

mit ||a|| = 1/√(2N + 1) und µ(a) = ||a||₁ = 1.
Das gefilterte Signal Dw_N hat die Form eines Dreiecks (Abb. 3.2)

Dw_N =

w_N ∗ w_N

2N +1

Ist das Signal eine Gaußfunktion f_α[k] ≔ exp(-k²/α²), können wir unter der Voraussetzung genügend großer α wieder Integralnäherungen benutzen (1.2.5).

a_α =

f_α[0]

||f_α||²

f_α ≈

√(2/π)

f_α

||a_α|| ≈

√(2/π)

µ(a_α) = ||a_α||₁ ≈ √(2)

D_αf_α ≔ a_α ∗ f_α ≈ f_√(2)α

Abbildung 3.1 Fensterfunktion als Signal N = 10

Abbildung 3.2 Optimal gefilterte Fensterfunktion aus Abb. 3.1

Die Halbwertsbreite einer Gaußfunktion beträgt 2√(ln(2))α. Die Halbwertsbreite einer optimal gefilterten Gaußfunktion wächst also um den Faktor √(2).

Für Lorentzfunktionen

f_α[k] ≔

α²

α² + k²

ist das optimale Digitalfilter D_α ("Lorentzfilter") wieder exakt berechenbar:

a_α =

f_α[0]

||f_α||²

f_α =

2sinh(πα)

παsinh(πα)cosh(πα) + π²α²

f_α

||a_α|| =

2sinh(πα)

παsinh(πα)cosh(πα) + π²α²

||a_α||₁ = µ(a_α) =

2sinh(πα)cosh(πα)

sinh(πα)cosh(πα) + πα

Das "Dreiecksfilter" ist benannt nach seiner Filterfunktion (vgl. Abb. 3.2)

a ≔

8N² + 8N +3

w_N ∗ w_N

die für ein synthetisches Signal f mit

k∈Z

f[k] ≔

w_N ∗ w_N

2N +1

[k] =

{

2N + 1 - |k|

2N +1

|k| ≤ 2N

sonst

optimal ist. Die Daten:

||a||² =

3 (2N + 1)

8N² + 8N +3

µ(a) = ||a||₁ =

3(2N + 1)²

8N² + 8N +3

12N² + 12 N +3

8N² + 8N +3

≥ 1

3.2 Symmetrische Polynomfilter

3.2.1 Definition

Polynomfilter scheinen die beliebtesten Digitalfilter zu sein, wenn es um die Glättung von Signalen geht. Wir werden ein Digitalfilter, das beliebige Polynome bis zum Grad m ∈ ℕ₀ unverändert lässt und dabei Rauschen maximal unterdrückt, Polynomfilter m-ten Grades nennen. Fehlerfreie Filterung bei gleichzeitiger Glättung dürfen wir erwarten, weil es nach Satz 2.10 nichttriviale Digitalfilter gibt, die alle Polynome bis zum Grad m als Eigenfunktionen besitzen. Allerdings muss (oder darf!) ein solches Digitalfilter finit sein (2.1.2), sonst ist die Beschränktheit nicht gewährleistet. Wir werden uns hier ausschließlich mit symmetrischen Polynomfiltern beschäftigen.

3.2.2 Rechnung

Beginnen wir mit der Definition einer Parabel m-ten Grades u^m ∈ V:

Definition 3.1

k∈Z

m∈N

u^m[k] ≡ k^m

m-te Parabel

k∈Z

u⁰[k] ≡ 1

u¹ ≡ u

Hilfssatz 3.1

Sei D ein finites Digitalfilter mit Filterfunktion a ∈ P_NV, dann gilt:

m'∈ℕ₀

(

m=0

Du^m[0] = u^m[0]

)

⇔

Du^m' = u^m'

In Worten: Ist der Fehler Du^m[k] - u^m[k] für alle m von 0 bis m' an der Stelle k = 0 null, so wird die Parabel u^m' durch das Filter D nirgends verändert - und umgekehrt. Daraus folgt aber auch, dass alle niedrigeren Parabeln u^m, m < m', erhalten bleiben. Diese Aussage können wir für beliebige Polynome

p_m' ≔

∑

m=0

α_mu^m

erweitern:

Satz 3.2

Sei D ein finites Digitalfilter mit Filterfunktion a ∈ P_NV und p_m ein beliebiges Polynom m-ten Grades, dann gilt:

m'∈ℕ₀

(

m=0

Dp_m[0] =p_m[0]

)

⇔

Dp_m' =p_m'

⇔

Du^m' =u^m'

Um den weiteren Rechengang zu vereinfachen, führen wir jetzt die Orthogonalpolynome b_m ∈ P_NV ein, deren Werte b_m[k] außerhalb des Bereichs -N ≤ k ≤ N identisch null sein sollen (Definition siehe 6.1) Diese Polynome unterscheiden sich nur durch eine Konstante von den Grampolynomen und entsprechen den Legendrepolynomen, nur dass sie eben nicht bezüglich der Integration über dem Intervall -1 bis +1 sondern bezüglich der Summation von -N bis N orthogonal sind. Sie zeichnen sich definitionsgemäß durch

^m<b_m,b_n> =

{

\|\|b_m\|\|²		m = n ∈ ℕ₀
0		m ≠ n

aus. Mit ihrer Hilfe können wir die Nebenbedingungen an ein Polynomfilter m'-ten Grades (Satz 3.2) wie folgt formulieren:

m=0

Db_m[0] = <a,Sb_m> = b_m[0] = <d,b_m> = <d,Sb_m>

Dass die Polynome b_m finit sind, hat hier keine Auswirkungen, da im Skalarprodukt wegen der geforderten Finität der Filterfunktion (a ∈ P_NV) über einen Bereich (-N bis N) der Polynome b_m summiert wird, der keine der beiden "Sprungstellen" enthält. In diesem Bereich ist b_m nicht von einem normalen (infiniten) Polynom zu unterscheiden.

Unsere Aufgabe ist es nun, nach einer Filterfunktion a ∈ P_NV zu suchen, für die die Rauschverstärkung ||a|| (bzw. ||a||²) minimal ist und gleichzeitig die obigen Nebenbedingungen erfüllt werden. Durch die Anwendung finiter Polynome b_m haben wir unser Problem auf die Optimierungsaufgabe für absolutsummierbare Signale zurückgeführt (3.1.2); der Unterschied liegt lediglich darin, dass uns hier gleich mehrere Nebenbedingungen das Leben erschweren.

Minimieren wir also das Lagrangefunktional ϕ mit der Rauschverstärkung ||a|| für weißes Rauschen und den m' + 1 Nebenbedingungen

m=0

<a,Sb_m> = <d,Sb_m>

ϕ(a) ≔ ||a||² -

∑

m=0

λ_m(<a,Sb_m> = <d,Sb_m>)

Die Ableitung von ϕ muss im Minimum (a = a_m', m' ∈ ℕ₀) gleich der Nullfunktion o sein:

ϕ'(a_m') ≔ 2a_m' -

∑

m=0

λ_mSb_m= o

→

a_m' = ½

∑

m=0

λ_mSb_m

Die Lagrangemultiplikatoren λ_m errechnen sich wiederum aus den Nebenbedingungen, wobei die Orthogonalität der b_m die Arbeit ganz wesentlich vereinfacht:

n=0

<a_m',Sb_n> =

<½

∑

m=0

λ_mSb_m,Sb_n>

∑

m=0

λ_m<Sb_m,Sb_n>

∑

m=0

λ_m<b_m,b_n>

½λ_n||b_n||²

<d,Sb_n>

→

n=0

λ_n = 2

<d,Sb_n>

||b_n||²

Satz 3.3

Ein (optimales) symmetrisches Polynomfilter D_m' vom Grad m' hat die Filterfunktion

m'∈ℕ₀

a_m' =

∑

m=0

<d,b_m>

||b_m||²

b_m

∈ P_NV

(b_m modifizierte Grampolynome, siehe 6.1)

Die Rauschverstärkung

||a_m'|| = √

(

∑

m=0

<d,b_m>²

||b_m||²

)

= √(a_m'[0])

für weißes Rauschen ist minimal, wobei für alle Polynome p_m m-ten Grades mit m ≤ m' gilt:

m=0

D_m'p_m = p_m

Die Filterfunktion a_m' ist symmetrisch, weil auf Grund der Wahl eines symmetrischen Orthogonalitätsintervalls (-N bis N) die modifizierten Grampolynome b_m für gerade m symmetrisch und für ungerade m antisymmetrisch sind. Damit gilt aber für ungerade m: <d,b_m> = 0, so dass wir nur über symmetrische b_m summieren müssen:

m'∈ℕ₀

a_2M =

∑

m=0

<d,b_2m>

||b_2m||²

b_2m

Weiterhin folgt daraus wegen a_2M = a_2M+1 die Erhaltung eines Polynoms (2M+1)-ten Grades durch ein Polynomfilter 2M-ten Grades.

Die Filterfunktion a_2m lässt sich noch einfacher berechnen, wenn wir von den genau um eine Potenz erniedrigten Grampolynomen Gebrauch machen. Diese Gebilde wollen wir c_2m+1 heißen (siehe 6.1). Weil die b_2m+1 antisymmetrisch sind, müssen die daraus gebildeten Polynome c_2m+1 natürlich symmetrisch sein.

Satz 3.4

Die Filterfunktion eines Polynomfilters vom Grad 2M bzw 2M +1 ist darstellbar durch

a_2M = a_2M+1 =

c_2M+1

µ(c_2M+1)

Das Moment von c_2M+1 ist gegeben durch (6.1):

µ(c_2M+1) = (-1)^M

M! M!

(2M+1)!

∏

m=-M

(2N + 2m +1)

Bemerkenswert ist noch, dass ein Polynomfilter D_2M 2M-ten Grades zum Einheitsfilter I zusammenschrumpft, falls M ≥ N (a_2M ∈ P_NV). Das hängt damit zusammen, dass eine finite Funktion f ∈ P_NV ohne Fehler durch ein finites Polynom p_2N 2N-ten Grades dargestellt werden kann. P_NV ist nämlich mit der Norm || || ein Hilbertraum, in dem zB die Grampolynome b₀, b₁, ..., b_2N ein vollständiges Orthogonalsystem bilden.

Eine wesentliche Eigenschaft der Polynomfilter ist bisher noch nicht zum Tragen gekommen: Ein Polynomfilter 2M-ten Grades erhält die Momente µ und µ_m für alle m von 1 bis 2M +1 exakt, falls sie existieren. Es gilt sogar:

Satz 3.5

Erhält ein beliebiges finites symmetrisches Digitalfilter das m-te Moment einer beliebigen Funktion, so wird auch eine Parabel m-ten Grades fehlerfrei gefiltert - und umgekehrt.

Diese Eigenschaft ist ein Ergebnis der Umformung

µ_m(Df) =

∑

k∈Z

f[n]Du_m[n]

die nur für symmetrische Digitalfilter D Gültigkeit hat.

3.2.3 Fehlerabschätzung für polynomgefilterte Signale

In der Praxis kommen polynomiale Signale so gut wie nie vor. Symmetrische Polynomfilter lassen sich jedoch auch vorteilhaft auf gaußähnlich Signale anwenden. Die Idee vieler Polynomfilterberechnungen (zB Savitzky/Golay 1964 p 1627) besteht darin, dass man versucht, jeweils einer begrenzten Anzahl von Messwerten ein Polynom bestimmten Grades anzupassen, und zwar "gleitend", so wie beim Mittelwertfilter eine Gerade gleitend angepasst wird. Der resultierende Glättungseffekt hat bei absolutsummierbaren Funktionen natürlich einen Fehler zur Folge, da sich diese nicht durch eine abbrechende Potenzreihe (d.h. ein Polynom) darstellen lassen. Nehmen wir einmal an, unser Signal f ist die Diskretisierung eines kontinuierlichen Signals f

k∈Z

f[k] ≔ f(k)

Die Funktion f sei in eine Taylorreihe um den Nullpunkt entwickelbar (Beispiel: Gaußfunktionen)

k∈Z

f[k] = f(k) =

∞

∑

k=-0

kⁿn!

f⁽ⁿ⁾(0) = f(0) + kf '(0) + ½k² f ''(0) + ...

Wenden wir nun ein Polynomfilter D_2M vom Grad 2M auf die Taylorreihe von f an, bleiben nach unserer Theorie die ersten Glieder dieser Reihe bis n = 2M + 1 ungeschoren. Ein Fehler stellt sich erst bei den Summanden mit n > 2M +1 ein. Unterstellen wir, dass die Taylorreihe schnell genug konvergiert, genügt es, zur Berechnung der Deformation des Signals nur das Glied n = 2M + 2 heranzuziehen und alle höheren zu vernachlässigen.

f ≈

2M+1

∑

n=0

f⁽ⁿ⁾(0)

uⁿ +

f ^(2M+2)(0)

(2M+2)!

u^2M+2

D_2Mf ≈

2M+1

∑

n=0

f⁽ⁿ⁾(0)

uⁿ +

f^(2M+2)(0)

(2M+2)!

D_2Mu^2M+2

D_2Mf - f ≈

f^(2M+2)(0)

(2M+2)!

D_2Mu^2M+2 - u^2M+2

Daraus wird speziell für den Fehler an der Stelle null:

(D_2Mf - f)[0] ≈

f^(2M+2)(0)

(2M+2)!

D_2Mu^2M+2[0]

(D_2Mf - f)[0] ≈

f^(2M+2)(0)

(2M+2)!

<a_2M,P_Nu^2M+2>

Für das Skalarprodukt finden wir in 6.1 die Formel:

<a_2M,P_Nu^2M+2> =

2(-1)M((2M + 1)!)³

(4M + 3)! M! M!

M+1

∏

m=-M

(N + m)

Eine konkrete Berechnung für Gaußfunktionen f_α[k] ≔ exp(-k²/α²) ergibt dann beispielsweise

(D₀f_α - f_α)[0] ≈ -

N(N + 1)

3α²

(D₂f_α - f_α)[0] ≈ -

3(N - 1)N(N + 1)(N + 2)

70α⁴

(D₄f_α - f_α)[0] ≈ -

5(N - 2)(N - 1)N(N + 1)(N + 2)(N + 3)

1386α⁶

Erfahrungsgemäß führen diese Näherungsformeln für N < ½|α| zu brauchbaren Ergebnissen, also im Falle schwacher Filterung bzw kleiner Fehler.

Im Prinzip kann man auf die geschilderte Art und Weise auch an anderen Stellen k des Signals den Fehler abschätzen, wobei die Taylorreihe dann zweckmäßigerweise um den Punkt k herum entwickelt wird. Man erhält einen Ausdruck, der bei unseren Polynomfiltern D_2M näherungsweise proportional zur (2M + 2)-ten Ableitung des zugehörigen kontinuierlichen Signals an dieser Stelle ist.

3.2.4 Beispiele

Die Polynome b_2m bzw c_2M+1 entnehmen wir dem Anhang (6.1). Unter Benutzung von Satz 3.4

a_2M = a_2M+1 =

c_2M+1

µ(c_2M+1)

erhalten wir für M = 0 unser altbekanntes Mittelwertfilter, dessen Eigenschaften wir ja bereits kennen (2.2.6):

a₀ =

c₁

µ(c₁)

w_N

µ(w_N)

w_N

2N +1

Für M = 1, 2 und 3 gilt:

a₂[k] =

(3N² + 3N -1) -5k²

(1/3)(2N -1)(2N +1)(2N + 3)

w_N[k]

a₄[k] =

(15N⁴ + 30N³ - 35N² - 50N +12) - 35(2N² + 2N - 3)5k² + 63k⁴

(1/3)(2n - 3)(2N -1)(2N +1)(2N + 3)(2N + 5)

w_N[k]

a₆[k] =

α₀ + α₂k² + α₄k⁴ + α₆k⁶

w_N[k]

α₀=

23N⁶ + 105N⁵ - 280N⁴ - 735N³ + 497N² + 882N - 180

α₂=

-(315N4 + 630N3 -1890N2 -2205N +2121)

α₄=

693N2 + 693N - 2310

α₆=

-429

β =

(4/35)(2N-5)(2N-3)(2N-1)(2N+1)(2N+3)(2N+5)(2N+7)

Bedauernswerterweise lässt sich die 1-Norm von a₂, a₄, a₆, ... nicht elementar berechnen, da diese Filterfunktionen in gewissen Bereichen negative Werte annehmen - der Preis für die Erhaltung höherer Momente. Man ist deshalb auf eine numerische Berechnung für jedes N angewiesen, zum Glück ist aber die N-Abhängigkeit nicht sehr groß.

max

(||a₂||₁) = 1.38095...

(N_max = 3)

lim

N→∞

(||a₂||₁) = 1.323...

max

(||a₄||₁) = 1.54792...

(N_max = 6)

lim

N→∞

(||a₄||₁) = 1.504...

max

(||a₆||₁) = 1.68198...

(N_max = 6)

lim

N→∞

(||a₆||₁) = 1.629...

Abbildung 3.3 Filterfunktionen der Polynomfilter 2M = 0, 2, 4, 6; N = 30

3.3 Optimale Filterbreite

3.3.1 Effizienz

In Abschnitt 3.1 hatten wir festgestellt, dass ein Digitalfilter nur für solche Signale optimal ist, die die gleiche Form wie die Filterfunktion haben. Praktisch ist diese Bedingung kaum erfüllbar, weil fast alle Signale infinit sind (infinite Digitalfilter sind nicht realisierbar), ein und dieselbe Messfolge Signalanteile (zB Gaußkurven) unterschiedlicher Halbwertsbreite enthält und man die genaue Form der Signalanteile oftmals höchstens erraten kann. Das Konzept des optimalen Filters aus 3.1 muss sich deshalb den Vorwurf gefallen lassen, in der physikalischen Messpraxis wirklichkeitsfremd zu sein. Andererseits hatten wir in 3.2.3 schon angedeutet, dass Polynomfilter gut geeignet sind zur Filterung (d.h. Glättung) gaußähnlicher Signale. Spätestens hier stellt sich die Frage, ob es nicht ein Maß dafür gibt, wie gut ein beliebiges Digitalfilter an das theoretisch optimale heranreicht. Dieses Maß müsste auch in der Lage sein, das Verhalten eines festen Filters auf gaußähnliche Signale unterschiedlicher Breite zu beschreiben. In der Tat gibt es ein solches "Bewertungsfunktional" für symmetrische Digitalfilter und gaußähnliche Signale, wir nennen es "Effizienz" (die Statistiker sagen "Korrelationskoeffizient").

Definition 3.2

f,g∈V₁\{o}

χ(f,g) ≡

<f,g>

||f|| ||g||

Effizienz

Für gaußähnliche Signale f und symmetrische Digitalfilter D war <a,Sf> = <a,f> = Df[0] die Höhe des gefilterten Signals Df und σ(Dr)/σ(r) = ||a|| die Rauschverstärkung für weißes Rauschen. Eine in der Spektroskopie gängige Definition für das Signal-Rausch-Verhältnis ist der Quotient "Höhe (des Maximums) einer gaußähnlichen Funktion / √(Varianz) des überlagerten Rauschens" also zB |f[0]|/σ(r) für den ungefilterten oder |Df[0]|/σ(Dr) = |<a,f>|/(||a||σ(r)) für den gefilterten Fall. Der Betrag der Effizienz |χ(a,f)| = |<a,f>|/(||a|| ||f||) beschreibt also bis auf eine Konstante ||f||/σ(r) das Signal-Rausch-Verhältnis am "Ausgang" eines symmetrischen Digitalfilters. Die Schwarz-Ungleichung (Hilfssatz 1.7) sagt uns nun, dass dieses Signal-Rauschverhältnis eine filterunabhängige obere Grenze hat:

|Df[0]|

σ(Dr)

||f||

σ(r)

|<a,f>|

||a|| ||f||

||f||

σ(r)

|χ(a,f)|

≤

||f||

σ(r)

Damit ist klar, dass der Faktor |χ(a,f)| ein Maß dafür ist, wie gut ein Filter D diese obere Grenze erreicht. Wie zu erwarten, nimmt |χ(a,f)| beim optimalen Filter (a = (f[0]/||f||²)f) den Wert eins an: Aus der Ungleichung wird eine Gleichung.

Satz 3.6

Seien a, f ∈ V₁\{o}

(i)

|χ(a,f)| ≤ 1

(ii)

|χ(a,f)| = 1

⇔

a = αf

(α ∈ R\{0})

(iii)

α∈R\{0}

|χ(αa,f)| = |χ(a,f)|

(iv)

χ(a,f) = χ(f,a)

Symmetrie

(v)

χ(a,f) = 1 - ½||

a/||a||

f/||f||

||²

Aussage (i) und (ii) liefern uns auf Grund der Schwarz-Ungleichung die optimale Filterfunktion, deren Berechnung uns in 3.1 viel Mühe bereitet hat. (iii) und (iv) machen noch einmal deutlich, dass Optimalität im Sinne maximaler Effizienz weder von der Amplitude des Signals f, noch von einem Faktor vor der Filterfunktion a abhängt. (v) ist vielleicht für die Anschauung von Bedeutung. Die Norm || a/||a|| - f/||f|| ||² ist wegen der Amplitudenunabhängigkeit von a/||a|| und f/||f|| ein Maß für die Formähnlichkeit von Filterfunktion und Signal. Je formähnlicher also die Filterfunktion a dem Signal f ist, desto besser wird das Signal-Rausch-Verhältnis am Ausgang des Digitalfilters sein.

3.3.2 Optimale Filterbreite

Die Polynomfilter (3.2) sind nur bis auf einen Parameter, die "Filterbreite" eindeutig bestimmt. Wir können deshalb fragen, wie dieses N zu wählen ist, damit die Effizienz χ(a,f) für eine Filterfunktion a ∈ P_NV und ein festes Signal f maximal wird (der Betrag der Effizienz war ja direkt proportional dem Signal-Rausch-Verhältnis am Ausgang des Digitalfilters). Alle grundsätzlichen Aussagen lassen sich an Hand des Mittelwertfilters (a = w_N/(2N + 1)) gewinnen. Als Testsignal wählen wir die Gaußfunktion f_α[k] ≔ exp(-k²/α²) mit der Breite α = 10. Für die Effizienz χ(a,f₁₀) gilt dann:

χ(w_N/(2N +1),f₁₀)

= χ(w_N,f₁₀) =

<w_N,f₁₀>

||w_N|| ||f₁₀||

<w_N,f₁₀>

√(2N + 1) ||f₁₀||

Stellen wir die Effizienz als Funktion der Filterbreite N dar, so ergibt sich, dass sie tatsächlich ein Maximum hat, und zwar bei N = 9 (Abb. 3.4).

Abbildung 3.4 Effizienz eines Mittelwertfilters für eine Gaußfunktion (α = 10) in Abhängigkeit von N

Ihr Wert beträgt dort χ(w₉,f₁₀) ≈ 0.94466. Man kann also das Mittelwertfilter durch Variation der Filterbreite N so einstellen, dass es ein um nur ca. 5.5% schlechteres Signal-Rausch-Verhältnis produziert als das zugehörige optimale (Gauß-) Filter!

Ist N = 0, erscheint das Signal (f₁₀) ungefiltert am Ausgang, der Wert χ(w₀,f₁₀) = χ(d,f₁₀) ist dann bis auf eine Konstante gleich dem Signal-Rausch-Verhältnis des ungefilterten Signals. Weiterhin erkennt man aus Abb. 3.4, dass bei ungehemmter Erhöhung der Filterbreite N das Signal-Rausch-Verhältnis des gefilterten Signals nicht nur wieder abnimmt, sondern sogar das des ungefilterten unterschreitet!
Diese Feststellungen bestätigen sich auch für andere Filtertypen mit einstellbarer Filterbreite und andere gaußähnliche Signale. Wir können deshalb folgende Regeln formulieren:

(i) Jedes Digitalfilter mit gaußähnlicher Filterfunktion lässt sich durch Änderung der Filterbreite" so einstellen, dass das Signal-Rausch-Verhältnis am Ausgang für ein festes gaußähnliches Signal ein Maximum annimmt.

(ii) Zu starke Glättung (d.h. hohe Filterbreite mit entsprechend hoher Rauschverstärkung bei kleiner Signalbreite) verschlechtert das Signal-Rausch-Verhältnis bei einem gaußähnlichen Signal.

Errechnet man das Effizienzmaximum auch für Gaußfunktionen anderer Breite (α), so wird man bemerken, dass der Quotient aus optimaler Filterbreite (zB N) und Signalbreite (α) fast konstant bleibt. Zumindest nähert er sich bei hohen Breiten einem (filterartspezifischen) Grenzwert.

3.3.3 Zur Wahl der Samplingfrequenz

In 3.3.1 hatten wir festgestellt, dass das Signal-Rausch-Verhältnis am Ausgang eines symmetrischen Filters (Df[0]/σ(Dr), f gaußähnlich) zwar gleich, aber niemals größer als ||f||/σ(r) werden kann. Diese obere Grenze ist aber direkt proportional der Norm des Signals ||f||. Ist nun das diskrete Signal f aus einem kontinuierlichen (f) durch Abtastung (zB

k∈Z

f[k] ≔ f(k) )

hervorgegangen, kann man die Norm ohne Veränderung der mittleren Rauschamplitude σ(r) durch Erhöhung der Abtastrate vergrößern. Haben wir als Signal zB die Gaußfunktion f_α[k] = f_α(k) = exp(-k²/α²), so bewirkt eine Verdopplung der Abtastfrequenz (k → k/2), dass an deren Stelle die Funktion g_α[k] ≔f_α(k/2) = f_2α[k] mit ||g_α|| ≈ √(2) ||f_α|| tritt. Man könnte jetzt meinen, durch eine beliebige Erhöhung der Abtastfrequenz werde die Voraussetzung für ein beliebig hohes Signal-Rausch-Verhältnis geschaffen. Leider macht dieser Überlegung in der Praxis die Korrelation des Rauschens einen Strich durch die Rechnung. Ist nämlich bei kleinen Abtastraten das überlagerte Rauschen s nur annähernd weiß, so "wächst" bei einer Erhöhung die Korrelation Θs (Def. 1.15). Die Rauschverstärkung kann dann nicht mehr durch σ(Dr)/σ(r) = ||a||, sondern muss durch σ²(Ds)/σ²(s) = <a,Θs ∗ a> beschrieben werden (Satz 2.12). Grenzwertbetrachtungen zeigen, dass das Signal-Rausch-Verhältnis bei einer Erhöhung der Abtastrate und entsprechender Vergrößerung der Filterbreite dann nicht gegen unendlich wächst, sondern gegen eine Zahl, die dem Ergebnis einer kontinuierlichen Filterung entspricht: Im Ausdruck

|Df[0]|

σ(Ds)

|<a,f>|

σ(s) √<a,Θs ∗ a>

sind die Summen (Def. 1.9, 1.11, 1.14, 1.15) durch Integrale und a, f sowie s durch die zugehörigen kontinuierlichen Funktionen a, f und s zu ersetzen.

Die Existenz einer oberen Grenze für das Signal-Rausch-Verhältnis macht insbesondere deutlich, dass eine sinnlose Erhöhung der Abtastfrequenz zwar den technischen Aufwand, nicht aber den Nutzen steigert. Stellt man also bei einer Messung eine erhebliche Korrelation des Rauschens fest, ist zu befürchten, dass die Abtastrate unnötig hoch gewählt wurde.

3.4 Optimale Digitalfilter (farbiges Rauschen)

3.4.1 Vorbemerkungen

Bisher haben wir unsere Digitalfilter nur für weißes Rauschen r optimiert. Der Vollständigkeit halber seien hier auch optimale Filter für farbiges Rauschen behandelt. In der Praxis entsteht farbiges ("korreliertes") Rauschen zumeist durch ("Vor"-) Filterung weißen Rauschens; aber selbst, wenn dies nicht der Fall ist, kann man es theoretisch i.A. so behandeln. Es gibt theoretisch drei Möglichkeiten, die zu unterscheiden sind:

(i) Rauschen und Signal gemeinsam vorgefiltert
(ii) nur das Rauschen vorgefiltert (bzw farbig)
(iii) nur das Signal vorgefiltert, Rauschen weiß Fall (i) dürfte der mit Abstand am häufigsten anzutreffende sein, obwohl in der Literatur meist nur der zweite (ii) behandelt wird. Die dritte Möglichkeit sei hier nur erwähnt, sie ist rechnerisch in ähnlicher Weise wie die ersten beiden zu bearbeiten. Im Allgemeinen finden die Berechnungen für farbiges Rauschen in der Praxis kaum Anwendung.

3.4.2 Signal und Rauschen vorgefiltert

Die Filterfunktion des zu optimierenden Digitalfilters D nennen wir a. Die Vorfilterung werde durch die Filterfunktion a' beschrieben: D'f = a' ∗ f. Dann ist die Rauschverstärkung des Filters D gegeben durch (siehe 2.4.2):

σ(DD'r)

σ(D'r)

||a ∗ a'||

||a'||

= √<a,Θa' ∗ a>

Die Optimierung wollen wir wie in 3.1.2 wieder so vornehmen, dass das Quadrat der Rauschverstärkung ||a ∗ a'||²/||a'||² bezüglich a minimal wird unter der Nebenbedingung, dass der wert des gefilterten Signals DD'f an der Stelle null gleichf[0] bleibt. Die Nebenbedingung heißt also <DD'f,d> = <f,d> oder <a,Sa' ∗ f> - <d,f> = 0 für symmetrische Signale f und damit ist das Lagrangefunktional (vgl. 3.1.2)

ϕ(a) ≔ ||a ∗ a'||²/||a'||² - λ(<a,f ∗ Sa'> - <d,f>)

→ ϕ'(a) = 2||a'||-2 a ∗ a' ∗ Sa' - λf ∗ Sa' = o

→ a ∗ a' = ½λ||a'||² f

Unter der Voraussetzung, dass die Filterfunktion a' bzgl. der Faltung invertierbar ist (Satz 2.7), ergibt sich

a = ½λ ||a'||² f ∗ a'^-1 =

<d,f>

||f||²

f ∗ a'^-1

σ(DD'r)

σ(D'r)

f[0]

||f|| ||a||

Wenden wir das optimale Filter D auf das vorgefilterte Signal D'f an, erhalten wir

DD'f = a ∗ D'f = a ∗ a' ∗ f =

<d,f>

||f||²

f ∗ a'^-1∗ a' ∗ f =

<d,f>

||f||²

f ∗ f

Die Vorfilterung D' wird damit also rückgängig gemacht und durch die optimale Filterung für weißes Rauschen "ersetzt". In der Praxis ist dieses Resultat vielleicht dann von Bedeutung, wenn die (nicht notwendigerweise symmetrische) Vorfilterung das Maximum einer gaußähnlichen Funktion f verschoben hat und diese Verschiebung rückgängig gemacht werden soll. Ansonsten wird der Aufwand für eine Inversfilterung D'^-1 selten durch ein spürbar besseres Signal-Rausch-Verhältnis belohnt. Das gilt besonders dann, wenn man sich der vorgefilterten Situation durch Einstellung einer neuen optimalen Filterbreite (siehe 3.3.2) anpassen kann.

3.4.3 Rauschen farbig bzw vorgefiltert

Der Fall, dass nur das Rauschen vorgefiltert bzw farbig ist, unterscheidet sich von dem vorhergehenden (3.4.2) durch den noch deformationsfrei vorhandenen Signalanteil. Ist Θs die absolutsummierbare Korrelationsfunktion des farbigen Rauschens s, lautet das Lagrangefunktional (vgl. 3.1.2) für ein gaußähnliches Signal f:

ϕ(a) ≔ <a,Θs ∗ a> - λ(<a,f> - <d,f>)

ϕ'(a) = 2a ∗ Θs - λf = o

Ist die Korrelationsfunktion Θs bzgl. der Faltung invertierbar (Satz 2.7), so gilt:

a = ½λ(Θs)^-1∗ f =

<d,f>

<f,(Θs)^-1 ∗ f>

(Θs)^-1 ∗ f

<a,Θs ∗ a> =

(<d,f>)²

<f,(Θs)^-1 ∗ f>

der Faltungsoperator, der die Korrelationsfunktion Θs als "Filterfunktion" hat, heißt vielfach "Korrelationsmatrix". Setzen wir Θs = d (d^-1 = d), ist die Korrelationsmatrix eine (natürlich unendlichdimensionale) Einheitsmatrix I, und unsere optimale Filterfunktion entspricht der für weißes Rauschen.

Um die Farbigkeit des Rauschens durch eine "Vorfilterung" zu beschreiben, brauchen wir nur eine geeignete Funktion a' zu finden, für die gilt (vgl. 2.4.2):

Θs =

a' ∗ Sa'

||a'||²

3.4.4 Polynomfilter für farbiges Rauschen

Wir wollen unsere Ausführungen über optimale Filter durch die Berechnung von Polynomfiltern für farbiges Rauschen vervollständigen. Da das praktische Interesse an solchen Filtern denkbar niedrig sein dürfte, beschränken wir uns auf die notwendigsten Erläuterungen.

Zu minimieren ist die Rauschverstärkung <a,Θs ∗ a> unter den Nebenbedingungen

m'
Λ	<a - d,q_m> = 0
m=0

Statt Θs ∗ a schreiben wir Ca, wobei C die Korrelationsmatrix ist (3.4.3). q_m ∈ P_NV sind zB Grampolynome.

Sei Q die unendlichzeilige [Soll a finit sein, können C und Q endlichdimensional gewählt werden.] und (m' + 1) - spaltige Matrix, die durch Q^T_mk = b_m[k] (T Transposition) definiert ist, ferner λ die Spaltenmatrix

λ =

(

λ₀
.
.
λ_m'

)

ϕ(a) ≔ <a,Ca> - <a - d,Qλ>

oder in vollständiger Vektor-Matrix-Schreibweise

ϕ(a) = a^TCa - a^TQλ + d^TQλ

ϕ'(a) = 2Ca - Qλ = o (C = C^T)

Diese Vektorgleichung führt bei geschicktem Gebrauch der Nebenbedingungen (Q^Ta = Q^Td) zur Lösung (Blum 1956 p 181)

a = C^-1Q(Q^TC^-1Q)^-1Q^Td

a^TCa = d^TQ(Q^TC^-1Q)^-1Q^Td

wobei die Invertierbarkeit von C und Q^TC^-1Q vorausgesetzt wird.

Eine interessante Aussage findet sich in (Blum 1959 p 58). Dort wird bewiesen, dass Polynomfilter für weißes Rauschen D (3.2.2) und Polynomfilter für farbiges Rauschen D' im Grenzfall N → ∞ die gleiche Wirkung auf Rauschen ausüben:

lim

N→∞

σ²(Ds)

σ²(D's)

= 1

Für uns hat dieses Ergebnis jedoch kaum Bedeutung, weil wir bei gaußähnlichen Signalen die Filterbreite nicht beliebig steigern dürfen, soll das Signal-Rausch-Verhältnis nicht wieder vermindert werden (3.3.2).

4 Rekursivdarstellung digitaler Filter

4.1 Einführung

4.1.1 Beschreibung

Bei der "rekursiven" Digitalfilterung wird das gefilterte Signal Df an der Stelle k nicht nur ausschließlich aus Werten f[n], n ∈ ℤ der Messfolge f errechnet, sondern auch aus bereits gefilterten Messpunkten Df[l], wobei l < k ist:

Definition 4.1


Λ	Λ	Df[k] =	∑	a"[n]Df[k-n] +	∑	a'[n]f[k-n]
f∈V_sup	k∈Z		n∈Z		n∈Z


Λ	Df =	a" ∗ Df +	a' ∗ f
f∈V₁

heißt Rekursivdarstellung eines Digitalfilters D, wenn


Λ	a"[-n] = 0	und	a', a" ∈ V₁
n∈ℕ₀

Die Funktionen a' und a" heißen Koeffizientenfunktionen.

Die Bedingung


Λ	a"[-n] = 0
n∈ℕ₀

sorgt dafür, dass nur gefilterte Werte Df[l] mit l < k "rückgeführt werden. andernfalls wäre eine Rekursion nicht durchführbar. Vorteile bringt die Rekursivdarstellung natürlich nur, wenn die Koeffizientenfunktionen a' und a" finit sind und die Zahl der Rechenoperationen die einer äquivalenten nichtrekursiven Filterung Df = a ∗ f unterschreitet. Rekursive Operationen, die nicht als Digitalfilter darstellbar sind (d.h. Filterfunktion a ∉ V₁), wollen wir hier ausklammern. Dazu ist an a" noch eine besondere Forderung zu stellen, die in 4.2.1 zum Tragen kommt.

4.1.2 Stabilitätsprobleme

Ein charakteristisches Problem der rekursiven Filter ist die Möglichkeit instabilen Verhaltens. Die Verarbeitung bereits gefilterter Funktionswerte entspricht nämlich genau der "Rückkopplung" in elektrischen Schaltkreisen. Wir haben zwei grundsätzliche Arten von Instabilitäten zu unterscheiden. Da ist zunächst die Unbeschränktheit eines Filters (2.1.2). Die Rekursivdarstellung (Def. 4.1) verleitet vielfach zu Filterkonstruktionen, die aus einem beschränkten Signal ein unbeschränktes machen. Das vielleicht prominenteste Beispiel dafür ist Jf[k] ≔Jf[k-1] + f[k]. J stellt die Operation einer diskreten Integration dar, die nicht durch ein Digitalfilter imitiert werden kann, d.h. man fände keine absolutsummierbare Filterfunktion. Da wir aber nur Rekursivdarstellungen von Digitalfiltern betrachten wollten, brauchen uns unbeschränkte Rekursivdarstellungen keine Sorgen zu bereiten.

Die andere, für uns sehr viel wichtigere Möglichkeit zu Instabilitäten hat ihren Ursprung in Unzulänglichkeiten bei der praktischen Realisierung. Dazu gehören insbesondere Rundungsfehler und Übersteuerung im Rechner (Schüßler 1973 S 241, Ziessow 1973 S 123).

4.2 Rekursiventwicklung mittels Fouriertransformation

4.2.1 Theorie

Ist die Aufgabe zu lösen, ein bekanntes Digitalfilter rekursiv darzustellen, oder umgekehrt aus einer Rekursivdarstellung eine Filterfunktion a für das zugehörige Digitalfilter D abzuleiten, erweist sich wiederum die diskrete Fouriertransformation (1.4.1) als sehr nützlich.

Die Rekursivdarstellung eines Digitalfilters D mit der Filterfunktion a war nach Def. 4.1


Λ	Df =	a" ∗ Df +	a' ∗ f
f∈V₁

Fouriertransformiert heißt die Gleichung


Λ	ℱ Df =	ℱ a" ● ℱ Df +	ℱ a' ● ℱ f
f∈V₁

Wegen ℱ Df = ℱ (a ∗ f) = ℱ a ● ℱ f wird daraus:


Λ		ℱ a ● ℱ f = ℱ a" ● ℱ a ● ℱ f + ℱ a' ● ℱ f
f∈V₁

→ ℱ a = ℱ a" ● ℱ a + ℱ a'

→ ℱ a ● (1 - ℱ a") = ℱ a'

Satz 4.1

Zur Rekursivdarstellung


Λ	Df =	a" ∗ Df +	a' ∗ f
f∈V₁

gehört der Frequenzgang

ω∈]-π,π]

ℱ a (ω) =

ℱ a'(ω)

1 - ℱ a"(ω)

Ist das Spektrum 1 - ℱ a" frei von Nullstellen oder kompensieren sich die Nullstellen von ℱ a' und 1 - ℱ a" so, dass in beiden Fällen ℱ a' ● (1 - ℱ a")^-1 beschränkt, stetig und bis auf endlich viele Ausnahmen überall differenzierbar ist, so gilt: a ∈ V₁ (D ist Digitalfilter)

Satz 4.1 ist sehr nützlich, wenn es darum geht, aus einer rekursiven Darstellung eine nichtrekursive zu berechnen. Im umgekehrten Fall ist man dagegen meist aufs Raten angewiesen, denn:

(i) Es gibt zu jedem Digitalfilter mehrere Rekursivdarstellungen (d.h. verschiedene Koeffizientenfunktionen)

(ii) Es gibt Digitalfilter, die bis auf den Trivialfall a" = d und a' = o keine Rekursivdarstellung besitzen (zB infinite symmetrische Digitalfilter)

(ii) Es gibt Digitalfilter, deren Zahl an Rechenoperationen durch rekursivdarstellung überhaupt nicht zu verringern ist.

Sinnigerweise scheinen die einfachsten Rekursivdarstellungen gerade dann zu existieren, wenn die Filterfunktion stückweise aus den in Satz 2.10 angeführten Eigenfunktionen eines Digitalfilters zusammengesetzt ist. Das ist darauf zurückzuführen, dass sich ℱ a' und 1 - ℱ a" dann als trigonometrische Polynome schreiben lassen.

4.2.2 Beispiel: Digitales RC-Filter

Das digitale RC-Filter hat die Filterfunktion (2.2.6):

^αa_α[k] ≔

{

1 - α)α^k		0 < α < 1		k ≥ 0
0				k < 0

mit dem Frequenzgang

ℱ a_α(ω) =

1 - α

1 - αexp(-iω)

Ein Vergleich mit (Satz 4.1)

ℱ a (ω) =

ℱ a'(ω)

1 - ℱ a"(ω)

zwingt uns regelrecht zu den Identifizierungen

ℱ a'(ω) = 1 - α

ℱ a"(ω) = αexp(-iω)

→

{

a' = ℱ^-1ℱ a' = (1 - α)d

a" = ℱ^-1ℱ a" = αT^-1d

Damit haben wir eine finite Rekursivdarstellung des (infiniten!) digitalen RC-Filters (D_α) gefunden.

D_αf = αT^-1d ∗ D_αf + (1 - α)d ∗ f

→ D_αf[k] = αD_αf[k - 1] + (1 - α)f[k]

Prüfen wir nun noch, ob diese Darstellung stabil gegenüber Rundungsfehlern in einem Rechner ist. Dazu wählen wir als Eingangssignal f die Nullfunktion (f ≔ o) und betrachten die Entwicklung eines einmaligen Fehlers D_αf[k - 1] = ε

D_αf[k] = αε
D_αf[k + 1] = α²ε
:
:
D_αf[k + n] = αⁿε

Wegen 0 < α < 1 ist also


lim	D_αf[k + n] = αⁿε = 0
n→∞

und das bedeutet Stabilität, weil auch bei ständig auftretenden Fehlern ε der Gesamtfehler unter |ε|/(1 - α) bleibt.

Das RC-Filter ist nicht symmetrisch und verschiebt deshalb das Maximum einer gaußähnlichen Funktion. Diese Verschiebung lässt sich zwar meist nicht geschlossen berechnen, jedoch können wir aus der Rekursivdarstellung ein manchmal sehr hilfreiches Ergebnis gewinnen:

Für das Maximum (im Punkt k') der gefilterten gaußähnlichen Funktion D_αf gilt näherungsweise

D_αf[k'] - D_αf[k'-1] ≈ 0

Setzen wir dies in die Rekursionsformel ein

D_αf[k'] ≈ αD_αf[k'] + (1 - α)f[k']

so erhalten wir

Satz 4.2

Eine digital-RC-gefilterte beliebige gaußähnliche Funktion D_αf schneidet mit ihrem Maximum (an der Stelle k') näherungsweise die ungefilterte Funktion

D_αf[k'] ≈ f[k']

Daraus folgt nichts anderes, als dass man die Verschiebung des Maximums aus dessen Reduktion berechnen kann und umgekehrt. Die Genauigkeit dieser Berechnung hängt nur von Genauigkeit der Beziehung D_αf[k'] - D_αf[k'-1] = 0 ab, und die ist i.A. hinreichend hoch.

Der qualitativen Veranschaulichung dieses Sachverhalts dient die Abbildung 4.1. Sie zeigt eine Gaußfunktion im Original und gefiltert mit verschiedenen RC-Zeitkonstanten.

Abbildung 4.1 Gaußfunktion, ungefiltert und RC-gefiltert

4.3 Rekursivdarstellung von Polynomfiltern

4.3.1 Theorie

Nur selten fällt einem die Rekursivdarstellung eines Digitalfilters so einfach zu, wie das beim digitalen RC-Filter der Fall ist (4.2.2). Manchmal, wie zB bei Polynomfiltern, führen andere Wege schneller zum Ziel. Um für unsere Polynomfilter D_2M (3.2.4) eine Rekursivdarstellung zu finden, definieren wir zunächst den "einseitigen" Differenzenoperator Δ (nicht zu verwechseln mit Δ aus 2.2.6)

Definition 4.2

Δ ≡ T - I

Differenzenoperator

Dieser Operator ist eine finites Digitalfilter und kann auch durch


Λ	Λ	Δf[k] = f[k + 1] - f[k]
f∈V	k∈Z

beschrieben werden.

Die Rekursiventwicklung von Polynomfiltern basiert auf der Tatsache, dass die (m + 1)te Differenz Δ^m+1 eines beliebigen Polynoms p_m m-ten Grades identisch null ist.

Hilfssatz 4.1


Λ		Δ^m+1p_m = o
m∈ℕ₀

Ersetzen wir das Polynom p_m durch ein finites, zB die Filterfunktion a_2M ∈ P_NV eines Polynomfilters D_2M , so sind nur in der Nähe der Sprungstellen ±N Abweichungen von null zu erwarten, deren Zahl von M abhängt. Um das auszunutzen, lassen wir den Differenzenoperator Δ^2M+1 auf ein Polynomfilter D_2M wirken: (Blum 1957)


Λ		Δ^2M+1D_2Mf = Δ^2M+1a_2M ∗ f
f∈V₁

Auf welche Weise nun eine Rekursivdarstellung zustande kommt, lässt sich am Besten an Hand des Beispiels M = 0 demonstrieren (f ∈ V₁):

(i) Anwendung des Differenzenoperators Δ^2M+1


Λ		ΔD₀f[k]= (Δa₀ ∗ f)[k]
k∈Z

(ii) Ausführung der Differenzenbildung auf der linken Seite


Λ		D₀f[k + 1] - D₀f[k]= (Δa₀ ∗ f)[k]
k∈Z

(iii) Variablentransformation k → k - (2M + 1)


Λ		D₀f[k] - D₀f[k - 1]= (Δa₀ ∗ f)[k - 1]
k∈Z

(iv) Auflösung der Gleichung nach D_2Mf[k]


Λ		D₀f[k]= D₀f[k - 1] + (Δa₀ ∗ f)[k - 1]
k∈Z

(v) Berechnung von Δ^2M+1a_2M (siehe 4.3.2)

Der binomische Lehrsatz, angewandt auf Δ^2M+1= (T - I)^2M+1 vereinfacht uns die Berechnungen in (ii) und (v).

Hilfssatz 4.2

Δ^2M+1 =

2M+1

∑

m=0

(

2M +1 m

)

(-1)^2M+1-m T^m

2M+1

∑

m=0

(

2M +1 m

)

(-1)^m T^2M+1-m

Auf eine detaillierte Rechnung wollen wir hier aus Gründen der Übersichtlichkeit verzichten.

Satz 4.3

Ein (symmetrisches!) Polynomfilter D_2M vom Grad 2M mit Filterfunktion a_2M ∈ P_NV hat die Rekursivdarstellung

f∈V

k∈Z

D_2M =

2M+1

∑

m=0

(

2M +1
m

)

(-1)^2M-m T^m

2M+1

∑

m=0

Δ^2M+1a_2M [N - m](f[k - N - 2M - 1 + m] - f[k + N - m])

Man vergleiche Satz 4.3 mit Definition 4.1:


Df[k] =	∑	a"[n]Df[k-n] +	∑	a'[n]f[k-n]
	n∈Z		n∈Z

Während der Rechenaufwand beim nichtrekursiven Polynomfilter von der Filterbreite N und dem Grad 2M diktiert wird, ist im rekursiven Fall nur noch eine Abhängigkeit von 2M gegeben.

4.3.2 Beispiele

Zur nachträglichen Veranschaulichung der Prozedur in 4.3.1 führen wir die Rechnung hier einmal für das Mittelwertfilter (Polynomfilter nullten Grades D₀ mit der Filterfunktion a₀) durch.

f∈V₁

D₀f = a₀ ∗ f =

2N+1

w_N∗ f

ΔD₀f =

2N+1

Δ(w_N ∗ f) =

2N+1

Δw_N∗ f

f∈V₁

D₀f[k+1] - D₀f[k] =

2N+1

∑

k=-n

Δw_N[n]f[k-n]

Mit

Δw_N[n] = w_N[n+1]- w_N[n] =

{

-1
1
0

n = N
n = -N-1
sonst

erhalten wir

f∈V₁

D₀f[k+1] - D₀f[k] =

2N+1

(f[k+N+1] - f[k-N])

f∈V₁

D₀f[k] - D₀f[k-1] =

2N+1

(f[k+N] - f[k-N-1])

Die Rekursivdarstellung des Mittelwertfilters ist damit

f∈V₁

k∈Z

D₀f[k] = D₀f[k-1] +

2N+1

(f[k+N] - f[k-N-1])

Die Stabilität gegenüber Rundungsfehlern prüfen wir wie in 4.2.2 (f ≔ o, D₀f[k-1] = ε)

D₀f[k] = ε
D₀f[k+1] = ε
:
D₀f[k+n] = ε Obwohl einmalige Fehler gebunden bleiben, können sich fortwährend auftretende Fehler so addieren, dass der Gesamtfehler theoretisch beliebig hohe Werte annimmt.

Für höhere Polynomfilter berechnet man die Rekursivdarstellung mit Hilfe von Satz 4.3 und erhält (f ∈ V):

D₂f[k] = 3D₂f[k-1] - 3D₂f[k-2] + D₂f[k-3] +

+3((2N-1)(2N+1)(2N+3))^-1	^-(	^-- (2N-1)(N-1)	(f[k+N]^-	^- - f[k-N-3])
		+ (2N+3)(2N-1)	(f[k+N-1]	- f[k-N-2])
		- (2N+3)(N+2)	(f[k+N-2]	- f[k-N-1])	)

D₄f[k] = 5D₄f[k-1] -10D₄f[k-2] +10D₄f[k-3] - 5D₄f[k-4] + D₄f[k-5] +

+15((2N-3)(2N-1)(2N+1)(2N+3)(2N+5))^-1	(	(2N-1)(2N-3)(N-2)(N-1)	(f[k+N]	- f[k-N-5])
		-(2N+5)(2N-1)(2N-3)(2N-4)	(f[k+N-1]	- f[k-N-4])
		+(2N+5)(2N-3)(6N²+6N-22)	(f[k+N-2]	- f[k-N-3])
		-(2N+6)(2N+5)(2N+3)(2N-3)	(f[k+N-3]	- f[k-N-2])
		+(2N+5)(2N+3)(N+3)(N+2)	(f[k+N-4]	- f[k-N-1])	)

Betrüblicherweise zeigt sich, dass auch die Rekursivdarstellung des Polynomfilters zweiten Grades nicht gegen Rundungsfehler im Rechner stabil ist. Um dies zu verdeutlichen, setzen wir wieder f ≔ o. Die Rekursionsformel verkürzt sich dann auf

D₂f[k] = 3D₂f[k-1] - 3D₂f[k-2] + D₂f[k-3]

Der Rundungsfehler ε trete nur bei D₂f[k-3] auf, d.h. D₂f[k-1] = 0 = D₂f[k-2] und D₂f[k-3] = ε. Wir erhalten nacheinander

D₂f[k] = ε
D₂f[k+1] = 3ε
D₂f[k+2] = 6ε
D₂f[k+3] = 10ε
usw.

Damit ist


lim	D₂f[k+n] = ∞
n→∞

für einen einmalig aufgetretenen Fehler ε.

Trotzdem lassen sich rekursive Polynomfilter realisieren. Schaut man sich die Koeffizienten a'[k] und a"[k] etwas näher an, stellt man nämlich fest, dass es bis auf einen gemeinsamen Nenner ganze Zahlen sind. Multipliziert man die Rekursivdarstellung mit diesem Nenner und ersetzt D_2Mf durch D'_2Mf = (Nenner) mal D_2Mf , kann ein Rechner ganzzahlig rechnen. Damit sind Rundungsfehler ausgeschlossen und das Polynomfilter bleibt stabil. Die Division D_2Mf = D'_2Mf/Nenner kann bei der Ausgabe der gefilterten Funktion D_2Mf nachgeholt werden.

5 Praktisch-numerische Ergebnisse

5.1 Erläuterungen

In diesem Teil der Arbeit geht es darum, dem Leser an Hand von Diagrammen und einer ENDOR-Messung ein Gefühl für die Wirkungsweise und die wesentlichen Eigenschaften digitaler Glättungsfilter zu vermitteln. In einem Vergleich werden Digitalfilter mit gaußähnlicher Filterfunktion (insbesondere Polynomfilter) und RC-Filter unter verschiedenen Gesichtspunkten einander gegenübergestellt - in der Hoffnung, dass sich auf diese Weise vielleicht die "beste" Digitalfilterart zu erkennen gibt.

5.2 Signal-Rauschverhältnis

Die größte Aussagekraft über die "Güte" eines Digitalfilters dürfte das Signal-Rausch-Verhältnis bzw die Effizienz (3.3.1) haben. Um vergleichbare Darstellungen zu erhalten, ist in Folgenden die Effizienz als Funktion der Rauschverstärkung abgebildet. Dabei erscheint die Filterbreite als indirekte Variable.

Das Testsignal ist in fast allen Fällen eine Gaußfunktion

f_α[k]≔ exp( -

k²

α²

)_α

mit der Breite α = 10. Die Beschränkung auf eine feste Signalbreite braucht uns nicht an allgemeinen Schlussfolgerungen zu hindern, da bei genügend großer (Signal- oder Filter-) Breite nur der Quotient Filter-/Signalbreite von Bedeutung ist. Demonstriert wird dies am Beispiel eines Mittelwertfilters (2.2.6). In Abb. 5.1 ist die Effizienz gegen die Filterbreite N aufgetragen, wobei als Parameter der Quotient N/α = konstant dient. Man sieht sofort, dass nur im Bereich kleiner N Abweichungen von der Geraden auftreten.

Damit die Abbildungen einfacher zu vergleichen sind, ist fast jedesmal die "Nullfehlerhyperbel" mit eingezeichnet. Die Nullfehlerhyperbel ist die Ideallinie, die einer Rauschunterdrückung ohne Deformation des Maximums entspricht:

χ(a,f₁₀) ≔

||a|| ||f₁₀||

Abbildung 5.1 Effizienz des Mittelwertfilters, N/α = konstant

Abbildung 5.2 Effizienz des Mittelwertfilters (Nmax = 100)

Abbildung 5.3 Effizienz des Polynomfilters 2-ten Grades (Nmax = 100)

Abbildung 5.4 Effizienz des Polynomfilters 4-ten Grades (Nmax = 100)

Abbildung 5.5 Effizienz des Polynomfilters 6-ten Grades (Nmax = 100)

Abbildung 5.6 Effizienz des Tiefpasses 2.2.6

Abbildung 5.7 Effizienz des Dreieckfilters 3.1.3

Abbildung 5.8 Effizienz nach zweifacher Mittelwertfilterung

Um symmetrische Digitalfilter mit dem RC-Filter zu vergleichen, ist die Effizienz kein geeignetes Maß, da diese nur bei symmetrischen Digitalfiltern direkt mit dem Signal-Rausch-Verhältnis verknüpft ist (3.3.1). Dieser Umstand kann jedoch leicht behoben werden, indem man in χ(a,f₁₀) das Skalarprodukt <a,f₁₀> durch die Maximumhöhe des RC-gefilterten Gaußsignals ersetzt, was sich numerisch sehr leicht mit Hilfe eines Rechners meistern lässt. Das Ergebnis zeigt Abb. 5.9.

Abbildung 5.9 "Effizienz" des (digitalen) RC-Filters 4.2.2

Ein aufmerksamer Vergleich der Abbildungen 5.2 bis 5.5 fördert zu Tage, dass sich

(i) die Effizienzmaximalwerte bei den einzelnen Polynomfiltern kaum unterscheiden

(ii) der abfallende Teil der Effizienzkurve mit höherem Polynomgrad immer näher an die Nullfehlerhyperbel anschmiegt

(iii) Polynomfilter mit zunehmendem Grad immer weniger unterscheiden (bzgl. des Signal-Rausch-Verhältnisses)

Wie sich später noch intensiver zeigen wird, scheinen die Polynomfilter mit zunehmendem Grad gegen den idealen Tiefpass zu "konvergieren". Die Abbildungen 5.5 (Polynomfilter 6-ten Grades) und 5.6 (Tiefpass) sind nämlich im Rahmen der Zeichengenauigkeit nicht mehr voneinander zu unterscheiden. Bereits das Polynomfilter 4-ten Grades zeigt nur noch minimale Effizienzabweichungen vom Tiefpass.

Ein Effizienzmaximum von fast eins erhält man bei zweimaliger Mittelwertfilterung (Abb. 5.8) oder bei Dreieckfilterung (Abb. 5.7). Die Dreieckfilterung kann zusätzlich sogar mit ungewöhnlich hohen Effizienzen und damit Signal-Rausch-Verhältnissen im Bereich schwacher Filterung aufwarten. Der Grund ist schnell gefunden: Das Dreieckfilter erhöht das Moment eines Signals (3.1.3), und deshalb besteht natürlich auch die Möglichkeit, dass das Maximum einer Gaußfunktion vergrößert wird, an Stelle der gewohnten Reduktion.

Schlecht sieht es ums RC-Filter aus (Abb. 5.9). Auffällig ist nicht nur, dass es der Nullfehlerhyperbel am wenigsten treu bleibt, es hat auch das kleinste Effizienzmaximum von allen betrachteten Filtern.

Als Ergebnis des ersten Vergleichs kann also festgehalten werden:

Im Bereich kleiner Rauschunterdrückungen bzw großer Rauschverstärkungen haben Polynomfilter höheren Grades die geringste Signaldeformation zur Folge (Höhenreduktion). Wenn es nicht stört, dass die Höhe eines Gaußpeaks vergrößert wird, weist das Dreieckfilter unter allen betrachteten Digitalfiltern in diesem Bereich das größte Signal-Rauschverhältnis auf. Diese Aussagen berechtigen aber nicht zu Pauschalierungen! Abb. 5.10 und 5.11 beweisen nämlich, dass es Bereiche gibt, in denen zB das RC-Filter eine bessere Effizienz als andere Filter hat.

Abbildung 5.10 Effizienzvergleich: Mittelwertfilter - Dreieckfilter

Abbildung 5.11 Effizienzvergleich: Mittelwertfilter - RC-Filter

5.3 Signaldeformation

In Abschnitt 5.2 ist bereits angeklungen, in welcher Weise einige Digitalfilter das Maximum des Testsignals

^αf_α[k]≔ exp( -

k²

α²

)_α^α

verändern. Diese und weitere Betrachtungen sollen hier vertieft werden. Abb. 5.12 zeigt zu diesem Zweck die Maximumhöhe des gefilterten Testsignals in Abhängigkeit von der Rauschverstärkung, die durch die Filterbreite variiert wird.

Abbildung 5.12 Maximumhöhe einer gefilterten Gaußfunktion (vertikal) in Abhängigkeit von der Rauschverstärkung (horizontal) (RC-Filter, Polynomfilter nullten und zweiten Grades)

Wie schon in 5.2, so stellt sich auch hier heraus, dass im Bereich schwacher Glättung bzw großer Rauschverstärkung Polynomfilter 2-ten Grades bei gleicher Rauschverstärkung einen kleineren Fehler produzieren als das Mittelwertfilter oder gar das RC-Filter. Polynomfilter höheren Grades bringen zwar noch weitere Verbesserungen, diese sind aber kaum noch spürbar. Um die Unterschiede dennoch zu verdeutlichen, ist in Abb. 5.13 der Nullpunktfehler 1 - D_2Mf[0] dekadenlogarithmisch aufgetragen, allerdings für ein Gaußsignal f_α mit der Breite α = 100, weshalb kein Schnittpunkt sichtbar wird.

Abbildung 5.13 Abhängigkeit des Nullpunktfehlers von der Rauschverstärkung bei Polynomfiltern (2M = 0, 2, 4, 6)

Abbildung 5.14 Original und Filterung einer Gaußfunktion f₁₀₀ (Mittelwertfilter N = 49, ||a₀||² = 0.010101...)

Abbildung 5.15 Original und Filterung einer Gaußfunktion f₁₀₀ (Polynomfilter 2-ten Grades N = 112, ||a₂||² = 0.010000329244...)

Abbildung 5.16 Original und Filterung einer Gaußfunktion f₁₀₀ (Polynomfilter 4-ten Grades N = 175, ||a₄||² = 0.01001640507...)

Abbildung 5.17 Original und Filterung einer Gaußfunktion f₁₀₀ (Polynomfilter 6-ten Grades N = 239, ||a₆||² = 0.0099902796887...)

Die Abbildungen 5.14 bis 5.17 illustrieren die Folgerungen aus Abb. 5.12 und 5.13: Ein Gaußsignal wurde f₁₀₀ wurde jeweils durch Polynomfilter verschiedenen Grades bei ungefähr gleicher Rauschverstärkung ||a_2M|| ≈ 1/10 "bearbeitet".

Man erkennt, dass bei schwacher Glättung nicht nur der Nullpunktfehler mit steigendem Polynomgrad abnimmt, sondern auch die Auflösungsverschlechterung (d.h. Verbreiterung). Dieser Trend bestätigt sich nicht mehr, wenn mann zur Filterung mit optimaler Filterbreite (3.3.2) übergeht. Die Abbildungen 5.18 bis 5.21 zeigen ein Gaußsignal f₁₀, das bei verschiedenen Polynomfiltergraden 2M mit jeweils optimaler Filterbreite (2M = 0, 2, 4, 6 → N_opt = 9, 19, 28, 38) gefiltert wurde. Zum Vergleich ist in Abb. 5.22 ein optimal (gauß-)gefiltertes Gaußsignal dargestellt (3.1.3).

In Abb. 5.23 bis 5.26 sind die (punktweise berechneten aber kontinuierlichen!) Frequenzgänge der Polynomfilter mit jeweils optimaler Filterbreite N zu sehen. Ihre Form legt wiederum den Schluss nahe, dass ein Polynomfilter (bei optimaler Filterbreite für ein festes Signal) mit zunehmendem Grad gegen einen Tiefpass (2.2.6) konvergiert. Die optimale Breite des Tiefpasses für ein Gaußsignal f₁₀ lässt sich zB aus Abb. 5.6 ablesen. Abb. 5.27 zeigt den Frequenzgang des Tiefpasses mit optimaler Breite.

Zur praktischen Veranschaulichung des Sachverhalts aus Satz 3.6 Teil (v) sind in Abb. 5.28 noch einmal die Filterfunktionen aller bisher behandelten symmetrischen Digitalfilter mit optimaler Filterbreite für ein Gaußsignal f₁₀ dargestellt) vgl. Abb. 5.2 bis Abb. 5.6).

Der Quotient aus optimaler Filterbreite und zugehöriger Signalbreite ist fast konstant: Für die Polynomfilter 0-ten, 2-ten und 4-ten Grades erhält man nacheinander

(N/α)_opt ≈ 0.99, 1.91, 2.87

Abbildung 5.18 Original und Filterung einer Gaußfunktion f₁₀ (Mittelwertfilter, optimale Filterbreite N_opt = 9)

Abbildung 5.19 Original und Filterung einer Gaußfunktion f₁₀ (Polynomfilter 2-ten Grades, N_opt = 19)

Abbildung 5.20 Original und Filterung einer Gaußfunktion f₁₀ (Polynomfilter 4-ten Grades, N_opt = 28)

Abbildung 5.21 Original und Filterung einer Gaußfunktion f₁₀ (Polynomfilter 6-ten Grades, N_opt = 38)

Abbildung 5.22 Original und optimale Filterung einer Gaußfunktion f₁₀

Abbildung 5.23 Frequenzgang eines Mittelwertfilters (N = 9)

Abbildung 5.24 Frequenzgang eines Polynomfilters 2-ten Grades (N = 19)

Abbildung 5.25 Frequenzgang eines Polynomfilters 4-ten Grades (N = 28)

Abbildung 5.26 Frequenzgang eines Polynomfilters 6-ten Grades (N = 38)

Abbildung 5.27 Frequenzgang des Tiefpasses 2.2.6 β_opt = 0.0630215

Abbildung 5.28 Gaußfunktion f₁₀ , Polynomfilterfunktionen 2M = 0, 2, 4, 6 (N_opt = 9, 19, 28, 38), Tiefpass β_opt = 0.0630215...), Dreieckfilter N_opt = 8

Abbildung 5.29 Verlauf der Rauschverstärkung bei Polynomfiltern als Funktion der Filterbreite N (2M = 0, 2, 4, 6)

Abbildung 5.30 Verlauf der Rauschverstärkung beim RC-Filter als Funktion der Filterbreite α (4.2.2), ||a_α||² = (1 - α)/(1 + α)

5.4 Beispiel: Eine ENDOR-Messung

Als praktisches Beispiel für die Glättung eines spektroskopischen Signals diente die ENDOR-Messung von F-Zentren in BaClF im Bereich 3.1 MHz bis 6.0 MHz bei 0.5 kHz Samplingabstand und schwachem Magnetfeld. Die Messapparatur ist von ihrem Aufbau her hier kaum von Bedeutung, sie sei deshalb als "schwarzer Kasten" angesehen.

Die Untersuchung einer Rauschmessung (Abb. 5.32) brachte als Ergebnis, dass das Rauschen hinreichend weiß ist (vgl. 3.3.3). Zur Berechnung der Korrelationsfunktion (Abb. 5.31) wurden jeweils 126 der ca. 6000 Messpunkte zyklisch verarbeitet und dann die daraus erhaltenen Einzelkorrelationsfunktionen gemittelt. Da der Mittelwert des Rauschens nicht stationär ist (siehe Abb. 5.32) erzielt man auf diese Weise ein vielleicht repräsentativeres Ergebnis (Abb. 5.31).

Die Abbildungen 5.33 bis 5.36 zeigen schließlich das ENDOR-Spektrum im Original und gefiltert mit einem Polynomfilter 2-ten Grades bei N = 5, 10 und 20.

Abbildung 5.31 Korrelationsfunktion des Rauschens aus Abb. 5.32

Abbildung 5.32 Rauschmessung

Abbildung 5.33 ENDOR-Messung ungefiltert

Abbildung 5.34 ENDOR-Messung gefiltert (Polynomfilter 2-ten Grades, N = 5)

Abbildung 5.35 ENDOR-Messung gefiltert (Polynomfilter 2-ten Grades, N = 10)

Abbildung 5.36 ENDOR-Messung gefiltert (Polynomfilter 2-ten Grades, N = 20)

6 Anhang

6.1 Grampolynome

Die modifizierten Grampolynome b_n ∈ P_NV lassen sich mit Hilfe der Rekursionsformel für orthogonale Polynome (Tricomi 1970 S 126)

b_n =

2n -1

P_Nu ● b_n-1 -

(2n-1)(n-1)

(2n-3)n

||b_n-1||²

||b_n-2||²

b_n-2

definieren, wobei b₀ ≔ w_N und b₁ ≔ P_Nu gesetzt wird. Die rekursionsformel ist identisch mit der für Legendre-Polynome, nur ist die Norm bei den Legendrepolynomen nicht als Summe, sondern als Integral _-1∫⁺¹ definiert. Alle Beweise für grampolynome verlaufen in ähnlicher Weise wie bei den Legendrepolynomen. Man findet die asymptotische Beziehung

b_n ∈ P_NV

k=-N

lim

N→∞

b_n[k]

Nⁿp_n(k/N)

= 1

p_n Legendrepolynome

Die Norm der Grampolynome ist durch

||b_n||² =

2n-1

4(2n+1)

(2N+1-n)(2N+1+n)||b_n-1||² =

2n+1

n+1

∏

k=-n+1

(N + k/2)

gegeben, wodurch sich obige Rekursionsformel zu

b_n =

2n -1

P_Nu ● b_n-1 -

(n-1)

(2N+2-n)(2N+n)

b_n-2

vereinfacht. Die Grampolynome sind orthogonal:

^nm<b_n,b_m> = ||b_n||²δ_nm =

{

\|\|b_n\|\|²		n = m

0		n ≠ m

Ihr Wert an der Stelle null lässt sich mit Hilfe der Rekursionsformel bestimmen:

b_n[0] = <b_n,d> = -

n-1

(2N+2-n)(2N+n)<b_n-2,d>

(n ≥ 2)

Man erhält

<b_2n,d> =

(-1)ⁿ

(2n)!

2²ⁿ (n!)²

∏

k=1-n

(N + k)

und <b_2n+1,d> = 0

für n ≥ 1 bzw n ≥ 0, wenn das Produkt ∏ von 1 bis 0 gleich eins gesetzt wird.

Zum Beweis der wichtigen Beziehung

∑

m=0

<d,b_m>

||b_m||²

b_m =

c_2M+1

µ(c_2M+1)

(*)

wobei c_2M+1 das um eine Potenz erniedrigte Grampolynom ist (c_2M+1 ● P_Nu = b_2M+1), bedienen wir uns der Methode der vollständigen Induktion (Blatter 1974 S 29).

µ(c_2M+1) ist gegeben durch

µ(c_2M+1) =

<w_N,c_2M+1> =<b₀,c_2M+1>

8M+4

(2N + 1 - 2M)(2N + 1 + 2M)<w_N,c_2M-1>

(M > 0)

(-1)^M

M!M!

(2M+1)!

∏

m=-M

(2N + 2m + 1)

(M ≥ 0)

Für M = 0 ist unsere Behauptung (*) richtig:

<d,b₀>

||b₀||²

⁰b₀ =

w_N

2N+ 1

c₁

µ(c₁)

w_N

µ(w_N)

w_N

2N+ 1

Nehmen wir jetzt an, sie sei für ein beliebiges festes M richtig, so ist zu klären, ob sie auch für M+1 gilt

2M+2

∑

m=0

<d,b_m>

||b_m||²

b_m =

c_2M+3

µ(c_2M+3)

→

∑

m=0

<d,b_m>

||b_m||²

b_m +

<d,b_2M+2>

||b_2M+2||²

b_2M+2 =

c_2M+3

µ(c_2M+3)

→
(*)

c_2M+1

µ(c_2M+1)

<d,b_2M+2>

||b_2M+2||²

b_2M+2 =

c_2M+3

µ(c_2M+3)

Einsetzen von µ(c_2M+1), µ(c_2M+3), ||b_2M+2||² und <d,b_2M+2> sowie Benutzung der Rekursionsformel unter Berücksichtigung von c_2M+1 ● P_Nu = b_2M+1 bestätigt tatsächlich unsere Vermutung. Damit ist alles bewiesen.

Mittels vollständiger Induktion lassen sich auch alle anderen Formeln, die hier im Zusammenhang mit Grampolynomen angegeben sind, beweisen, insbesondere:

<a_2M,P_Nu^2M+2> =

2(-1)^M((2M+1)!)³

(4M+3)! (M!)²

∏

m=-M

(N + m)

Die folgende Zusammenstellung stützt sich ausschließlich auf eigene Berechnungen, da die Grampolynome in der Literatur nicht sehr ausgiebig behandelt werden (siehe Literaturverzeichnis).

b₀[k] = w_N[k]
b₁[k] = k w_N[k]
b₂[k] = (1/2)(3k² - N(N+1))w_N[k]
b₃[k] = (1/2)(5k³ - (3N²+3N-1)k)w_N[k]
b₄[k] = (1/8)(35k⁴ - (30N²+30N-25)k² + 3(N-1)N(N+1)(N+2))w_N[k]
b₅[k] = (1/8)(63k⁵ - (70N²+70N-105)k³ + (15N⁴+30N³-35N²-50N+12)k)w_N[k]
b₆[k] = (1/16)(231k⁶ - (315N²+315N-735)k⁴ + (105N⁴+210N³-420N²-525N+294)k² - 5(N-2)(N-1)N(N+1)(N+2()N+3))w_N[k]
b₇[k] = (1/16)(429k⁷ - (693N²+693N-2310)k⁵ + (315N⁴+630N³-1890N²-2205N+2121)k³ - (35N⁶+105N⁵-280N⁴-735N³+497N²+882N-180)k)w_N[k]

c₁[k] = w_N[k]
c₃[k] = (1/2)(5k² - (3N²+3N-1))w_N[k]
c₅[k] = (1/8)(63k⁴ - (70N²+70N-105)k² + (15N⁴+30N³-35N²-50N+12))w_N[k]
c_2M+1[k]k = b_2M+1[k]

[Nachtrag: Grampolynome sind ein Spezialfall der bekannteren Hahnpolynome]

6.2 Beweisskizzen

Die meisten Beweise sind auf einfache Weise durch Variablentransformation in unendlichen Summen herbeizuführen. Es werden deshalb nur die wichtigsten Abweichungen angedeutet.

Sätze

1.1   Fuchssteiner 1974 S 49, Laugwitz 1967 S 171
1.4 Brillinger 1975, Koopmans 1974
2.1    Satz 1.2
2.6 f ∈ P_NV Λ g ∈ P_KV → f ∗ g ∈ P_N+KV    (N, K ∈ ℕ₀)
2.7 Laugwitz 1967 S 25
2.8

sup

k∈Z

∑

n∈Z

a[n]f[k-n]| ≤

sup

k∈Z

∑

n∈Z

|a[n]| |f[k-n]| ≤

∑

n∈Z

|a[n]|

sup

k∈Z

|f[k-n]|

2.11 (ii) Variablentransformation und Anwendung des binomischen Lehrsatzes
2.12

σ²(Ds)

σ²(s)

lim

n → ∞

2n + 1

∑

k = -n

(Ds[k])²

lim

n → ∞

2n + 1

∑

k = -n

(s[k])²

∑

l∈Z

∑

m∈Z

a[l]a[m]

lim

n→∞

n
∑	s[k-l]s[k-m]
k=-n

n
∑	s[k]s[k]
k=-n


∑	∑	a[l]a[m]Θs[l-m] = <a,Θs ∗a>
l∈Z	m∈Z

3.1 Cartan 1974 S 133, zu zeigen ist noch


Λ		<f,ϕ"(a)f> ≥ 0
f∈V₂

    ϕ'(a) = 2a - λSf
    ϕ"(a) = 2I → <f,ϕ"(a)f> = <f,2If> = 2||f||² ≥ 0
3.2 Hilfssatz 3.1
3.4    siehe Abschnitt 6.1
3.5

µ_m(Df) =


∑	n^mDf[n]
n∈Z


∑	n^m	∑	a[k]f[n-k]
n∈Z		k∈Z


∑	∑	(k+n)^ma[k]f[n]
k∈Z	n∈Z


∑	f[n]	∑	a[k](n+k)^m
n∈Z		k∈Z

=
(a=Sa)


∑	f[n]	∑	a[k](n-k)^m
n∈Z		k∈Z


∑	f[n]	Du^m[n]
n∈Z

3.6 (i) Hilfssatz 1.7 (iii) (Schwarz-Ungleichung)
4.1 Laugwitz 1967 S 25

Hilfssätze

1.3 Laugwitz 1967 S 184
1.4 Laugwitz 1967 S 184
1.7    (ii) Dunford-Schwartz p 529 ||f∗g|| ≤ ||f||₁||g|| setze g ≔ d
         (iii) Fuchssteiner 1974 S 21
1.9 Blatter 1974 S 188 ||f●g||₁ ≤ ||f|| ||g|| ≤ ||f||₁||g||₁
         (ii) Dunford-Schwartz p 529
1.10 Laugwitz 1967 S 171
1.11 Fuchssteiner 1974 S 22
3.1


Λ
k∈Z

Du^m'[k]=


∑	a[n]u^m'[k-n]=	∑	a[n](k- n)^m'
n∈Z		n∈Z

		m'
∑	a[n]	∑	(	m' m	)	(-1)^mn^mk^m'-m'
n∈Z		m=0

m'
∑	(	m' m	)	k^m'-mDu^m'[0]
m=0

k^m' =u^m'[k]

⇔

m=0

Du^m[0] =

{

	1		m=0

	0		sonst

6.3 Symbolliste


a		Filterfunktion a ∈ V₁
a', a"		Koeffizientenfunktionen
b_n		Grampolynome
c_2n+1
d		Einheitsimpuls
f, g, h		diskrete Funktionen, allgemein
f, g, h		kontinuierliche Funktion, allgemein
i		= √(-1)
k, l, m, n		Summationsindizes
o		Nullfunktion, beliebig
p_n		Polynom n-ten Grades
r		weißes Rauschen
s		farbiges Rauschen
u		Parabel
w_N		Fensterfunktion
A		Operator, allgemein
C		Korrelationsmatrix
ℂ		komplexe Zahlen
D		Digitalfilter
F		Frequenzraum
ℱI		diskrete Fouriertransformation
ℱI		kontinuierliche Fouriertransformation
J		Integrationsoperator
K		feste ganze Zahl
M		feste ganze Zahl (Polynomfilter)
N		feste ganze Zahl (Fensterfunktion)
ℕ		Menge der natürlichen Zahlen, ℕ = {1, 2, 3,,,}, ℕ = ℕ₀ \ {0}
ℕ₀		Menge der natürlichen Zahlen einschließlich null
P_N		Projektionsoperator
P_NV		Vektorraum
Q		spezielle Matrix
ℝ		Menge der reellen Zahlen
S		Spiegelungsoperator
T		Translationsoperator
V, V₁, V₂, V_sup, V_FP		Vektorräume
ℤ		Menge der ganzen Zahlen ℤ = {,,, -2, -1, 0, 1, 2,,,}
α, β, γ, ε		reelle oder komplexe Zahlen
x		reelle Zahl
λ		Lagrangemultiplikator
µ, µ_m		Momente
π		3.14159...
σ²		Varianz
ϕ		Lagrangefunktional
χ		Effizienz
ω		reelle Zahl
Δ		Differenzenoperator
Δ		Differenzenoperator
Θ		Korrelationsoperator
∏		Produkt
∑		Summe
δ_mn		Kronecker-Delta
I		Einheitsoperator
1		Einsfunktion
]α,β]		= {γ ∈ R\| α < γ ≤ β}
V\{o}		= {f ∈ V\| o ∉ V\{o}}
<>		Mittelwert
<,>		Skalarprodukt
(,)		Skalarprodukt
\|\| \|\|		Norm
\|\|\| \|\|\|		Norm
\|\| \|\|₁		Eins-Norm
Λ		logisches "UND"
Λ		"für alle"...
●		Multiplikation
∗		Faltung in V₁
∗		Faltung in F
≔		lokale Definition
≡		globale Definition

Literaturverzeichnis

( 1)		Bendat, J.S./Piersol, A.G. RANDOM DATA: ANALYSIS AND MEASUREMENT PROCEDURES Wiley 1971 ISBN 0-471-06470-X
( 2)		Blum, Marvin IRE Trans. on Information, 176 - 184, Sept. (1956)
( 3)		Blum, Marvin IRE Trans. on Information, 58 - 61, June (1959)
( 4)		Brillinger, D.R. TIME SERIES, DATA ANALYSIS AND THEORY Holt, Rinehart, and Winston 1975 ISBN 0-03-076975-2
( 5)		Cartan, Henri DIFFERENTIALRECHNUNG B.I. 1974 ISBN 3-411-01442-3
( 6)		Clarke, F.J.J. A REAL-TIME DIGITAL FILTERING PROCEDURE FOR DATA ENHANCEMENT IN AN ON-LINE SPEKTROMETRY DATA SYSTEM in: THE USE OF DIGITAL COMPUTERS IN MEASUREMENT p 136 IEE 1973 ISBN 0 85296114 6
( 7)		Dunford/Schwartz LINEAR OPERATORS I Wiley ISBN 0-470-22605-6
( 8)		Fuchssteiner, Benno FUNKTIONALANALYSIS B.I. 1974 ISBN 3-411-01434-2
( 9)		Hansen, Eldon R. A TABLE OF SERIES AND PRODUCTS Prentice-Hall 1975 ISBN 0-13-881938-6
(10)		Isaacson, E./Keller, H.B. ANALYSIS OF NUMERICAL METHODS Wiley 1966 ISBN 0 471 42865 5
(11)		Jerri, Abdul J. Proc. IEEE 65, 1565 - 1596, (1977)
(12)		Jolley, L.B.W. SUMMATION OF SERIES Dover 1961 ISBN 0-486-60023-8
(13)		Koopmans, L.H. THE SPECTRAL ANALYSIS OF TIME SERIES Academic Press 1974 ISBN 0-12-419250-5
(14)		Ralston, Anthony A FIRST COURSE IN NUMERICAL ANALYSIS
(15)		Savitzky, A./Golay, M.J.E. Anal. Chem. 36, 1627 - 1639, (1964)
(16)		Schüßler, H.W. DIGITALE SYSTEME ZUR SIGNALVERARBEITUNG Springer 1973 ISBN 3-540-06087-1 / 0-387-06087-1
(17)		Schwartz, M./Shaw, L. SIGNAL PROCESSING McGraw-Hill 1975 ISBN 0-07-055662-8
(18)		Steinier, J./Termonia, Y./Deltour, J. Anal. Chem. 44, 1906 - 1909, (1972)
(19)		Tricomi, F.G. VORLESUNGEN ÜBER ORTHOGONALREIHEN Springer 1970
(20)		Ziessow, Dieter ON-LINE RECHNER IN DER CHEMIE de Gruyter 1973 ISBN 3 11 003952 4

Nachtrag

(21)		Blatter ANALYSIS I Springer 1974 ISBN 3-540-06738-8 / 0-387-0638-8
(22)		Laugwitz, Detlef INGENIEURMATHEMATIK BAND 4 B.I. HTB 62 1967 ISBN 3-411-00062-7
(23)		Blum, Marvin IRE Trans. on Information, IT-3, 178, Sept. (1957)
(24)		Ernst, R.R. Adv. Magn. Reson. 2, 1-135, (1966)
(25)		Madden, Hannibal H. Anal. Chem. 50, 1383 - 1386, (1978)
(26)		Chihara, T.S. AN INTRODUCTION TO ORTHOGONAL POLYNOMIALS Gordon and Breach 1978 ISBN 0 677 04150 0

Theoretische Grundlagen digitaler Signalverarbeitung

Bendat/Piersol
*Brillinger (Moderne Darstellung, umfangreiches Literaturverzeichnis)
Jerri (Sampling-Theorem - Tutorium)
Koopmans
Schüßler
*Schwartz/Shaw (Anschaulich)

Mathematische Hilfsmittel

*Blatter (Mengentheoretische Grundlagen)
Cartan (Differentialrechnung in normierten Räumen, wird zur Bestimmung der optimalen Filterfunktionen benötigt)
*Fuchssteiner (Funktionalanalysis, normierte Vektorräume)
Hansen (unendliche Reihen (Lorentzfilter!))
Isaacson/Keller (Grampolynome)
Jolley (unendliche Reihen)
Ralston (Grampolynome)
Tricomi (orthogonale Polynome)

Polynomfilter

Blum 1956 (nichtsymmetrische Polynomfilter)
Blum 1959 (nichtsymmetrische Polynomfilter)
*Clarke (symmetrische Polynomfilter)
Savitzky/Golay (symmetrische Polynomfilter (numerisch))
Steinier/Termonia/Deltour (Korrektur zu Savitzky/Golay)
Ziessow (symmetrische Polynomfilter)

Die gesternten (*) Bücher und Artikel sind besonders empfehlenswert.

Stichwortverzeichnis

absolutintegrierbar
absolutsummierbare Funktionen
absolutsummierbare Signale
Absorptionslinien
antisymmetrische Digitalfilter
antisymmetrische Funktionen
Auflösungsverschlechterung

beschränkte Funktionen
beschränkte Operatoren

Differentiation, diskret
Differenzoperatoren 1 2
Digitalfilter
diskrete Funktionen
Dreieckfilter

Effizienz 1 2ff 3
Eigenfunktionen 1 2
Einheitsimpuls 1 2
Einheitsoperator
Eins-Norm
Emissionslinien
ergodisches Rauschen
Exponentialfunktion

Faltung 1 2
Faltungsoperator
farbiges Rauschen 1 2ff
fastperiodische Funktionen
Fehlerformeln
Fensterfunktion 1 2
Filterbreite 1 2ff
Filterfunktion
finite Digitalfilter
finite Funktionen
Fourierreihe
Fouriertransformation, diskret 1ff
Fouriertransformation, kontinuierlich
Frequenzgang 1 2
Frequenzraum
Funktion

gaußähnlich
Gaußfilter
Gaußfunktion
Gaußverteilung
Glättung 1 2
Gleichverteilung
Grampolynome 1 2 3

Hilbertraum
Höhenreduktion
Hölderungleichung

Impulsantwort
Integration, diskret (numerisch)
inverse Filterung
inverse Fouriertransformation
inverser Operator
invertierbare Digitalfilter

Jensenungleichung

Kausalität
Koeffizientenfunktionen
kontinuierliche Funktion
Korrelationsfunktion 1 2
Korrelationsmatrix 1 2
Korrelationsoperator

Lagrangefunktional 1 2
Lagrangemultiplikator 1 2
Legendrepolynome 1 2
Linearität (Digitalfilter)
Linienverbreiterung
Lorentzfilter
Lorentzfunktion 1 2

Matrix
Maximumverschiebung
Messfolgen 1ff
Mikroprozessor
Mittelwert
Mittelwertfilter 1 2
Momente
Momentenerhaltung 1 2
Multiplikationen 1 2

Norm 1 2
Nullfehlerhyperbel

Operator
optimale Filterbreite 1ff
optimales Filter ff
orthogonale Polynome 1 2

Parabel
Paritätsoperator
Parsevalgleichung
periodische Störungen
Polynome 1 2
Polynomfilter 1ff 2 3 4
Projektionsoperator

quadratsummierbare Funktionen
Quasi-Echtzeitfilterung

Rauschen
Rauschunterdrückung ff
Rauschverstärkung
RC-Filter 1 2
Rekursionsformel
Rekursivdarstellung
Rekursiventwicklung 1ff 2ff
rekursive Digitalfilter ff
rekursives Mittelwertfilter
rekursive Polynomfilter
rekursives RC-Filter

Sampling 1 2
Samplingfrequenz
Sampling-Theorem
Schwarzungleichung
Signal
Signaldeformation 1ff 2ff
Signal-Rausch-Verhältnis 1 2ff
Skalarprodukt 1 2
Speicherung 1 2
Spektroskopie
Spektrum
Spiegelungsoperator
Stabilität 1 2
Störspitze
Störungen ff
Störunterdrückung ff
symmetrische Digitalfilter ff
symmetrische Funktionen

Taylorreihe
Tiefpass
Translationsinvarianz
Translationsoperator

Varianz
Vektor
Vektorraum
Vertauschungsrelationen
Verteilungsfunktionen
Vorfilterung 1 2ff

Zentraler Grenzwertsatz 1 2

Diese Arbeit wurde in besonderer Weise durch meinen Lehrer

Prof. Dr. H. Ziegler

unterstützt. Die ENDOR-Messung stellt Dr. J.R. Niklas zur Verfügung, das zugehörige Mess- und Auswertprogramm (BASIC, incl. digitaler Filterung) stammt von Dipl.-Phys. G. Heder. Prof. Dr. B. Fuchssteiner und Dr. W. Lusky waren an der Diskussion einiger mathematischer Randprobleme beteiligt.

Symmetrische Digitalfilter in der physikalischen Messtechnik

von

Manfred U. A. Bromba

Februar 1978

Neu erfasste Version - kann Übertragungsfehler enthalten!

Inhalt

Einführung

1 Diskrete Messfolgen

1.1 Mathematische darstellung und Charakterisierung physikalischer Messfolgen

1.1.1 Mathematische Darstellung

Abbildung 1.1: Ausschnitt aus einer kontinuierlichen und einer diskreten Messfolge

Definition 1.1

1.1.2 Absolut- und quadratsummierbare Funktionen

Definition 1.2

1.1.3 Fastperiodische und beschränkte Funktionen

Definition 1.3

1.2 Absolutsummierbare Signale

1.2.1 Einführung

1.2.2 Symmetrieeigenschaften und Finität

Definition 1.4

Hilfssatz 1.1

Definition 1.5

Definition 1.6

Hilfssatz 1.2

Definition 1.7

Definition 1.8

1.2.3 Skalarprodukt, Normen, Momente

Definition 1.9

Hilfssatz 1.3

Hilfssatz 1.4

Hilfssatz 1.5

Definition 1.10

Hilfssatz 1.6

Hilfssatz 1.7

1.2.4 Rechenoperationen

Definition 1.11

Hilfssatz 1.8

Definition 1.12

Abbildung 1.2: "Einheitsimpuls"

Hilfssatz 1.9

1.2.5 Beispiele

Abb. 1.3: Gaußfunktion fα mit α = 10

Abb. 1.4: Exponentielle Abklingkurve α = 10

Definition 1.13

Abb. 1.5: Fensterfunktion N = 10

Abb. 1.6: Lorentzfunktion α = 10

1.2.6 Spektroskopische Signale

1.3 Störungen

1.3.1 Definition

1.3.2 Störspitzen

1.3.3 Rauschen

Definition 1.14

Definition 1.15

Definition 1.16

Abbildung 1.7 Gleichverteiltes weißes Rauschen

Abbildung 1.8 Gaußverteiltes weißes Rauschen

1.3.4 Periodische Störungen

1.4 Diskrete Fouriertransformation

1.4.1 Definition

Definition 1.17

Definition 1.18

Definition 1.19

Definition 1.20

Hilfssatz 1.10

Hilfssatz 1.11

1.4.2 Fouriertransformierte Signale

Satz 1.1

Hilfssatz 1.12

Definition 1.21

Satz 1.2

Satz 1.3

1.4.3 Zusammenhang mit der kontinuierlichen Fouriertransformation

Definition 1.22

Satz 1.4

1.4.4 Beispiele

Definition 1.23

Abbildung 1.9 Spektrum des Einheitsimpulses

Abbildung 1.10 Spektrum der Fensterfunktion N = 10

Abbildung 1.11 Spektrum der Lorentzfunktion α = 0.5

2 Grundlagen digitaler Filter

Abb. 1.3: Gaußfunktion f_α mit α = 10