Entwurf digitaler Filter für spektrometrische AnwendungenManfred U. A. Brombader Universität-Gesamthochschule-Paderborn zur Erlangung des akademischen Grades "Dr. rer. nat" vorgelegte Dissertation Paderborn 1981 Eingereicht: 14. Mai
Gutachter: Prof. Dr. H. Ziegler, Prof. Dr. J. Schröter Neu erfasste Version (Stand: 2010-02-07) - kann Übertragungsfehler enthalten!1.1 Einführung
2 Rekursivdarstellung finiter Digitalfilter 2.1 Einführung
3.1 Einführung
4 Polynomfilter zur Glättung spektrometrischer Signale 4.1 Einführung
Formelsammlung
EinleitungDie Digitaltechnik hat sich zu einem unentbehrlichen Hilfsmittel der physikalischen Messtechnik entwickelt. Zu den vorteilhaften Eigenschaften, die eine digitale Messwertverarbeitung gegenüber herkömmlichen Verfahren auszeichnen, gehören unter anderem:(1) höhere GenauigkeitIn der Spektrometrie liegt eine Messung zunächst als Kurvenverlauf vor, der z. B. die Abhängigkeit irgendeiner Emissions- oder Absorptionsgröße von der Energie beschreibt. Dieser Kurvenverlauf, der sich typischerweise aus mehr oder weniger vielen Gauß- und Lorentzlinien verschiedener Lage, Breite, und Amplitude zusammensetzt, bildet die Grundlage für die Interpretation des zu untersuchenden physikalischen Phänomens. Um zu einer physikalischen Auswertung der Messung zu kommen, muss eine Datenreduktion durchgeführt werden: aus der Vielzahl der gemessenen Wertepaare sind die relevanten Informationen wie Linienanzahl, Linienlagen, Linienbreiten, und Linienintensitäten (-amplituden) zu extrahieren. Unglücklicherweise ist allen spektroskopischen Messungen ein unterschiedlich starker Rauschanteil überlagert; zusätzlich gibt es Auflösungsprobleme, wenn zwei Linien so dicht benachbart sind, dass sie visuell zu einer einzigen "verschmieren". Das Rauschen lässt sich manchmal durch einfache RC-Tiefpässe vermindern, bei älteren Messverfahren war dies oft die einzige Methode. Einem analogen Filter haften jedoch zwei entscheidende Nachteile an: die Filterung kann nur "einmal" stattfinden, nämlich während der Messung (in statu nascendi). War die Zeitkonstante zu groß eingestellt, kann ein ganzer Messablauf umsonst gewesen sein. Bei der digitalen Messwertverarbeitung hat man nachträglich die Freiheit, (fast) beliebige Filterungen so vorzunehmen, dass das Ergebnis optimal wird. Dies setzt natürlich voraus, dass das Messsignal ohne oder mit vernachlässigbarer analoger Vorbehandlung abgespeichert wurde. Der zweite Nachteil des RC-Filters, der sich ebenfalls durch digitale Verfahren vermeiden lässt, liegt in der fast undefinierbaren Verschiebung des Maximums einer symmetrischen Linie (d. h. der Linienlage) begründet. Mit digitalen Filtern lassen sich nicht nur die angeführten prinzipiellen Probleme umgehen, man kann auch bemerkenswerte quantitative Verbesserungen erzielen, wie z. B. in (Ziegler 1981) dargelegt ist. In der vorliegenden Arbeit geht es darum, digitale Filter zu entwerfen, die (1) gute Signal-Rausch-Eigenschaften aufweisen,Mit Hilfe der Least-Square-Approximation ist es möglich, ein allgemeines Verfahren zur Gewinnung rauschvermindernder Digitalfilter, insbesondere Glättungsfilter, Differenziatoren und Auflösungsverbesserer anzugeben. Durch die Anwendung orthogonaler Polynome (Hahnpolynome) ist es gelungen, eine explizite und damit benutzerfreundliche Darstellung eines besonders für die Spektrometrie geeigneten Glättungsfiltertyps zu gewinnen. Die bekannten Savitzky-Golay-Glättungsfilter (Savitzky/Golay 1964, Steinier et al. 1972, Madden 1978, Ernst 1966, Willson/Edwards 1976, Bromba/Ziegler 1981) und die finiten Tiefpässe mit maximal flachem Frequenzgang (Herrmann 1971, Bromba/Ziegler 1980) erweisen sich als Spezial- bzw. Grenzfälle dieses Filtertyps. Weiterhin wurden für die "einfachsten" dieser Glättungsfilter Rekursivdarstellungen (Bromba/Ziegler 1979) entwickelt, die bei größeren Rauschunterdrückungen eine erhebliche Rechenzeitersparnis erlauben und damit auch der Forderung (4) Genüge leisten. Die Arbeit ist hauptsächlich in drei Teilbereiche aufgegliedert. In Abschnitt 2 wird die Theorie der Rekursivdarstellungen finiter Digitalfilter auf der in (Bromba 1978, Bromba/Ziegler 1979) entwickelten Grundlage vertieft und erweitert. Die im dritten Abschnitt dargelegte Theorie der Least-Squares-Digitalfilter ist eine Verallgemeinerung des in (Bromba 1978) beschriebenen Optimierungsverfahrens für beliebige diskrete Faltungsoperationen und beliebige Orthogonalsysteme. Hierbei konnten besondere Fortschritte durch die Nutzbarmachung der Hahn- und Krawtchoukpolynome erzielt werden. Im vierten Abschnitt geht es schließlich um die Anwendung der vorgeschlagenen Hahnapproximation für digitale Filter zur Glättung spektrometrischer Signale (Spektren). Hier werden einige Beurteilungskriterien entwickelt, die einen Vergleich der verschiedenen Glättungsfilter mit polynomialer Filterfunktion erlauben. Die behandelten Glättungsfilter lassen sich auch in anderen Bereichen (Statistik, Medizin, Numerische Mathematik, Chemie usw.) gewinnbringend anwenden (Borgan 1979, Vasseur et al. 1979, Greville 1966, Greville 1974). 1 Definitionen1.1 EinführungIn den folgenden Abschnitten soll der Leser mit der Schreibweise, die dieser Arbeit zugrunde liegt und den wichtigsten mathematischen Hilfsmitteln vertraut gemacht werden.Die Schreibweise ist durchweg der modernen Analysis (einschließlich Funktionalanalysis) entlehnt (z. B. Sawyer 1978, Blatter 1977) und besitzt den Vorteil, einfach und eindeutig zu sein. Mathematisch interessierte Leser mögen tiefergehende Hintergrundinformationen der einschlägigen Literatur entnehmen (Fuchssteiner/Laugwitz 1974, Heuser 1975, Kreyszig 1978, Luenberger 1969, Zygmund 1977). Der sonst in der Theorie der digitalen Filter dominierende Gebrauch der z-Transformation (Rabiner/Gold 1975, Oppenheim/Schafer 1975, Stearns 1975, Robinson/Silva 1978, Antoniou 1979, Schüssler 1973) wurde in der vorliegenden Arbeit durch die Operatorschreibweise ersetzt. Die Begriffe "Funktion" und "Vektor" werden abwechselnd für ein und dasselbe mathematische Objekt gebraucht. Zahlreiche Sätze lassen sich unter Benutzung vorhandener Formeln durch einfaches Nachrechnen beweisen. In solchen Fällen wurde der Beweis nicht explizit hingeschrieben. Im Text nicht definierte oder erklärte Symbole sind - soweit man sie nicht als allgemein bekannt voraussetzen kann - in der Symbolliste im Anhang zusammengestellt. 1.2 RäumeWir betrachten in dieser Arbeit Messwertfolgen, die sich idealisiert als beidseitig unendlich ausgedehnte Funktionen f mit diskretem Definitions- und kontinuierlichem Wertebereich, wie man sie z. B. durch Abtastung einer zeitlich veränderlichen Messgröße erhält, darstellen lassen. Den Vektorraum (Fuchssteiner/Laugwitz 1974 S14) dieser Funktionen nennen wir ℓ.
Für den Wert von f ∈ ℓ an der Stelle k schreiben wir f [k], wobei die eckigen Klammern ein Hinweis auf den diskreten Charakter von f sein mögen. Der Raum ℓ ist im allgemeinen zu "groß",
um ein sinnvolles Arbeiten zu gestatten. Mit zusätzlichen, durch die Praxis
nahegelegten Einschränkungen, erhalten wir die Räume:
Zur Vereinfachung der Schreibweise haben
wir bereits von der folgenden Vereinbarung Gebrauch gemacht, die (wie alle
Konventionen) der gesamten Arbeit zugrunde liegt:
Soll eine diskrete Funktion f ∈
ℓ auch komplexe Werte annehmen dürfen, das heißt:
Die Bedeutung von Vℓ
Der Stern (*) in (12) bedeutet Komplexkonjugation.
ℒ2' ist ein abgeschlossener Unterraum von ℒ2.
1.3 Fouriertransformation
Die Fouriertransformation ℱ ist eine lineare isometrische isomorphe Abbildung zwischen ℓ2 und ℒ2' bzw ℓ2ℂ und ℒ2:
Die Umkehrabbildung ℱ -1 (inverse Fouriertransformation) hat die Form
Die Beschränkung auf Funktionen f
∈
ℒ2' 1.4 FunktionaleFunktionale sind Abbildungen, die einer oder mehreren Funktionen eine reelle oder komplexe Zahl zuordnen. Die wichtigsten Funktionale, mit denen wir es zu tun haben werden, sind Normen und Skalarprodukte. So lassen sich die Räume aus Definition 1.2.2 bis 1.2.4 mit Hilfe von geeigneten Normen zu Banachräumen, d. h. vollständigen normierten Vektorräumen machen. Die Vektorräume Wℓ, ℓ
Achtung: das Skalarprodukt <,>, (1),
wird manchmal (wenn ausdrücklich vermerkt!) auch als allgemeines, beliebig
zu definierendes Skalarprodukt verstanden.
Die Isometrie der Fouriertransformation kommt in den Beziehungen
die natürlich auch für f, g ∈ ℓ2 bzw. ℒ2' gelten, zum Ausdruck. (9) wird in der Theorie der Fourierreihen auch Parsevalgleichung genannt. Zur Kennzeichnung gewisser Signaleigenschaften
bedienen wir uns der Momente µm
(m-tes Moment):
Die Beschränkung auf finite Funktionen
Wℓ
(Definition 1.6.2) in Definition
1.4.3 ist häufig zu restriktiv, sie dient hier lediglich der Existenzsicherung
(Beschränktheit). Momente sind lineare Funktionale, deren Werte auf einfache
Weise aus der Fouriertransformierten
ℱ f durch Differenziation
herzuleiten sind (ℱ f(m)(ω) bezeichne die m-te Ableitung
von ℱ f an der Stelle ω):
Ist f ∈ Wℓ gar symmetrisch (Definition 1.6.2), vereinfacht sich (12) zu
1.5 OperatorenOperatoren sind Abbildungen zwischen Vektorräumen. Die Fouriertransformation ist ein bereits eingeführtes Beispiel. Die folgenden linearen Operatoren definieren wir zunächst auf ℓℂ. Dabei ist zu beachten, dass die speziellen Eigenschaften der auf Teilmenge von ℓℂ vorzunehmenden Einschränkungen dieser Operatoren von der Struktur des Raumes (Metrik) abhängen.
Die Wirkung dieser Operatoren im "Frequenzraum"
ℒ2' fassen wir, soweit sie sich anschaulich beschreiben
lässt, zusammen in
Die Operatoren S, T, U, V und W sind auf ℓ2beschränkt und damit stetig. Man erhält
W ist ein Projektor,
W:
ℓ2 → W Mit den folgenden Vertauschungsrelationen
lassen sich viele Aussagen über Digitalfilter schnell und problemlos beweisen.
Von besonderer Bedeutung sind in dieser
Arbeit die sogenannten Projektionsoperatoren
(z. B. mit P bezeichnet). Sie bilden einen Hilbertraum ℋ
in einen Unterraum von ℋ ab, den wir der Einfachheit halber Pℋ
nennen.
Ein Projektor hat nur die Eigenwerte 1
und 0. Jedes f ∈ Pℋ ist Eigenvektor zum Eigenwert
1; jedes g ∈ (Pℋ )⊥ ist Eigenvektor
zum Eigenwert 0. (Pℋ )⊥ stellt das orthogonale
Komplement von Pℋ dar. Man beachte, dass die Definition hier ganz
besonders vom gewählten Hilbertraum ℋ abhängt. Es geht nicht nur die
Grundmenge (z. B. 1.6 Digitalfilter
Ein Digitalfilter ist ein (diskreter) Faltungsoperator, denn es gilt im Fall der Konvergenz (f ∈ ℓ)
Der folgende Satz gibt an, wie sich aus
der Filterfunktion a die Beschränktheit eines Digitalfilters auf
Das "wesentliche Supremum" esssup ist
z. B. in (Fuchssteiner/Laugwitz 1974) erklärt.
Es entspricht bis auf die Eigenschaft, dass Abweichungen einer Funktion
auf einer Menge vom Maß null keinen Einfluss ausüben, genau dem Supremum.
Aus Satz 1.6.2 geht unter anderem hervor, dass die
Bedingung für Beschränktheit auf Bleibt ein beschränktes Signal f
∈ ℓ∞ beschränkt (||Af||∞ ≤
||a|| Offensichtlich lassen
sich alle Eigenschaften eines Digitalfilters aus der zugehörigen Filterfunktion
ableiten. Um zu einer weiteren Differenzierung digitaler Filter
zu kommen, definieren wir zunächst einige Funktionenklassen besonderer
Wichtigkeit.
Anders als im Kontinuierlichen gibt es
im Diskreten keine Probleme mit der Deltafunktion.
Die Deltafunktion d besitzt wie üblich die Eigenschaften
Bei Anwendung eines Digitalfilters auf
die Deltafunktion tritt als Ergebnis also die Filterfunktion hervor, womit
das Digitalfilter sein gesamtes Innenleben offenbart. Wir werden deshalb
häufig Ad anstelle von a als Filterfunktion bezeichnen,
um zusätzliche Definitionen zu ersparen.
Finite Digitalfilter haben eine Reihe von bedeutsamen Eigenschaften:
Zum Beweis von (21) sowie zur Erläuterung der Begriffe "Rauschverstärkung" und "weißes Rauschen" siehe Abschnitt 4.3. Häufig ist es sinnvoll, aus Digitalfiltern mit bekannter Filterfunktion a ≔ Ad durch Transformation Digitalfilter mit neuen Eigenschaften zu gewinnen. Wir zählen hier einige elementare Transformationen auf.
Wie alle linearen Operatoren lässt sich ein Digitalfilter auf ℓ Eine "Komposition" (Hintereinanderschaltung) von linearen Operatoren ist in dieser Schreibweise einfach durch die Matrizenmultiplikation erklärt. 2 Rekursivdarstellung Finiter Digitalfilter2.1 EinführungIn (Bromba/Ziegler 1979) wird ein Verfahren beschrieben, mit dem ein finites Digitalfilter A, dessen Filterfunktion Ad im Intervall -N,...,N ein Polynom ist, in die Form
Natürlich kann eine solche Rekursion nur dann funktionieren, wenn
Natürlich hat jedes finite Digitalfilter beliebig viele Rekursivdarstellungen. (Das sieht man, wenn man z. B. in (8) K durch M, M ∈ ℕ, ersetzt). Die Theorie der "rekursiven Digitalfilter" (Schüssler 1973 S35) lehrt uns jedoch, dass nur bei Digitalfiltern, deren Filterfunktion bereichsweise aus exponentiell gewichteten Polynomen besteht, eine Reduzierung des Rechenaufwands gegenüber der direkten Berechnung (3) und damit eine sinnvolle Rekursivdarstellung erwartet werden darf. Selbst wenn diese Voraussetzung erfüllt ist, hat man noch die Auswahl zwischen mehreren Rekursivdarstellungen. Wir wollen hier stets diejenige mit dem kleinsten Rechenaufwand betrachten. Die Entwicklung verschiedener Rekursivdarstellungen ist unter anderem in (Blum 1957, Morrison 1967, Vasseur et al. 1979, Nesline/Zarchan 1979) beschrieben. Es erübrigt sich, ein allgemeines Verfahren anzugeben, da wir, wie sich zeigen wird, alle auftretenden Möglichkeiten durch entsprechende Transformationen auf den Fall ungewichteter Polynome zurückführen können. Zunächst werfen wir noch einmal einen zusammenfassenden Blick auf die in (Bromba/Ziegler 1979) benutzte Methode. Ausgangspunkt ist ein Digitalfilter A, dessen Filterfunktion Ad in einem wenigstens einseitig begrenzten Bereich durch ein Polynom K-ten Grades dargestellt werden kann. Außerhalb dieses Bereichs mögen die Werte von Ad verschwinden. Wenden wir auf diese Filterfunktion das Digitalfilter
Eine wesentliche Vorraussetzung für die
Implementierung von Rekursivdarstellungen der Form (7) ist exakte Berechenbarkeit,
da beliebig kleine, durch Rundungs-, Überlauf- und sonstige Fehler auftretende
Rechenungenauigkeiten zur Instabilität des Algorithmus führen können.
Diese Instabilität äußert sich darin, dass das Ausgangssignal über
alle Grenzen wächst, obwohl das Eingangssignal beschränkt bleibt. Exakte
Berechenbarkeit ist im Fall (7) durch die Anwendung von Ganzzahlenarithmetik
erreichbar. Eine weitere Diskussion findet in Abschnitt
2.5 statt, siehe auch (Lynn 1978, Kurshan/Gopinath
1975, Gopinath/Kurshan 1975, Kurshan/Odlyzko
1980).
2.2 Polynomfilter
(K+1)(L+2) ist gerade die maximale Anzahl
der von null verschiedenen Koeffizienten von A'd (8) und
A''d
(9) in einer zugehörigen Rekursivdarstellung (7). Daraus folgt, dass die
Rekursivdarstellung eines Polynomfilters nicht mehr Rechenaufwand erfordert
als die nichtrekursive Implementierung. Ist die Zahl der Schnittstellen
(L+1) genau zwei und liegen diese zusätzlich bei ±N so sprechen wir von
einem einfachen Polynomfilter, da die Filterfunktion in diesem Fall durch
ein
Polynom (L=1) in Wℓ vollständig erklärt ist.
Wie bereits in 2.1 gezeigt, hat die Rekursivdarstellung eines Polynomfilters AM M-ten Grades zweckmäßigerweise die Form
Wir wollen nun untersuchen, wie sich wichtige Eigenschaften des Polynomfilters AM in der Rekursivdarstellung widerspiegeln. Da
Der Beweis benutzt die Sätze 1.5.3
und 1.6.1.
Der folgende Satz gibt eine Formel für
AK'
an, in der nur diejenigen Werte von AK'd berücksichtigt
sind, die (bedingt durch die Schnittstellen von AKd
bei ±N) ungleich null sein können.
Im Fall symmetrischer (K gerade) bzw. antisymmetrischer (K ungerade) einfacher Polynomfilter gestattet Satz 2.2.2 eine weitere Vereinfachung, weil dann zusätzlich für alle k von 0 bis K gilt:
Der Frequenzgang eines Polynomfilters ist auf einfache Weise aus der Rekursivdarstellung (17) abzuleiten:
Durch (K+1)-malige Anwendung der L'Hospital-Regel erhalten wir für K = 2M (symmetrische Filter):
Bei antisymmetrischen einfachen Polynomfiltern gilt stets
Beweis: Der Nenner des Frequenzgangs (28,
29) hat an der Stelle ω = 0 eine (K+1)-fache Nullstelle, die durch den
Zähler vollständig kompensiert werden muss,
2.3 RechenregelnDer besondere Vorteil der formalen Rekursivdarstellung (1) besteht im relativ einfachen Kalkül zur Gewinnung und im Umgang mit rekursiven Rechenverfahren. Wir wollen das hier nutzen und einige für die Praxis wichtige Umrechnungsformeln angeben.Satz 2.3.1 beschreibt
unter anderem die Auswirkung einer Serien- oder Parallelschaltung zweier
rekursiv dargestellter Digitalfilter auf die Rekursivdarstellung des resultierenden
Filters. Das Zeichen "⇨" bedeutet "...dann empfiehlt sich", wobei sich
die Empfehlung auf den Rechenaufwand bei der Implementierung bezieht.
Man beachte, dass (37) im allgemeinen nicht die einfachste Rekursivdarstellung für C liefert. Dem trägt (38) für den Spezialfall A'' = B'' Rechnung. Dieser Fall ist dann nicht trivial, wenn A und B finite Digitalfilter unterschiedlicher Breite N sind (siehe 4.5). Wollen wir von einem Digitalfilter A
zu einem Digitalfilter B mit Filterfunktion n ↦
Vorsicht: Da Rρ im
allgemeinen nicht beschränkt ist, muss stets die Beschränktheit von B
geprüft werden (Satz 1.6.2). Falls ρ ≔ -1, wird
aus Rρ der beschränkte unitäre
Operator U der Frequenzverschiebung (Definition
1.5.1, Satz 1.5.1) , mit dem sich bequem Hochpass
↔ Tiefpass - Transformationen durchführen lassen; siehe 1.6.
Da bei einer sinnvollen Rekursivdarstellung die Filterfunktionen A'd und A''d wesentlich weniger von null abweichende Werte als Ad haben, lässt sich der Frequenzgang FAd mit (41) auch wesentlich einfacher berechnen als auf direktem Wege. 2.4 VerallgemeinerungBetrachten wir allgemeine Rekursivdarstellungen (1), so können wir die in der Regel infinite Filterfunktion von A stets durch Produkte und Summen von Exponentialfunktionen und Polynomen darstellen (Hamming 1977 p187, Schüssler 1973 S35). Dabei zählen wir zu den Exponentialfunktionen auch die Kosinus- und Sinusfunktionen, die sich ja als Summen bzw. Differenzen von zwei zueinander konjugiert komplexen Exponentialfunktionen schreiben lassen. Da A beschränkt sein soll, muss die resultierende Filterfunktion natürlich immer wenigstens einseitig "abgeschnitten" sein.Ist umgekehrt eine Filterfunktion gegeben, die sich in der beschriebenen Weise zusammensetzt, können wir auf das Verfahren zur Entwicklung von Rekursivdarstellungen für Polynomfilter (Bromba/Ziegler 1979) zurückgreifen, wenn wir uns der Sätze 2.3.1 und 2.3.2 bedienen. Wir erläutern das an einem Beispiel.
Ähnlich verfährt man mit Digitalfiltern der Art
Ersetzt man in (57) cos durch sin, gelangt man zu der Darstellung
2.5 StabilitätIn jeder Rekursivdarstellung (1) können wir A'' in der Form (λk ∈ ℂ)
Ein Digitalfilter A ist stabil (Satz 1.6.2), wenn der Betrag aller λk kleiner als eins ist (z. B. Schüssler 1973 S36). Die Umkehrung gilt nicht. So sind insbesondere alle finiten Digitalfilter stabil, ganz gleich, welchen Betrag die zugehörigen λk annehmen. In der Praxis können jedoch durch Rundungs- und ähnliche Fehler Änderungen eintreten, die z. B. aus dem finiten Digitalfilter ein infinites werden lassen, das dann instabil ist. Wenn der Betrag eines oder mehrerer λk den Wert eins annimmt, aber keines diesen Wert überschreitet, kann eine Stabilitätstransformation für stabile Verhältnisse sorgen (1.6). Dazu ersetzen wir sämtliche T durch αT, wobei wir α so wählen, dass einerseits die αλk durch Rechenungenauigkeiten niemals den Wert eins überschreiten, und dass andererseits die Filtereigenschaften nicht zu sehr verändert werden; siehe z. B. (Stearns 1975 p211). Dieses Verfahren lässt sich nicht nur bei Frequenzabtastfiltern, sondern auch bei Polynomfiltern anwenden. Ein auf diese Weise stablisiertes Digitalfilter kann allerdings nicht mehr exakt symmetrisch oder antisymmetrisch sein. Deshalb dürfte es in vielen Fällen besser sein, nach exakt berechenbaren Rekursivdarstellungen Ausschau zu halten. Gleichzeitig enthebt uns eine exakte Berechnung aller Sorgen, die sonst noch in Rekursivalgorithmen ihren Anlass finden, wie z. B. Grenzzyklen (Rabiner/Gold 1975 p350, Oppenheim/Schafer 1975 p419). Exakte Berechenbarkeit liegt vor, wenn
Eine wesentliche Vorraussetzung für die Stabilität exakt berechenbarer Rekursivdarstellungen finiter Digitalfilter ist die geeignete Wahl der Anfangsbedingungen, damit nicht etwa durch den Start Fehler eingebracht werden, die sich im Laufe der Rekursion (trotz exakter Berechnung!) aufschaukeln, siehe (Bromba/Ziegler 1979). Dank der Finität der Filter bleibt der Einfluss künstlicher Startbedingungen auf die ersten N gefilterten Werte g[ko], g[ko+1],..., g[ko+N-1] in (2) beschränkt. Schließlich muss noch sichergestellt sein, dass im Rechner kein Überlauf eintritt. Dieser Fall lässt sich mit Sicherheit ausschließen, wenn das Eingangssignal beschränkt ist (das ist in der Praxis immer der Fall) und wenn man berücksichtigt, dass der Ausgangswertebereich um die Einsnorm der Filterfunktion größer ist als der Eingangswertebereich (Satz 1.6.2). In diese Analyse sind auch die Digitalfilter A' und A'' der Rekursivdarstellung einzubeziehen. 3 Least-Squares-Digitalfilter3.1 EinführungIm folgenden soll ein Verfahren beschrieben werden, das durch Hilbertraumappoximation einer "Originalfilterfunktion" zu Digitalfiltern führt, die "zusätzlich" eine signalglättende Wirkung haben. Ist die Originalfilterfunktion z. B. die Filterfunktion des Einheitsfilters (Id = d), des (diskreten) Differenziators oder der Inversfilterung (Dekonvolution), so erhält man Digitalfilter, die nur glätten, die differenzieren und glätten oder die "auflösungsverbessernd" wirken und glätten. Die Originaloperationen werden an quadratsummierbaren Signalen natürlich nur noch näherungsweise ausgeführt. Im Prinzip erleidet also die Originaloperation eine "geringfügige" Abänderung derart, dass eine Glättung auftritt, gewisse Charakteristika der Originaloperation aber erhalten bleiben.In Hilberträumen wird Approximation durch das Projektionstheorem (Luenberger 1969) beschrieben, von dem wir hier zwei einfache Folgerungen benötigen. Skalarprodukte sind in diesem Abschnitt (3.1) beliebig definierbar. (Die Norm ist dann durch das Skalarprodukt eindeutig festgelegt).
Satz 3.1.1 ist
nützlich, wenn eine "Originalfilterfunktion"
h durch eine Filterfunktion
g
mit der speziellen Eigenschaft
g
∈
Pℋ ersetzt werden
soll. Das "beste" g bezüglich der ℋ-Norm || || ist gerade
Ph.
Aus Satz 3.1.1 folgt wiederum
Die optimale Filterfunktion Ph aus Satz 3.1.2 hat also von allen g mit der Eigenschaft g - h ⊥ Pℋ (d. h. für alle f ∈ Pℋ gilt <f,g-h> = 0 wenn <,> das zu ℋ gehörige Skalarprodukt ist) die kleinste Norm. Die "Nebenbedingung" g-h ⊥ Pℋ besorgt die Übertragung gewisser charakteristischer Eigenschaften von h auf Ph, während die Normminimierung für die Glättung von Bedeutung ist. Die Norm stellt nämlich im einfachsten Fall (ungewichtete Quadratsumme) ein direktes Maß für die Rauschverstärkung des zugehörigen Filters für weißes Rauschen dar (Satz 1.6.4). Das Optimierungsverfahren erfordert somit im großen und ganzen folgende Schritte: ( i) Wahl der Originalfilterfunktion hMan beachte, dass der Raum der allgemeinsten Filterfunktionen kein Hilbertraum ist, weil die aus den Beschränktheitsbedingungen (Satz 1.6.2) folgenden Normen nicht aus Skalarprodukten stammen. Der Projektor kann in der Form
3.2 GramfilterWir wählen als Hiltertraum ℋ den Raum der reellen finiten Funktion Wℓ versehen mit dem Skalarprodukt
PMWℓ ist der Raum aller finiten Funktionen, die durch ein Polynom maximal M-ten Grades darstellbar sind. Satz 3.1.1,
Satz 3.2.1 stellt die Erhaltung der Momente der Originalfilterfunktion h durch die Approximation PMh sicher:
Beweis: (18) folgt aus
(19): In ℋ = (Wℓ; <,>) lässt sich μm(h) , m=0,...,M, durch ein Skalarprodukt von h mit einem Vektor fm ∈ PMWℓ schreiben:
Bisher haben wir nur finite Originalfilterfunktionen h ∈ Wℓ gramappoximiert. Eine Approximation infiniter Funktionen h ∈ ℓ2 (z. B. die Filterfunktion des diskreten Differenziators) ist zwar auch möglich, weil formal PMℓ2 = PMWℓ; von den Äquivalenzen (12) bis (14) bleibt jedoch nur noch die erste gültig. Die Momente z. B. werden im allgemeinen nicht mehr erhalten. Da die Momentenerhaltung (19) bzw. die Erhaltung der Ableitungen des Frequenzgangs ℱ h an der Stelle null (20) oft von größerer Bedeutung ist als die Eigenschaft
( i) μm(h) existiert nichtSobald aber alle Momente oder alle Ableitungen an der Stelle null existieren, lässt sich mit Hilfe der M+1 linearen Gleichungen (24) bzw. (25) das gewünschte f ausrechnen (Matrixinversion). Ist h symmetrisch oder antisymmetrisch, schrumpft die Zahl der Gleichungen sogar noch erheblich. Im Fall der diskreten Differenziation erledigt sich das Problem der Infinität sozusagen von selbst, wie sich am Beispiel der Hahnfilter zeigen wird. 3.3 HahnfilterWir wählen als Hilbertraum ℋ wieder den Raum der reellen finiten Funktionen Wℓ, diesmal aber ausgestattet mit dem Skalarprodukt (Definition 1.4.1)
HL kann als die Einschränkung des Operators (Δ*Δ)L auf Wℓ verstanden werden, denn wir haben
Im Fall L=0 reduziert sich die Hahnapproximation formal auf die Gramapproximation. Wie schon angedeutet, beschreibt die Norm (27) im Fall L>0 nicht mehr die Rauschverstärkung für weißes Rauschen. Es gibt nämlich
Die speziellen Hahnpolynome pm(L) erfüllen per definitionem die Orthogonalitätsbeziehung
Beweis: In ℓ wirkt der Differenzenoperator
2L-ter Ordnung (Δ*Δ)L ähnlich wie eine 2L-te
Ableitung: Ist pm ∈ ℓ ein Polynom m-ten Grades (m
≥ 2L), dann ist (Δ*Δ)Lpm
ein Polynom (m-2L)-ten Grades. In Wℓ ist CLpm
ein Polynom (m+2L)-ten Grades, das auch dann bei n = ±(N+k) , k=1,...,L,
Nullstellen hätte, wenn es nicht bei n = ±N abgeschnitten wäre (CLpm
∈ Wℓ).
Aufgrund von (42) ist auch klar, dass qm(L) (33) ein Polynom (m+2L)-ten Grades darstellt. Weiterhin kann man leicht ausrechnen, dass
Beweis: (46) und (48) wie Satz 3.2.1 (47): PM(L)Wℓ ist der Raum aller mit c(L) (38) multiplizierten Polynome maximal M-ten Grades. Da HLc(L) ein Polynom nullten Grades ist, kann μm(h) , m=0,...,M ≤ 2N, in ℋ = (Wℓ; <,>HL) durch ein Skalarprodukt von h mit einem Vektor fm ∈ PM(L)Wℓ dargestellt werden:
3.4 KrawtchoukfilterGeht man von der Hahnapproximation aus und betrachtet den Grenzfall L → ∞ , so ist zunächst festzustellen, dass die Norm || ||HL (27) ihren Sinn verliert, weil HL divergiert. Es lässt sich zwar ein geeignet normierter Operator H̃̃L finden, der konvergiert, aber leider ist der Grenzfall nicht invertierbar, so dass || ||H̃L nicht gegen eine Norm konvergiert.Verzichten wir jedoch auf die Interpretation der Norm als zu minimierende gewichtete Rauschverstärkung, so lässt sich durch einen Grenzübergang in (45) dennoch ein Projektor gewinnen, der dann durch die außergewöhnliche Eigenschaft besticht, Digitalfilter mit extrem glatten Frequenzgängen zu produzieren. Verfahren wir so ähnlich, wie in (Bromba/Ziegler 1980), ergibt sich
Satz 3.4.1 ist das Analogon zu Satz 3.2.1
und 3.3.2. Krawtchouk- und Gramapproximation können
somit unbedenklich als Spezialfälle der Hahnapproximation aufgefasst werden.
3.5 Trigonometrische FilterWir wählen als Hilbertraum ℋ den Raum der komplexen finiten Funktionen Wℓℂ , ausgestattet mit dem Skalarprodukt
Diese zusätzliche Eigenschaft bewirkt,
dass für alle reellen h ∈ Wℓℂ auch PJh
reell ist.
Der Erhaltung der Momente bei der Hahnapproximation
entspricht hier die Erhaltung der finiten Fouriertransformierten an den
Stellen j ∈ J, was der Erhaltung des Frequenzgangs an den Stellen 2πj/(2N
+ 1) gleichkommt. Während sich die Erhaltungseigenschaften bei den polynomialen
Approximationen auf den Nullpunkt des Frequenzgangs ℱ h
konzentrieren, findet hier eine äquidistante Verteilung über den gesamten
Frequenzgang statt, wodurch sich zusätzliche Möglichkeiten ergeben (Zschunke
1973).
3.6 Weitere FiltertypenDer vorgestellte Formalismus zum Entwurf optimaler Digitalfilter vereinigt nicht nur bisherige Lösungsansätze (Blum 1957, Morrison 1967, Hildebrand 1974 p357, Bromba 1978, Savitzky/Golay 1964, Lanczos 1956, Borgan 1979) oder gestattet explizite Darstellungen der Filterfunktion (Bromba 1978, Bromba/Ziegler 1980), er erlaubt auch sinnvolle Neuschöpfungen (z. B. glättende Auflösungsverbesserer). Zusätzliche Möglichkeiten ergeben sich durch die Wahl anderer Hilberträume und anderer Orthononalsysteme. So beschreibt (Morrison 1967) im Prinzip die Approximation der Einheitsfilterfunktion durch (einseitig infinite) exponentiell gewichtete diskrete Laguerrepolynome und gibt eine Rekursivdarstellung seiner Filter an.Auf sehr einfache Weise führen unitäre Transformationen eines Orthonormalsystems zu einem neuen Orthonormalsystem mit neuen Approximationseigenschaften. Beispiele sind S, T und U (siehe 1.5 und dort (15)). Wenden wir die Hochpass ↔ Tiefpasstransformation U auf die Hahnpolynome an, so erhalten wir Digitalfilter, die bzgl. einer mit UHLU-1 gewichteten Norm optimal sind und den Frequenzgang nicht an der Stelle null sondern an der Stelle π erhalten. Ist eine Frequenzgangerhaltung an der Stelle π/2 erwünscht, kann man nacheinander die Transformationen U und V auf die Hahnpolynome anwenden. Allerdings bedingt die Transformation VU gleichzeitig den Übergang zu einem neuen Hilbertraum, wir haben Wℓ durch VWℓ zu ersetzen. Beide Transformationen (U und VU) ermöglichen mit den Hahnpolynomen wiederum exakt berechenbare Rekursivdarstellungen. 4 Polynomfilter zur Glättung spektrometrischer Signale4.1 EinführungIm folgenden spezialisieren wir uns auf die Glättung spektrometrischer Signale (Spektren). Die Glättung stellt hier neben der Auflösungsverbesserung und der Differenziation die wichtigste Filteroperation dar und dürfte in der Praxis auch am häufigsten angewendet werden. Unter Glättung (einer Kurve) verstehen wir das "Einebnen" von schnellen Änderungen des Kurvenverlaufs, wie sie insbesondere beim Rauschen, das für den statistischen Fehler einer Messung verantwortlich ist, auftreten. Langsame Änderungen sollen möglichst erhalten bleiben, da sie im wesentlichen den Signalanteil des Spektrums verkörpern. Abbildung 4.7.1 (Seite 76) veranschaulicht den Effekt einer Glättung am Beispiel eines ENDOR-Spektrums.Die Vorteile digitaler Filterungen gegenüber
analogen haben wir bereits in der Einleitung (Seite 3 und 4) beschrieben,
so dass wir uns an dieser Stelle auf die Zusammenfassung der speziellen
Vorteile von (digitalen) Polynomfiltern beschränken können.
( i) Implementierungsaufwand:
( ii) Signalanpassung:
(iii) Variabilität:
4.2 Struktur spektrometrischer SignaleIn der Regel lassen sich Emissions- und Absorptionsspektren idealisiert als Supersposition von Gauß- und Lorentzfunktionen (Linien, Peaks) verschiedener Amplitude (Wert des Maximums), Lage (Position des Maximums) und Breite (z. B. Halbwertsbreite) beschreiben. Da wir Spektren nur linearen und translationsinvarianten Operationen unterwerfen wollen, genügt es, wenn wir unsere Untersuchungen auf zentrierte Einzellinien der Amplitude eins beschränken.
Abbildung 4.2.1 zeigt den prinzipiellen
Verlauf einer Lorentzfunktion (obere Kurve) und einer Gaußfunktion
(untere Kurve). Die wichtigsten Merkmale der Gauß- und Lorentzfunktionen
sind Absolutsummierbarkeit, Symmetrie, Infinität und Monotonie, wie sich
im folgenden zeigen wird.
Unter monoton verstehen wir also, dass
eine Funktion im Nullpunkt ein Maximum hat und jenseits des Nullpunkts
auf beiden Seiten monoton abfällt.
Beweis: Poisson-Summationsformel (Edwards
1979 p182).
Weiterhin lassen sich aus Satz 4.2.1 mit Hilfe von Satz 1.4.1 alle Momente und die Normen bestimmen:
Die Näherungen für große β (β > 1) lauten
Beweis: Poisson-Summationsformel (Edwards
1979 p182) oder (Hansen 1975, 17.3.7).
Abbildung 4.2.2: Fouriertransformierten von Gauß- und Lorentzfunktion (β = 10)
Beweis: Satz 1.4.1
und (Hansen 1975, 6.1.126).
Man beachte, dass Additionen und Faltungen spektrometrischer Funktionen wieder spektrometrische Funktionen ergeben. 4.3 Glättung spektrometrischer SignaleEin Spektrum als reine Überlagerung von Gauß- oder Lorentzfunktionen stellt eine Idealisierung dar, die in der Praxis regelmäßig durch das Vorhandensein statistischer Fehler gestört wird. Wir betrachten hier nur den Fall, dass das gestörte spektrometrische Signal s̃ ∈ ℓ als zusätzlichen additiven Bestandteil zum Signal s ∈ ℓ ein Rauschen r ∈ ℓ enthält.
In der Regel tritt das Rauschen rgaußverteilt auf. Der "Grund" dafür ist der Zentrale Grenzwertsatz der Statistik, dem auch viele spektrometrische Linien ihre Form verdanken. Von der Form der Rauschverteilung werden wir jedoch keinen Gebrauch machen müssen. Zur Beschreibung des Rauschens genügt in unserem Fall die Autokorrelationsfunktion Θr , die wir mit Hilfe des (Auto-) Korrelationsoperators Θ definieren:
Ziel einer Glättungsoperation A soll es sein, die mittlere Rauschamplitude und damit den statistischen Fehler zu reduzieren, ohne dabei das Signal wesentlich zu verfälschen:
Leider ist die Reduzierung des statistischen Fehlers unter den genannten Voraussetzungen immer mit einer Signaldeformation, d. h. der Einführung eines systematischen Fehlers verbunden. Es ist deshalb ein zentrales Problem, das Digitalfilter so zu wählen, dass der Gesamtfehler, wie auch immer er definiert sein mag, einen möglichst niedrigen Wert annimmt. Erschwert wird diese Wahl in der Praxis dadurch, dass vom Signal s nur einige allgemeine Eigenschaften als bekannt vorauszusetzen sind (z. B. Monotonie der Einzellinien, Satz 4.2.5). Der systematische Fehler äußert sich am allgemeinsten in der Formänderung einer Einzellinie, in deren Gefolge sich als spektroskopisch relevante Größen Amplitude, Halbwertsbreite, Momente und Symmetrie (Lage!) dieser Linien ändern können. Symmetrieverfälschungen lassen sich durch Anwendung symmetrischer Digitalfilter ausschließen, auf die wir uns deshalb im folgenden beschränken wollen. Auch exakte Momentenerhaltung ist bis zu einem vorwählbaren Grad möglich, wie wir sehen werden. Eine Methode zur Erfassung des "globalen" systematischen Fehlers besteht in der Berechnung einer der Ausdrücke
Aus Satz 4.3.1
geht insbesonder hervor, dass das Maximum des gefilterten Signals unter
den gewählten Bedingungen niemals größer als das des ungefilterten sein
kann. Eine ähnliche Aussage können wir auch mit Hilfe des folgenden Satzes
gewinnen.
Die Änderung des statistischen Fehlers ergibt sich mit Hilfe der Korrelationsfunktionen des gefilterten und des ungefilterten Rauschens, deren Fouriertransformierten durch die Gleichung
Offenbar ist damit die Rauschverstärkung eines Glättungsfilters stets kleiner als eins. Nach Definition 4.3.1 haben wir es bei Glättungsfiltern in der Regel mit digitalen Tiefpässen zu tun. Ein Tiefpass lässt sich vorteilhaft zur Glättung einsetzen, wenn das Signal niedrigfrequenter Natur ist und die Störungen sich mehr oder weniger gleichmäßig über den gesamten Frequenzbereich |ω| ≤ π erstrecken. Die Störung kann dann "oberhalb" des Signalanteils "abgeschnitten" werden. Da Signal und Rauschen in unserem Fall nicht in disjunkten Frequenzbereichen angesiedelt sind, ist klar, dass der ideale Tiefpass in der Spektrometrie nicht das optimale Glättungsfilter darstellt. Bei der Beurteilung unserer Glättungsfilter sind deshalb andere Maßstäbe anzulegen als in der üblichen Filtertheorie. Eine Diskussion dieser Unterschiede findet man in (DeBlasi et al. 1975). Farbiges (d. h. nichtweißes) Rauschen lässt sich wie vorgefiltertes weißes Rauschen behandeln:
4.4 Gram- und HahnglättungsfilterZur Berechnung der Filterfunktion glättender Hahnfilter (aLM) approximieren wir die Filterfunktion d des Einheitsfilters gemäß Abschnitt 3.3 durch Anwendung des dort definierten "Hahnprojektors" PM(L) (L,M ∈ ℕ0) .
Wegen der Antisymmetrie der Hahnpolynome pm(L) im Falle ungeraden Grades m gilt
Die Konstante αLM läßt sich mit Hilfe der Bedingung
Die wichtigsten Eigenschaften der Hahnglättungsfilter ALM fassen wir in Satz 4.4.1 zusammen.
Beweis: (i) und (ii) sind äquivalent und folgen zum Teil aus Satz 1.6.4 und Satz 3.3.2. (iii) ist der Symmetrie der Hahnpolynome pm(L) geraden Grades (siehe Anhang) zu verdanken. (iv) folgt aus Satz 3.1.2. (v) wurde in (Greville 1966) bewiesen. (vi) ist mit Hilfe der Rekursionsformel (10) und vollständiger Induktion zu beweisen. (17) ist nützlich zur approximativen Berechnung der Signaldeformation bei schwacher Filterung (DeBlasi et al. 1975) und des Frequenzgangs in der Nähe von null. Im Fall M=0 erhalten wir relativ einfach darstellbare ℓ2 - monotone Filterfunktionen
( i) Die Filterung eines ℓ2 - monotonen Signals bleibt immer ℓ2 - monoton; insbesondere können keine Nebenmaxima auftauchen, um nichtvorhandene Linien vorzutäuschen.Die Rauschverstärkung für weißes Rauschen läßt sich im Fall L=0 (M beliebig) dank der Eigenschaften von Projektoren (Definition 1.5.2) auf einfache Weise berechnen:
Was die Rekursivdarstellung von ALM (N ≥ 3L + 3M + 1),
4.5 Abgeleitete GlättungsfilterSind in einem Programmsystem wie z. B. "DATEN" (Eilebrecht 1973) zwei oder drei Glättungsfiltertypen fest vorgegeben, kann es sinnvoll sein, aus diesen weitere Filtertypen mit in speziellen Anwendungen vielleicht besseren Eigenschaften abzuleiten. Drei programmiertechnisch einfach zu realisierende Methoden zur Gewinnung neuer Digitalfilter aus alten sind:( i) KonvexkombinationUnter Konvexkombination verstehen wir die spezielle gewichtete Addition zweier Digitalfilter B und C:
Der Raum der Glättungsfilter ist also ein konvexer Unterraum (Luenberger 1969 p17) des Vektorraums der Digitalfilter. Eine in diesem Zusammenhang interessante Beziehung zwischen Hahnfiltern ALM (siehe 4.4) findet sich bei (Greville 1966):
Unter "stückweiser Zusammensetzung" verstehen wir die Konvexkombination von Glättungsfiltern z. B. eines Typs, aber verschiedener Filterbreite (z. B. N). Wählen wir als Filtertyp das Mittelwertfilter A00, so erhalten wir ein Digitalfilter mit treppenförmiger Filterfunktion. Mit Treppenfunktionen lassen sich nicht nur Filterfunktionen approximieren, es sind auch momentenerhaltende Filter konstruierbar. Diese können im Prinzip noch einfach aussehen als die von (Giannelli/Altamura 1976) vorgeschlagenen. So wie beim Mittelwertfilter A00 nur eine Multiplikation erforderlich ist, sind bei Digitalfiltern mit treppenförmiger Filterfunktion höchstens so viele Multiplikationen nötig, wie unterschiedliche Stufen auftreten. Will man auch die Zahl der Additionen noch verringern, bietet sich eine Rekursivdarstellung an. Diese hat den gleichen "Rekursivanteil" A'' wie der Grundfiltertyp. Nur der Nichtrekursivanteil A' erweitert sich entsprechend der Zahl der Schnittstellen der Filterfunktion. In vielen Fällen kann sich eine Mehrfachfilterung
als brauchbar erweisen (Yule 1972, Edwards/Willson
1976, Arsenault/Marmet 1977, Proctor/Shervood
1980). Mehrfachfilterung AK läßt sich durch ein
Digitalfilter beschreiben, dessen Filterfunktion aus der (K-1)-mal miteinander
gefalteten Filterfunktion Ad besteht. Noch einfacher sieht die Darstellung
im Frequenzraum ℒ2' aus, wo der resultierende
Frequenzgang die K-te Potenz des Frequenzgangs
ℱAd ist.
Die asymptotischen Eigenschaften von BKd, K→∞, sind in (Schoenberg 1948) beschrieben worden; siehe auch (Schoenberg 1979 p383, Greville 1966). Zur Gewinnung einer Rekursivdarstellung können wir Satz 2.3.1 anwenden. Man beachte, dass die Mehrfachanwendung eines einfachen Polynomfilters ebenso wie die stückweise Zusammensetzung keine einfachen Polynomfilter bildet. So ist z. B. die zweifache Mittelwertfilterung durch eine dreieckformige Filterfunktion charakterisiert. Es hat sich nicht nur der Polynomgrad erhöht, auch die Zahl der Schnittstellen ist um eine bereichert worden. Derlei Effekte sind allerdings, wenn es um die Rekursivdarstellung geht, in Satz 2.3.1 schon berücksichtigt. 4.6 Eigenschaften glättender PolynomfilterDer Einfluß von Glättungsfiltern auf statistische und systematische Fehler bei spektrometrischen Signalen ist in den Arbeiten (Ernst 1966, Willson/Edward, 1976, Enke/Nieman 1976, Bromba 1978, Tominaga et al. 1972, DeBlasi et al. 1975, Ziegler 1981) teilweise recht ausführlich beschrieben worden. Wir beschränken uns deshalb auf die tabellarische Gegenüberstellung einiger charakteristischer Größen, die sich als Funktionale der Filterfunktion schreiben lassen und für gewisse Grenzfälle eine Beurteilung des Signal-Rausch-Verhaltens gestatten.Zusätzlich ist es immer sinnvoll, einen Blick auf den Verlauf der Filterfunktion zu werfen, sintemal eine gefilterte spektrometrische Funktion mit zunehmendem Filterbreiten- zu Signalbreitenverhältnis immer mehr die Form der Filterfunktion annimmt. Wir betrachten in diesem Abschnitt Hahnglättungsfilter ALM niedriger L- und M-Werte sowie die mehrfache Mittelwertfilterung A00K (K=1,2,3) mit den Filterfunktionen
Abbildung 4.6.1 zeigt die Filterfunktionen mit der Breite N = 40. In Abbildung 4.6.2 sind die zugehörigen Frequenzgänge zusammengestellt (N=10). Es zeigt sich, dass die prinzipielle Form unserer Filterfunktionen kaum von der Breite N abhängt (Edwards/Willson 1974). Wir werden deshalb zur Eliminierung komplizierter N-Abhängigkeiten sämtliche Funktionale für den Grenzfall N → ∞ konstruieren. Die gewonnenen Ergebnisse sind exakt für die kontinuierlichen Entsprechungen unserer Glättungsfilter und liefern bereits bei niedrigen N-Werten (unter 10) repräsentative Ergebnisse.
Abbildung 4.6.1 Wir beginnen mit der Rauschverstärkung.
Beweis: Definition
4.3.1 und Satz 4.4.1.
Im Bereich schwacher Filterung (kleiner systematischer Fehler bzw. kleines Filterbreiten- zu Signalbreitenverhältnis) ist die Deformation eines Signals proportional zum ersten nach μ0 nichtverschwindenden Moment der Filterfunktion (De Blasi et al. 1975, Bromba 1978). Bei Hahnglättungsfiltern ist dies das (2M+2)-te Moment (Satz 4.4.1). Wir wählen
Während (gleiches M vorausgesetzt) die Hahnglättungsfilter A0M das Funktional ϕ1 minimieren (Satz 4.4.1), scheint das Funktional ϕ2 sein Minimum unter gewissen Nebenbedingungen (z. B. feste Zahl der Vorzeichenwechsel von a ∈ Wℓ im Bereich -N,...,N) im Fall L=1 anzunehmen (Gasser/Müller 1979 p23). Die Werte von ϕ2 sind nach M geordnet in der Tabelle 4.6.2 aufgeführt und stammen teilweise aus (Gasser/Müller 1979 p23).
Man beachte, dass die Werte aus Tabelle
4.6.2 nur innerhalb einer Spalte (gleiches M) vergleichbar sind.
Beweis: Eigenschaften des Projektors (Definition 1.5.2). Setzen wir z. B. P ≔ W, dann besagt Satz 4.6.2, dass eine bei ±N abgeschnittene S/R-optimale Filterfunktion die S/R-optimale finite Filterfunktion ist. Nehmen wir für P einen Gramprojektor, erhalten wir auf direktem Wege die S/R-optimale finite Polynomnäherung, die hinsichtlich einer Rekursivdarstellung Vorteile haben kann. Jedoch erscheint dieser Aufwand angesichts der Tatsache, dass man auch mit Hahnglättungsfiltern sehr gute Ergebnisse erzielen kann, etwas übertrieben. Wir definieren für Gaußfunktionen fβ der Breite β (ϕ3) bzw. für Lorentzfunktionen fβ der Breite β (ϕ4) das asymptotische Maximum der Effizienz bzgl. des Breitenverhältnisses N/β
Im Bereich starker Filterung (großes Filterbreiten- zu Signalbreitenverhältnis; die gefilterte spektrometrische Funktion nimmt die Form der Filterfunktion an) ist die Höhe des Maximums einer gefilterten spektrometrischen Funktion porportional dem Wert der Filterfunktion an der Stelle null (Papoulis 1977 p103). Mit
Für allgemeine Glättungsfilter besitzt
ϕ5 keine obere Schranke - selbst dann nicht, wenn die Filterfunktion
ℓ2 -monoton ist. Jedoch läßt sich für den letzteren Fall
eine untere Schranke (ungünstigster Fall) angeben.
Beweis: Satz 4.3.2. Offenbar gilt (10) auch für allgemeinere
Funktionenklassen, wahrscheinlich sogar für alle Hahnglättungsfilter.
4.7 AnwendungshinweiseWir wollen hier zwei Fälle betrachten, die bei der Glättung von Spektren häufig anzutreffen sind:( i) Man weiß (fast) nichts über die zu erwartenden Linien oder ist zu träge, sich irgendwelche Gedanken zu machen.Im Fall (i) empfiehlt sich die Anwendung von Glättungsfiltern mit ℓ2 - monotoner Filterfunktion, also z. B. A00, A10, A002. Sollte man dann zufälligerweise einmal zu kräftig filtern, können dennoch keine als zusätzliche Signalaneile missverstandenen Nebenmaxima (sidelobes) auftreten. Diese Möglichkeit besteht bei allen Hahnfiltern, wenn M größer als eins ist (siehe Abbildung 4.6.1), da eine gefilterte spektrometrische Funktion bei starker Filterung die Form der Filterfunktion annimmt. Sogar bei M = 1 muß man mit einem Nebenmaximum rechnen, wenn die Linie auf einem schrägen Untergrund sitzt. Die Wahl der ℓ2 - monotonen
Filterfunktion ist nicht sonderlich kritisch - wenn man von der des Mittelwertfilters
absieht: Aus Tabelle 4.6.1 entnehmen wir, dass
das Mittwertfilter A00 zwar mit der kleinsten Rauschverstärkung
bei fester Filterbreite glänzt; zum Ausgleich sind jedoch die Signaleigenschaften
(Tabelle 4.6.2 ff) in fast allen Fällen die
schlechtesten. Zudem ergibt sich im Bereich starker Filterung eine starke
Verflachung des Maximums.
(α) die maximale Signaldeformation einen vorgegebenen Grenzwert nicht überschreitet,Die Kriterien (α) und (β) sind insbesondere im Bereich schwacher Filterung nützlich. Man beachte, dass der Fall (β) die zusätzliche a-priori-Kenntnis der mittleren Rauschamplitude benötigt. Im Bereich schwacher Filterung sind die Hahnglättungsfilter A0M (Savitzky-Golay-Glättungsfilter) zu empfehlen (Ziegler 1981). Allerdings bringt auch hier der Übergang zu höheren L (insbesondere L = 1) Vorteile in Bezug auf Signaldeformation bei festem Rauschen und fester Zahl der Vorzeichenwechsel der Filterfunktion (Tabelle 4.6.2), wenn der Implementierungsaufwand nicht die entscheidende Rolle spielt. Diese Vorteile lassen sich auch durch Zwei- oder Mehrfachanwendung der Savitzky-Golay-Glättungsfilter A0M erreichen. Die Kriterien (γ) und (δ) entsprechen
mittlerer und starker Filterung. Während im Fall (γ) noch die Anwendung
von Hahnglättungsfiltern ALM mit M > 0 denkbar ist,
sollten im Fall (δ) unbedingt die Hinweise für Fall (i) beachtet werden.
Weitere Anwendungsfälle und -hinweise entnehme man (Bromba/Ziegler
1981, Ziegler 1981).
Abbildung 4.7.1
zeigt das ENDOR-Spektrum eines mit Rh3+ dotierten AgCl-Kristalls,
das dankenswerterweise von Dr. J. R. Niklas (Arbeitsgruppe Prof. Dr. J.-M.
Spaeth, Universität Paderborn) zur Verfügung gestellt wurde. Die Messung
umfasst insgesamt 6651 Werte. Das relativ stark verrauschte Spektrum wurde
mit dem Savitzky-Golay-Glättungsfilter
A02 , N=1, 4,
9, 16, 25, 49 und 81 bearbeitet. Man sieht deutlich, wie sich mit zunehmender
Filterbreite die Signalstrukturen zunächst immer deutlicher hervorheben,
um alsdann allmählich zu "verschmieren". Man beachte, dass die beschriebenen
Vorteile verschiedener Glättungsfilter beim gewählten (stark verrauschten)
Spektrum kaum zum Tragen kommen, da sich die qualitativen Unterschiede
hauptsächlich im Bereich kleiner Fehler bemerkbar machen, also in einem
Bereich, der zeichnerisch schlecht darzustellen ist (Bromba/Ziegler
1981). Beim vorliegenden Spektrum zeigen deshalb dei verschiedenen
Glättungsfiltertypen bei vergleichbarer Rauschverstärkung ein visuell
kaum unterscheidbares Verhalten, so dass Abbildung
4.7.1 für alle betrachteten Filterarten als typisch angesehen werden
kann.
AnhangFormelsammlungHahnpolynome (Karlin/McGregor 1961, Chihara 1978 p161) pm(L)Rekursionsformel: Seite 61 und (Bromba/Ziegler 1980)
Grampolynome (L=0, Bromba 1978, Hildebrand 1974 p350) pm(0)
Krawtchoukpolynome (Gottlieb 1938, Chihara 1978 p161) pm
p0 bis p5 siehe (Bromba/Ziegler 1980) Gram- und Hahnglättungsfilter
Rekursivdarstellungen:L=0: M=0,1,2 (Bromba 1978, Bromba/Ziegler 1979)
LiteraturverzeichnisAlpatov B.A./Vityazev V.V./Stephanshkin A.I.; Telecommun. Radio Eng. Part 2 (USA) 1979,34,95-97Antoniou A. DIGITAL FILTERS; ANALYSIS AND DESIGN McGraw-Hill 1979 Arsenault H. H./Marmet P.; Rev. Sci. Instrum. 1977,48,512-516 Blatter C. ANALYSIS I Springer 1974 Blum M.; IRE Trans. Inf. Theory 1957, IT-3,178-182 Borgan,0.; SCand. Actuarial J. 1979,83-105 Bromba M.U.A. DIPLOMARBEIT Universität Paderborn 1978 Bromba M.U.A./Ziegler H.; Anal.Chem. 1979,51,1760-1762 Bromba M.U.A./Ziegler H.; Electron. Lett. 1980,16,905-906 Bromba M.U.A./Ziegler H.; Anal. Chem. 1981,53, to appear Chihara T.S. AN INTRODUCTION TO ORTHOGONAL POLYNOMIALS Gordon and Breach 1978 DeBlasi M./Gianelli G./Papoff P./Rotunno T.; Ann.Chim. (Rome) 1975,65,183-196 Edwards R. E. FOURIER SERIES Volume 1 Second Edition, Springer 1979 Edwards T. H./Willson P. D.; Appl. Spectrosc. 1974,28,541-545 Eilebrecht B. DIPLOMARBEIT universität Stuttgart 1973 Enke C. G./Nieman T. A.; Anal. Chem. 1976,48,704A-712A Ernst R. R.; Adv. Magn.Reson. 1966,2,1-135 Fuchssteiner B./Laugwitz D. FUNKTIONALANALYSIS Bibliographisches Institut, Zürich 1974 Gasser Th./Müller H.-G siehe (Gasser/Rosenblatt 1979 p24) Gasser Th./Rosenblatt M. SMOOTHING TECHNIQUES FOR CURVE ESTIMATION Springer 1979 Gianelli G./Altamura O.; Rev. Sci. Instrum. 1976,47,32-36 Gold B. Rader C.M. DIGITAL PROCESSING OF SIGNALS McGraw-Hill 1969 Gopinath B./Kurshan R. P.; Bell Syst. Techn. J. 1976,55,455-467 Gottlieb M. J., Amer. J. Math., 1938,60,453-458 Greville T. N. E.; J. Numer. Anal., 1966,3,157-170 Greville T. N. E.; SIAM J. Math. Anal. 1974,5,376-398 Hamming R. W. DIGITAL FILTERS Prentice-Hall 1977 Hansen E. R. A TABLE OF SERIES AND PRODUCTS Prentice-Hall 1975 Herrmann O.; IEEE Trans. 1971, CT-18, 411-413 Heuser H. FUNKTIONALANALYSIS Teubner 1975 Hildebrand F. B. INTRODUCTION TO NUMERICAL ANALYSIS Second Edition McGraw-Hill 1974 Inouye T.; Nucl. Instrum. Meth. 1971,91,581-584 Jerri A. J.; Proc. IEEE 1977,65,1565-1596 Karlin S./McGregor J. L.; Script. Math. 1961,26,33-46 Kreyszig E. INTRODUCTORY FUNCTIONAL ANALYSIS WITH APPLICATIONS John Wiley & Sons 1978 Kurshan R.P./Gopinath B.; Bell Syst. Techn. J. 1976,55,469-496 Kurshan R.P./Odlyzko A. M.; Electron. Lett. 1980,16,672-673 Lanczos C. APPLIED ANALYSIS Prentice-Hall 1956 Luenberger D. G. OPTIMIZATION BY VEKTOR SPACE METHODS John Wiley & Sons 1969 Lynn P. A.; Electron. Lett. 1970,6,143-145 Madden H.H.; Anal. Chem. 1978,501383-1386 Morrison N.; SIAM J. Appl. Math. 1967,15,516,538 Nesline F. W./Zarchan P.; Autom. Control Theory & Appl. (Canada) 1979,7,63-66 Nikias C.L.; Electron. Lett. 1980,16,236-237 Oppenheim A. V./Schafter R. W. DIGITAL SIGNAL PROCESSING Prentice-Hall 1975 Papoulis A. SIGNAL ANALYSIS McGraw-Hill 1977 Prolla J. B. APPROXIMATION THEORY AND FUNKTIONAL ANALYSIS North-Holland Publishing Company 1979 Proctor A./Sherwood P.M.A.; Anal. Chem. 1980,52,2315-2321 Rabiner L.R./Schafer R.W.: IEEE Trans. 1971, Au-19,200-207 Rabiner L.R./Schafer R.W.: IEEE Trans. 1972, Au-20,104-105 Rabiner L.R./Gold B. THEORY AND APPLICATION OF DIGITAL SIGNAL PROCESSING Prentice-Hall 1975 Robinson E. A./Silvia M. T. DIGITAL SIGNAL PROCESSING AND TIME SERIES ANALYSIS Holden-Day 1978 Savitzky A./Goly M. J. E.; Anal. Chem. 1964,36,1627-1638 Sawyer W. W. A FIRST LOOK AT NUMERICAL FUNCTIONAL ANALYSIS Clarendon Press, Oxford 1978 Schoenberg I. J.; Courant Anniversary volume "Studies and Essays", New York 1948, 351-370 Schoenberg I. J. siehe (Prolla 1979 pp383-407) Schüssler H.W. DIGITALE SYSTEME ZUR SIGNALVERARBEITUNG Springer 1973 Stearns S.D. DIGITAL SIGNAL ANALYSIS Hayden, Rochelle Park 1975 Steinier J./Termonia Y./Deltour J.; Anal. Chem. 1972,44,1906-1909 Tominaga H./Dojyo M./Tanaka.; Nucl. Instrum. Meth. 1972,98,69-76 Vasseur C.P.A/Rajagopalan C.V./Couvreur M./Toulotte J.-M./Dubois O.; IEEE Trans. 1979, IM-28,259-262 Wertheim G. K.; Rev. Sci. Instrum. 1975,46,1414-1415 Willson P. D./Edwards T.H.; Appl. Spectrosc. Rev. 1976,12,1-81 Yule H.P.; Anal. Chem. 1972,44,1245 Ziegler H.; Appl Spectrosc. 1981,35,88-92 Zschunke W.; Nachrichtentechn. Z. 1973,26,103-111 Zygmund A. TRIGONOMETRIC SERIES Cambridge University Press 1977 Symbolliste
Stichwortverzeichnisabsolutsummierbare FunktionenAbtastung Analogfilterung antisymmetrische Digitalfilter antisymmetrische Funktionen Auflösungsverbesserung beschränkte Funktionen beschränkte Operatoren Beschränktheit Breite Dekonvolution Deltafunktion, diskret Differenziation, diskret Differenzenoperator digitales RC-Filter Digitalfilter diskrete Funktion Effizienz Effizienzmaximum einfache Polynomfilter Einheitsfilter Einheitsoperator Eins-Norm Ergodizität exakt berechenbar Faltungsoperator farbiges Rauschen Fehler, systematischer Fehler, statistischer Filterbreite Filterfunktion finit finite Digitalfilter finite Funktionen Fool-proof-Filter Fourierreihe Fouriertransformation Frequenzabtastfilter Frequenzgang Frequenzraum Funktionen Funktionale Gaußfunktion gaußverteilt glättend glättender Auflösungsverbesserer Glättungsfilter Gramfilter Gramglättungsfilter Grampolynome Grenzzyklen Hahnfilter Hahnglättungsfilter Hahnpolynome Halbwertsbreite Hilbertraum Hilbertraumapproximation Hochpass-Bandpass-Transformation Hochpass-Tiefpass-Transformation idealer Tiefpass inverse Fouriertransformation Inversfilterung invertierbare Digitalfilter iterative Filterung kausale Digitalfilter kausale Funktionen Konvexkombination Korrelationsfunktion Korrelationsoperator Krawtchoukfilter Krawtchoukpolynome Least-Squares-Digitalfilter Linearität Linien Linienverbreiterung Lorentzfunktion Maximumverschiebung Mehrfachfilterung Messwertfolgen Mittelwertfilter Momente Momentenerhaltung monotone Funktionen Multiplikationsoperator Normen Operatoren Operatornorm orthogonale Funktionen orthogonales Komplement Orthonormalsystem Parsevalgleichung poissonverteilt Polynomerhaltung Polynomfilter Projektionsoperator Projektionstheorem Projektor quadratsummierbare Funktion Räume Rauschen Rauschverstärkung RC-Tiefpass Realisierbarmachung Rechenregeln Rekursionsformel Rekursivdarstellung rekursive Digitalfilter Samplingtheorem Savitzky-Golay-Glättungsfilter schwache Filterung Schwarzungleichung Signal Signaldeformation Signal-Rausch-Verhältnis Skalarprodukte spektrometrische Funktionen spektrometrische Signale Spektrum Spiegelung Spiegelungsoperator Stabilisation Stabilität Standardabweichung starke Filterung Störung stückweise Zusammensetzung symmetrische Digitalfilter symmetrische Funktionen Tiefpass Transformation Translation Translationsinvarianz Translationsoperator Transposition trigonometrische Filter trigonometrischer Tiefpass unitärer Operator unitäre Transformation Varianz Vektor Vektorraum Vertauschbarkeit Vertauschungsrelationen weißes Rauschen Wertebereich Zentraler Grenzwertsatz |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||