Entwurf digitaler Filter für spektrometrische Anwendungen

Manfred U. A. Bromba

Dem Fachbereich Naturwissenschaften I
der Universität-Gesamthochschule-Paderborn
zur Erlangung des akademischen Grades
"Dr. rer. nat" vorgelegte Dissertation

Paderborn 1981

Eingereicht: 14. Mai
Angenommen 20. Juli

Gutachter: Prof. Dr. H. Ziegler,  Prof. Dr. J. Schröter

Neu erfasste Version - kann Übertragungsfehler enthalten!


Einleitung

1 Definition

1.1 Einführung
1.2 Räume
1.3 Fouriertransformation
1.4 Funktionale
1.5 Operatoren
1.6 Digitalfilter

2 Rekursivdarstellung finiter Digitalfilter

2.1 Einführung
2.2 Polynomfilter
2.3 Rechenregeln
2.4 Verallgemeinerung
2.5 Stabilität

3 Least-Squares-Digitalfilter

3.1 Einführung
3.2 Gramfilter
3.3 Hahnfilter
3.4 Krawtchoukfilter
3.5 Trigonometrische Filter
3.6 Weitere Filtertypen

4 Polynomfilter zur Glättung spektrometrischer Signale

4.1 Einführung
4.2 Struktur spektrometrischer Signale
4.3 Glättung spektrometrischer Signale
4.4 Gram- und Hahnglättungsfilter
4.5 Abgeleitete Glättungsfilter
4.6 Eigenschaften glättender Polynomfilter
4.7 Anwendungshinweise

Anhang

Formelsammlung
Literaturverzeichnis
Symbolliste
Stichwortverzeichnis

Einleitung

Die Digitaltechnik hat sich zu einem unentbehrlichen Hilfsmittel der physikalischen Messtechnik entwickelt. Zu den vorteilhaften Eigenschaften, die eine digitale Messwertverarbeitung gegenüber herkömmlichen Verfahren auszeichnen, gehören unter anderem:
(1) höhere Genauigkeit
(2) höhere Empfindlichkeit
(3) schnellere Verarbeitung
(4) bessere Reproduzierbarkeit
(5) bessere Archivierbarkeit
In der Spektrometrie liegt eine Messung zunächst als Kurvenverlauf vor, der z. B. die Abhängigkeit irgendeiner Emissions- oder Absorptionsgröße von der Energie beschreibt. Dieser Kurvenverlauf, der sich typischerweise aus mehr oder weniger vielen Gauß- und Lorentzlinien verschiedener Lage, Breite, und Amplitude zusammensetzt, bildet die Grundlage für die Interpretation des zu untersuchenden physikalischen Phänomens. Um zu einer physikalischen Auswertung der Messung zu kommen, muss eine Datenreduktion durchgeführt werden: aus der Vielzahl der gemessenen Wertepaare sind die relevanten Informationen wie Linienanzahl, Linienlagen, Linienbreiten, und Linienintensitäten (-amplituden) zu extrahieren. Unglücklicherweise ist allen spektroskopischen Messungen ein  unterschiedlich starker Rauschanteil überlagert; zusätzlich gibt es Auflösungsprobleme, wenn zwei Linien so dicht benachbart sind, dass sie visuell zu einer einzigen "verschmieren".

Das Rauschen lässt sich manchmal durch einfache RC-Tiefpässe vermindern, bei älteren Messverfahren war dies oft die einzige Methode. Einem analogen Filter haften jedoch zwei entscheidende Nachteile an: die Filterung kann nur "einmal" stattfinden, nämlich während der Messung (in statu nascendi). War die Zeitkonstante zu groß eingestellt, kann ein ganzer Messablauf umsonst gewesen sein. Bei der digitalen Messwertverarbeitung hat man nachträglich die Freiheit, (fast) beliebige Filterungen so vorzunehmen, dass das Ergebnis optimal wird. Dies setzt natürlich voraus, dass das Messsignal ohne oder mit vernachlässigbarer analoger Vorbehandlung abgespeichert wurde. Der zweite Nachteil des RC-Filters, der sich ebenfalls durch digitale Verfahren vermeiden lässt, liegt in der fast undefinierbaren Verschiebung des Maximums einer symmetrischen Linie (d. h. der Linienlage) begründet.

Mit digitalen Filtern lassen sich nicht nur die angeführten prinzipiellen Probleme umgehen, man kann auch bemerkenswerte quantitative Verbesserungen erzielen, wie z. B. in (Ziegler 1981) dargelegt ist.

In der vorliegenden Arbeit geht es darum, digitale Filter zu entwerfen, die

(1) gute Signal-Rausch-Eigenschaften aufweisen,
(2) bezüglich ihrer Rauschunterdrückung variierbar sind,
(3) leicht programmiert werden können und
(4) ein rechenzeiteffizientes Berechnungsverfahren zulassen.
Mit Hilfe der Least-Square-Approximation ist es möglich, ein allgemeines Verfahren zur Gewinnung rauschvermindernder Digitalfilter, insbesondere Glättungsfilter, Differenziatoren und Auflösungsverbesserer anzugeben. Durch die Anwendung orthogonaler Polynome (Hahnpolynome) ist es gelungen, eine explizite und damit benutzerfreundliche Darstellung eines besonders für die Spektrometrie geeigneten Glättungsfiltertyps zu gewinnen. Die bekannten Savitzky-Golay-Glättungsfilter (Savitzky/Golay 1964, Steinier et al. 1972, Madden 1978, Ernst 1966, Willson/Edwards 1976, Bromba/Ziegler 1981) und die finiten Tiefpässe mit maximal flachem Frequenzgang (Herrmann 1971, Bromba/Ziegler 1980) erweisen sich als Spezial- bzw. Grenzfälle dieses Filtertyps. Weiterhin wurden für die "einfachsten" dieser Glättungsfilter Rekursivdarstellungen (Bromba/Ziegler 1979) entwickelt, die bei größeren Rauschunterdrückungen eine erhebliche Rechenzeitersparnis erlauben und damit auch der Forderung (4) Genüge leisten.

Die Arbeit ist hauptsächlich in drei Teilbereiche aufgegliedert. In Abschnitt 2 wird die Theorie der Rekursivdarstellungen finiter Digitalfilter auf der in (Bromba 1978, Bromba/Ziegler 1979) entwickelten Grundlage vertieft und erweitert. Die im dritten Abschnitt dargelegte Theorie der Least-Squares-Digitalfilter ist eine Verallgemeinerung des in (Bromba 1978) beschriebenen Optimierungsverfahrens für beliebige diskrete Faltungsoperationen und beliebige Orthogonalsysteme. Hierbei konnten besondere Fortschritte durch die Nutzbarmachung der Hahn- und Krawtchoukpolynome erzielt werden. Im vierten Abschnitt geht es schließlich um die Anwendung der vorgeschlagenen Hahnapproximation für digitale Filter zur Glättung spektrometrischer Signale (Spektren). Hier werden einige Beurteilungskriterien entwickelt, die einen Vergleich der verschiedenen Glättungsfilter mit polynomialer Filterfunktion erlauben.

Die behandelten Glättungsfilter lassen sich auch in anderen Bereichen (Statistik, Medizin, Numerische Mathematik, Chemie usw.) gewinnbringend anwenden (Borgan 1979, Vasseur et al. 1979, Greville 1966, Greville 1974).

1 Definitionen

1.1 Einführung

In den folgenden Abschnitten soll der Leser mit der Schreibweise, die dieser Arbeit zugrunde liegt und den wichtigsten mathematischen Hilfsmitteln vertraut gemacht werden.

Die Schreibweise ist durchweg der modernen Analysis (einschließlich Funktionalanalysis) entlehnt (z. B. Sawyer 1978, Blatter 1977) und besitzt den Vorteil, einfach und eindeutig zu sein. Mathematisch interessierte Leser mögen tiefergehende Hintergrundinformationen der einschlägigen Literatur entnehmen (Fuchssteiner/Laugwitz 1974, Heuser 1975, Kreyszig 1978, Luenberger 1969, Zygmund 1977).

Der sonst in der Theorie der digitalen Filter dominierende Gebrauch der z-Transformation (Rabiner/Gold 1975, Oppenheim/Schafer 1975, Stearns 1975, Robinson/Silva 1978, Antoniou 1979, Schüssler 1973) wurde in der vorliegenden Arbeit durch die Operatorschreibweise ersetzt.

Die Begriffe "Funktion" und "Vektor" werden abwechselnd für ein und dasselbe mathematische Objekt gebraucht.

Zahlreiche Sätze lassen sich unter Benutzung vorhandener Formeln durch einfaches Nachrechnen beweisen. In solchen Fällen wurde der Beweis nicht explizit hingeschrieben.

Im Text nicht definierte oder erklärte Symbole sind - soweit man sie nicht als allgemein bekannt voraussetzen kann - in der Symbolliste im Anhang zusammengestellt.

1.2 Räume

Wir betrachten in dieser Arbeit Messwertfolgen, die sich idealisiert als beidseitig unendlich ausgedehnte Funktionen f mit diskretem Definitions- und kontinuierlichem Wertebereich, wie man sie z. B.  durch Abtastung einer zeitlich veränderlichen Messgröße erhält, darstellen lassen. Den Vektorraum (Fuchssteiner/Laugwitz 1974 S14) dieser Funktionen nennen wir ℓ.
 
Definition 1.2.1
ℓ ≡ { f | f: ℤ → ℝ}
"diskrete Funktionen"
(1)

Für den Wert von  f ∈ ℓ an der Stelle k schreiben wir f [k], wobei die eckigen Klammern ein Hinweis auf den diskreten Charakter von f sein mögen.

Der Raum ℓ ist im allgemeinen zu "groß", um ein sinnvolles Arbeiten zu gestatten. Mit zusätzlichen, durch die Praxis nahegelegten Einschränkungen, erhalten wir die Räume:
 

Definition 1.2.2
Wℓ ≡ { f ∈ ℓ | f[n] = 0 falls |n| > N ∈ ℕ01}
"finite Funktionen"
(2)
ℓ11
 ≡ {f ∈ ℓ | 
 
∑
k∈ℤ
|f[k]| < ∞}
"absolutsummierbare Funktionen"
(3)
 ℓ21
 ≡ {f ∈ ℓ |
 
∑
k∈ℤ
(f[k])² < ∞}
"quadratsummierbare Funktionen"
(4)
 ℓ∞1
 ≡ {f ∈ ℓ | 
 
  
sup
 |f[k]| < ∞ }
k∈ℤ  
"beschränkte Funktionen"
(5)

Zur Vereinfachung der Schreibweise haben wir bereits von der folgenden Vereinbarung Gebrauch gemacht, die (wie alle Konventionen) der gesamten Arbeit zugrunde liegt:
 

Konvention 1.2.1
Sei ⊡ ∈ {∑, ∫, Λ, inf, sup, min, max, esssup}, 
dann gelte für lateinische Kleinbuchstaben, zB n,
 
∞
⊡
  ≡ 
⊡
  ≡ 
⊡
n
 n ∈ ℤ
n = -∞
 
(7)
und für griechische Buchstaben, zB ω,
 
⊡
  ≡ 
⊡
ω
 ω∈]-π,π]
 
(8)
Konvention 1.2.2
Das Symbol N ist der Dimension des Raums Wℓ vorbehalten gemäß
 
dimension(Wℓ) = 2N+1
  
(8)

und wird nur in Zweifelsfällen als Index mitgeführt: Wℓ ≡ WNℓ.

Soll eine diskrete Funktion f ∈ ℓ auch komplexe Werte annehmen dürfen, das heißt: f: ℤ → ℂ, schreiben wir f ∈ ℓℂ, ℓ1ℂ usw.
Für die bisher betrachteten Räume gilt:
 

Wℓ ⊂ ℓ1 ⊂ ℓ2 ⊂ ℓ∞ ⊂ ℓ .
  
(9)
Definition 1.2.3
Vℓ2 ≡ { f ∈ ℓ2 | f[n] = 0 falls n ungerade}
  
(10)

Die Bedeutung von Vℓ2 wird im Zusammenhang mit der Hochpass-Bandpass-Transformation klar (siehe 1.6).
Den Raum der bei der Fouriertransformation (1.3) auftauchenden Lebesque-quadratintegrierbaren Funktionen nennen wir wie üblich ℒ2:
 
Definition 1.2.4
ℒ21
 ≡ {f: ]-π,π] → ℂ | 
 
∫
ω
|f(ω)|² dω < ∞}
 
(11)
ℒ2'
 ≡ {f ∈ ℒ21| 
 
Λ
ω
 f(ω) = f*(-ω)}
(12)

Der Stern (*) in (12) bedeutet Komplexkonjugation. ℒ2' ist ein abgeschlossener Unterraum von ℒ2.
 
Konvention 1.2.3
In der Regel werden wir Funktionen (Definitionen 1.2.1 bis 1.2.4) durch fette lateinische Kleinbuchstaben (a, b, c,,, f, g, h,,,), Operatoren (Abbildungen zwischen Vektorräumen) durch fette lateinische Grossbuchstaben (A, B, C,,,) und Skalare sowie Funktionale (Abbildungen von einem oder mehreren Vektorräumen in ℝ oder ℂ) durch griechische Kleinbuchstaben (α, β, γ, ...) beschrieben. Ausnahmen: j, k, l, m, n und K, L, M, N sind ganze Zahlen, i ist die imaginäre Einheit.

1.3 Fouriertransformation

Definition 1.3.1
Die Fouriertransformierte ℱ f einer Funktion f ∈ ℓ2ℂ ist definiert durch
 
Λ
ω
ℱ f(ω)
 ≡ 
 
∑
n
f[n] exp(-iωn)
 
(1)

Die Fouriertransformation ℱ ist eine lineare isometrische isomorphe Abbildung zwischen ℓ2 und ℒ2' bzw ℓ2ℂ und ℒ2:

ℱ ℓ2 = ℒ2'
  
(2)
ℱ ℓ2ℂ = ℒ2
(3)
Insbesondere ist ℱ f 2π-periodisch und lässt sich als Fourierreihe mit den Koeffizienten f[n], n ∈ ℤ, auffassen. Man beachte, dass Fourierreihen im allgemeinen nicht punktweise, sondern nur bezüglich der ℒ2-Norm ||| ||| (Definition 1.4.2) konvergieren.
Die Umkehrabbildung ℱ -1 (inverse Fouriertransformation) hat die Form
 
Definition 1.3.2
f∈ℒ2
Λ
f∈ℒ2
n
Λ
n
ℱ -1f[n]
 ≡  (2π)-11
 
∫
ω
f(ω) exp(iωn) dω
 
(4)

Die Beschränkung auf Funktionen f ∈ ℒ2' ⊂ ℒ2 stellt nach (2) sicher, dass ℱ -1 f immer reell ist.
Die besondere Bedeutung der Fouriertransformation liegt in der Eigenschaft begründet, Faltungsoperationen in anschaulichere Multiplikationsoperationen umzuwandeln (Satz 1.6.1).

1.4 Funktionale

Funktionale sind Abbildungen, die einer oder mehreren Funktionen eine reelle oder komplexe Zahl zuordnen. Die wichtigsten Funktionale, mit denen wir es zu tun haben werden, sind Normen und Skalarprodukte. So lassen sich die Räume aus Definition 1.2.2 bis 1.2.4 mit Hilfe von geeigneten Normen zu Banachräumen, d. h. vollständigen normierten Vektorräumen machen. Die Vektorräume Wℓ, ℓ2 , Vℓ2 , ℒ2 bzw. ℒ2' sind zusammen mit den folgenden Skalarprodukten sogar Hilberträume:
 
Definition 1.4.1
ℓ~ sei eine geeignete Teilmenge von ℓ2ℂ und H sei ein linearer positiv definiter hermitescher Operator auf dem zugehörigen Hilbertraum
f∈ℒ2
Λ
f,g∈ℓ~
<f,g>
 ≡
 
∑
n
f[n]g*[n]
 
(1)
f,g∈ℓ~
Λ
f,g∈ℓ~
H<f,g>H ≡ <f,Hg>
 
(2)
f∈ℒ2
Λ
f,g∈ℒ2
(f,g) ≡ (2π)-11
 
∫
ω
f(ω) g*(ω) dω
 
(3)

Achtung: das Skalarprodukt <,>, (1), wird manchmal (wenn ausdrücklich vermerkt!) auch als allgemeines, beliebig zu definierendes Skalarprodukt verstanden.
 
Definition 1.4.2
ℓ~ sei eine geeignete Teilmenge von ℓ2ℂ und H sei ein linear positiv definiter hermitescher Operator auf dem zugehörigen Hilbertraum
f∈ℓ1
Λ
f∈ℓ1
1||f||1
 ≡
 
∑
n
|f[n]|
 
(4)
f∈ℓ2ℂ
Λ
f∈ℓ2ℂ
||f||22 ≡ ||f||2 ≡ <f,f>
(5)
f∈ℓ~
Λ
f∈ℓ~
||f||H2≡ <f,f>H
 
(6)
f∈ℓ∞ℂ
Λ
f∈ℓ∞ℂ
<f,g> ≡
n
sup
n
|f[n]|
 
(7)
f,g∈ℓ~
Λ
f,g∈ℓ~
|||f|||2 ≡ (f,f)
(8)

Die Isometrie der Fouriertransformation kommt in den Beziehungen

f,g∈ℓ2ℂ
Λ
f,g∈ℓ2ℂ
<f,g> = (ℱ f,ℱ g)
 
(9)
beziehungsweise
f,g∈ℒ2
Λ
f,g∈ℒ2
(f,g) = <ℱ -1f,ℱ -1g>
 
(10)

die natürlich auch für f, g ∈ ℓ2 bzw. ℒ2' gelten, zum Ausdruck. (9) wird in der Theorie der Fourierreihen auch Parsevalgleichung genannt.

Zur Kennzeichnung gewisser Signaleigenschaften bedienen wir uns der Momente µm (m-tes Moment):
 
Definition 1.4.3
Sei m ∈ ℕ0
µm: 
{
Wℓ → ℝ
f ↦
 ∑ nm f[n]
 
n
 m-tes Moment
(11)

Die Beschränkung auf finite Funktionen Wℓ (Definition 1.6.2) in Definition 1.4.3 ist häufig zu restriktiv, sie dient hier lediglich der Existenzsicherung (Beschränktheit). Momente sind lineare Funktionale, deren Werte auf einfache Weise aus der Fouriertransformierten ℱ f durch Differenziation herzuleiten sind (ℱ f(m)(ω) bezeichne die m-te Ableitung von ℱ f an der Stelle ω):
 
Satz 1.4.1
Für alle m ∈ ℕ0 und f ∈ Wℓ gilt
n
∑ cos(ωn) nm f[n] = im((ℱ f)(m)(ω)) + (ℱ f)(m)(-ω))/2
n
 
(12)
Insbesondere gilt (ω = 0)
µm(f) = im(ℱ f)(m)(0)
  
(13)

Ist f ∈ Wℓ gar symmetrisch (Definition 1.6.2), vereinfacht sich (12) zu

n
∑ cos(ωn) nm f[n] = im(ℱ f)(m)(ω)
n
 
(14)

1.5 Operatoren

Operatoren sind Abbildungen zwischen Vektorräumen. Die Fouriertransformation ist ein bereits eingeführtes Beispiel. Die folgenden linearen Operatoren definieren wir zunächst auf ℓℂ. Dabei ist zu beachten, dass die speziellen Eigenschaften der auf Teilmenge von ℓℂ vorzunehmenden Einschränkungen dieser Operatoren von der Struktur des Raumes (Metrik) abhängen.
 
Definition 1.5.1
Sei f ∈ ℓℂ
I : f ↦ f
Einheitsoperator
(1)
Rρ :
 
n
Λ Rρf[n] ≡ ρn f[n] ρ ∈ ℂ\{0}
 
n
(2)
S :
 
n
Λ Sf[n] ≡ f[-n]
 
n
Spiegelungsoperator
(3)
T :
 
n
Λ Tf[n] ≡ f[n-1]
 
n
Translationsoperator
(4)
U : U ≡ R-11
(5)
V :
Vf[n] ≡
{
f[n/2] falls n/2 ∈ ℤ
0 sonst
(6)
V-1 :
 
n
Λ V-1f[n] ≡ f[2n]
 
n
(7)
W :
Wf[n] ≡
{
f[n] falls |n| ≤ N
0 sonst
(8)

Die Wirkung dieser Operatoren im "Frequenzraum" ℒ2' fassen wir, soweit sie sich anschaulich beschreiben lässt, zusammen in
 
Satz 1.5.1
Für alle f ∈ ℓ2 gilt
 
ω
Λ ℱ Sf(ω) = ℱ f(ω)* = ℱ f(-ω)
 
ω
 
(9)
 
ω
Λ ℱ Tf(ω) = exp(-iω) ℱ f(ω)
 
ω
(10)
 
ω
Λ ℱ Uf(ω) = ℱ f(ω + π) = ℱ f(ω - π)
 
ω
(11)
 
ω
Λ ℱ Vf(ω) = ℱ f(2ω)
 
ω
(12)

Die Operatoren S, T, U, V und W sind auf ℓ2beschränkt und damit stetig. Man erhält

||S|| = ||T|| = ||U|| = ||V|| = ||W|| = 1 
  
(13)
wobei || || die übliche Operatornorm ist, z. B.:
 
f ∈ ℓ2
n||S||n ≡ sup ||Sf||n/||f||n n ∈ {1, 2, ∞} .
 
f ∈ ℓ2
 
(14)
Insbesondere gilt für alle f, g ∈ ℓ2:
<Sf,Sg> = <Tf,Tg> = <Uf,Ug> = <Vf,Vg> = <f,g> .
  
(15)
Man beachte, dass V : ℓ2 → Vℓ2 zwar injektiv aber nicht bijektiv und damit nicht invertierbar ist. Dagegen kann V :  ℓ2 → Vℓ2  invertiert werden und wir erhalten mit V-1: Vℓ2 → ℓ2
VV-1 = IVℓ2 :  Vℓ2 → Vℓ2  und V-1V = Iℓ2 : ℓ2 → ℓ2 .
  
(16)
Die Transposition eines Operators H auf dem Hilbertraum ℋ ≔ (ℓ2,<,>) (<,> sei in (17) ein beliebiges Skalarprodukt) kennzeichnen wir mit einem Stern:
 
f,g∈ℋ
Λ
 <Hf,g> = <f,H*g>)
 
f,g∈ℋ
 
(17)
Satz 1.5.2
S, T, U, V, W (Definition 1.5.1) seien Operatoren auf dem Hilbertraum (ℓ2,<,>), dann gilt
S* = S-1 = S
  
(18)
T* = T-1
 (T-1f[n] = f[n+1])
(19)
U* = U-1 = U
(20)
V* = V-1
 (V-1f[n] = f[2n])
(21)

W ist ein Projektor, W: ℓ2 → Wℓ2  (vgl Definition 1.5.2).

Mit den folgenden Vertauschungsrelationen lassen sich viele Aussagen über Digitalfilter schnell und problemlos beweisen.
 
Satz 1.5.3
Für alle ρ ∈ ℂ\{0} und N ∈ ℕ0 gilt auf ℓℂ
RρT = ρTRρ
  
(23)
UT = -TU
(24)
ST = T-1S
(25)
VT = T2V
(26)
VWN = W2NV
(27)
UV = V
(28)
VRρ = R√ρV
(29)
RρU = URρ
(30)

Von besonderer Bedeutung sind in dieser Arbeit die sogenannten Projektionsoperatoren (z. B. mit P bezeichnet). Sie bilden einen Hilbertraum ℋ  in einen Unterraum von ℋ  ab, den wir der Einfachheit halber Pℋ  nennen.
 
Definition 1.5.2
Sei ℋ ein Hilbertraum, z. B. ℋ ≔ (ℓ2,<,>). Dann heisst P Projektionsoperator oder kurz Projektor, wenn gilt:
P ist linear, P* = P und P2 = P
  
(31)

Ein Projektor hat nur die Eigenwerte 1 und 0. Jedes f ∈ Pℋ  ist Eigenvektor zum Eigenwert 1; jedes  g ∈ (Pℋ )⊥ ist Eigenvektor zum Eigenwert 0. (Pℋ )⊥  stellt das orthogonale Komplement von Pℋ dar. Man beachte, dass die Definition hier ganz besonders vom gewählten Hilbertraum ℋ abhängt. Es geht nicht nur die Grundmenge (z. B. ℓ2, ℓ2ℂ, Wℓ), sondern durch die Forderung P* = P auch das Skalarprodukt (zB <,> oder <,>H) ein.

1.6 Digitalfilter

Definition 1.6.1
Ein Operator A heißt Digitalfilter, wenn es eine Funktion a ∈ ℓ, genannt Filterfunktion, gibt, so dass A darstellbar ist als
 
n
A =
∑
 a[n]Tn]
 
n
 
(1)

Ein Digitalfilter ist ein (diskreter) Faltungsoperator, denn es gilt im Fall der Konvergenz (f ∈ ℓ)

k
Λ
k
Af[k] = 
 
∑
n
a[n]f[k-n]
 
(2)
Die wichtigsten allgemeinen Eigenschaften eines Digitalfilters führen wir in Satz 1.6.1 auf. "●" beschreibt die punktweise Multiplikation zweier Funktionen.
 
Satz 1.6.1
(  i) Ein Digitalfilter ist linear  
( ii) Ein Digitalfilter ist translationsinvariant: 
AT = TA
(3)
(iii) Zwei Digitalfilter A und B sind miteinander vertauschbar:
AB = BA
(4)
(iv) Ist A ein Digitalfilter auf ℓ2 mit Filterfunktion a, dann ist ℱAℱ -1 auf ℒ2' ein Multiplikationsoperator:
ℱAℱ -1 :
{
ℒ2'
→
 ℒ2'
f
↦
 ℱa ● f
(5)

Der folgende Satz gibt an, wie sich aus der Filterfunktion a die Beschränktheit eines Digitalfilters auf ℓ1 , ℓ2 bzw. ℓ∞ ermitteln lässt.
 
Satz 1.6.2
Sei A ein Digitalfilter auf ℓ1 , ℓ2 bzw. ℓ∞ , dann gilt
||A||1 = ||a||1
  
(6)
f ∈ ℓ2
n||A||1≡ esssup |ℱa(ω)| ≤ ||a||11
 
ω
(7)
||A||∞ = ||a||1
"Stabilität"
(8)

Das "wesentliche Supremum" esssup ist z. B. in (Fuchssteiner/Laugwitz 1974) erklärt. Es entspricht bis auf die Eigenschaft, dass Abweichungen einer Funktion auf einer Menge vom Maß null keinen Einfluss ausüben, genau dem Supremum. Aus Satz 1.6.2 geht unter anderem hervor, dass die Bedingung für Beschränktheit auf ℓ2 schwächer ist als auf ℓ1oder ℓ∞. So ist z. B. der ideale Tiefpass (Hamming 1977 p98) auf ℓ2 beschränkt, auf ℓ1 und ℓ∞ hingegen unbeschränkt, was aber keine praktischen Auswirkungen hat, da dieses Filter nicht realisierbar ist.

Bleibt ein beschränktes Signal f ∈  ℓ∞ beschränkt (||Af||∞ ≤ ||a||1||f||∞), so sagt man auch, das Digitalfilter A sei "stabil".

Offensichtlich lassen sich alle Eigenschaften eines Digitalfilters aus der zugehörigen Filterfunktion ableiten. Um zu einer weiteren Differenzierung digitaler Filter zu kommen, definieren wir zunächst einige Funktionenklassen besonderer Wichtigkeit.
 
Definition 1.6.2
Sei  f ∈ ℓ, dann heißt f
(  i) finit, wenn es ein N gibt, so dass f ∈ Wℓ  
(9)
( ii) symmetrisch, wenn Sf = f
(10)
(iii) antisymmetrisch, wenn Sf = -f
(11)
(iv) kausal, wenn f[n] = 0 für alle n < 0
(12)

Anders als im Kontinuierlichen gibt es im Diskreten keine Probleme mit der Deltafunktion.
 
Definition 1.6.3
Die (diskrete) Deltafunktion d ∈ W0ℓ ist durch
d : n ↦
{
1 falls n = 0
0 sonst
 
(13)
gegeben.

Die Deltafunktion d besitzt wie üblich die Eigenschaften

 
f∈ℓ2
Λ
 <d,f> = f[0]
 
f∈ℓ2
 
(14)
und
 
ω
Λ
 ℱ d(ω) = 1
 
ω
 
(15)
Satz 1.6.3
Sei A ein Digitalfilter mit Filterfunktion a, dann gilt
 
Ad = a
  
(16)

Bei Anwendung eines Digitalfilters auf die Deltafunktion tritt als Ergebnis also die Filterfunktion hervor, womit das Digitalfilter sein gesamtes Innenleben offenbart. Wir werden deshalb häufig Ad anstelle von a als Filterfunktion bezeichnen, um zusätzliche Definitionen zu ersparen.
 
Definition 1.6.4
Ein Digitalfilter heißt finit, symmetrisch, antisymmetrisch bzw. kausal, wenn die Filterfunktion die entsprechenden Eigenschaften aufweist (Definition 1.6.2). 
Definition 1.6.5
Die Fouriertransformierte der Filterfunktion eines Digitalfilters auf ℓ1 , ℓ2 oder ℓ∞ heißt Frequenzgang.

Finite Digitalfilter haben eine Reihe von bedeutsamen Eigenschaften:
(  i) Finite Digitalfilter sind immer beschränkt.
( ii) Finite Digitalfilter sind praktisch realisierbar.
(iii)
 Nur finite Digitalfilter lassen sich als symmetrische oder antisymmetrische Digitalfilter realisieren.
Von "physikalisch realisierbar" oder kausal spricht man, wenn zur Berechnung eines gefilterten Wertes Af[k] in (2) nur Signalwerte f[n] aus der Vergangenheit (n < k) und Gegenwart (n = k) berücksichtigt werden müssen.
 
Satz 1.6.4
Sei A: (ℓ2 ,<,>) → (ℓ2 ,<,>) ein Digitalfilter, dann gilt:
ω
A ist invertierbar ⇔  Λ ℱ a(ω) ≠ 0
ω
 
(17)
A ist symmetrisch ⇔ A* = A ⇔ SA = AS
(18)
A ist antisymmetrisch ⇔ A* = -A ⇔ SA = -AS
(19)
Falls die Momente existieren:
∞
Λ
m=0
mµm(Af) =
m
∑
n=0
µm(Ad) µm-n(f)m
(20)
Die Rauschverstärkung für weißes Rauschen ist ||Ad|| 
(21)

Zum Beweis von (21) sowie zur Erläuterung der Begriffe "Rauschverstärkung"  und "weißes Rauschen" siehe Abschnitt 4.3.

Häufig ist es sinnvoll, aus Digitalfiltern mit bekannter Filterfunktion a ≔ Ad durch Transformation Digitalfilter mit neuen Eigenschaften zu gewinnen. Wir zählen hier einige elementare Transformationen auf.

Stabilisation:  a ↦ Rρa-1 bzw A ↦ RρARρ-1
(22)
Spiegelung:  a ↦ Sa-1 bzw A ↦ SAS-1
(23)
Translation: a ↦ TKa bzw A ↦ TKA
(24)
Hochpass <-> Tiefpass - Tranformation: a ↦ Ua-1 bzw A ↦ UAU-1
(25)
Hochpass -> Bandpass - Transformation: a ↦ Va bzw
n
A ↦  ∑ a[n]T2n
 
n
(26)
Realisierbarmachung: a ↦ Wa
(27)
Eine Stabilisation kann bei rekursiv dargestellten Digitalfiltern vonnöten sein (2.5). Eine Translation a ↦ TNa macht aus einem finiten Digitalfilter mit Filterfunktion a ∈ Wℓ ein kausales, wie man es zur "Echtzeit"-Filterung benötigt.
Wie alle linearen Operatoren lässt sich ein Digitalfilter auf ℓ2 als unendlichdimensionale Matrix darstellen, die auf unendlichdimensionale Vektoren (diskrete Funktionen bzw. Signale) "wirkt". Ein Digitalfilter in Matrixschreibweise zeichnet sich dadurch aus, dass sämtliche Werte einer Diagonalen gleich sind. In der Hauptdiagonale steht der Wert der Filterfunktion an der Stelle null und in der k-ten Nebendiagonalen entsprechend der k-te Wert der Filterfunktion.
Eine "Komposition" (Hintereinanderschaltung) von linearen Operatoren ist in dieser Schreibweise einfach durch die Matrizenmultiplikation erklärt.

2 Rekursivdarstellung Finiter Digitalfilter

2.1 Einführung

In (Bromba/Ziegler 1979) wird ein Verfahren beschrieben, mit dem ein finites Digitalfilter A, dessen Filterfunktion Ad im Intervall -N,...,N ein Polynom ist, in die Form
A = A' + A''A
  
(1)
gebracht werden kann, so dass A' und A'' Digitalfilter sind, deren Filterfunktionen A'd und A''d im Vergleich zur Filterfunktion Ad nur wenige von null verschiedene Terme enthalten. Der Vorteil einer solchen Darstellung, nämlich eine unter Umständen erheblich reduzierte Zahl der Rechenoperationen, wird deutlich, wenn wir (1) auf ein Signal f anwenden und den k-ten Wert betrachten:
g[k] ≔ Af[k] = 
 
m
 
∑
 
m
A'd[m] f[k-m] +
 
n
 
∑
 
n
A''d[n]g[k-n] .
 
(2)
Die Berechnung eines gefilterten Wertes g[k] benutzt also nicht nur ungefilterte Werte f[k-m] wie dies in der direkten Darstellung
Af[k] =
 
m
 
∑
 
m
Ad[m]f[k-m]
 
(3)
ausschließlich der Fall ist, sondern greift auch auf bereits gefilterte Werte g[k-n] zurück.
Natürlich kann eine solche Rekursion nur dann funktionieren, wenn
∞
Λ
n=0
A''d[-n] = 0
 
(4)
Das kontinuierliche Analogon zu (1) bzw. (2) wäre z. B. ein gegengekoppelter Verstärker oder ein aktives Analogfilter. Die operative Form (1) gibt zwar nicht den Gang einer rekursiven Berechnung (Schüssler 1973 S12) wieder - aus (1) wäre genauso gut eine iterative Berechnungsvorschrift
gn = A'f + A''gn-1
  
(5)
ableitbar -, sie erweist sich jedoch bei der Berechnung von A' und A'' als äußerst nützlich.
 
Definition 2.1.1
Wir nennen (1) eine Rekursivdarstellung des Digitalfilters A, wenn die Digitalfilter A' und A'' finit und ungleich dem Nulloperator sind und wenn A''d zusätzlich die Forderung (4) erfüllt.

Natürlich hat jedes finite Digitalfilter beliebig viele Rekursivdarstellungen. (Das sieht man, wenn man z. B. in (8) K durch M, M ∈ ℕ, ersetzt). Die Theorie der "rekursiven Digitalfilter" (Schüssler 1973 S35) lehrt uns jedoch, dass nur bei Digitalfiltern, deren Filterfunktion bereichsweise aus exponentiell gewichteten Polynomen besteht, eine Reduzierung des Rechenaufwands gegenüber der direkten Berechnung (3) und damit eine sinnvolle Rekursivdarstellung erwartet werden darf. Selbst wenn diese Voraussetzung erfüllt ist, hat man noch die Auswahl zwischen mehreren Rekursivdarstellungen. Wir wollen hier stets diejenige mit dem kleinsten Rechenaufwand betrachten.

Die Entwicklung verschiedener Rekursivdarstellungen ist unter anderem in (Blum 1957, Morrison 1967, Vasseur et al. 1979, Nesline/Zarchan 1979) beschrieben. Es erübrigt sich, ein allgemeines Verfahren anzugeben, da wir, wie sich zeigen wird, alle auftretenden Möglichkeiten durch entsprechende Transformationen auf den Fall ungewichteter Polynome zurückführen können.

Zunächst werfen wir noch einmal einen zusammenfassenden Blick auf die in (Bromba/Ziegler 1979) benutzte Methode. Ausgangspunkt ist ein Digitalfilter A, dessen Filterfunktion Ad in einem wenigstens einseitig begrenzten Bereich durch ein Polynom K-ten Grades dargestellt werden kann. Außerhalb dieses Bereichs mögen die Werte von Ad verschwinden. Wenden wir auf diese Filterfunktion das Digitalfilter

∆ ≔ I - T
  
(6)
("Differenzenoperator") (K+1)-mal an, so verschwindet die entstehende Funktion ∆K+1Ad überall außer im Bereich der "Sprungstelle(n)" von Ad. - (Der Differenzenoperator ist hier zur Vereinfachung etwas anders als in (Bromba/Ziegler 1979) definiert.) - Diese Tatsache führt dazu, dass die Identität
A = ∆K+1A + (I - ∆K+1)A
  
(7)
für die betrachteten Digitalfilter die günstigeste Rekursivdarstellung liefert, wobei dann
A' ≔ ∆K+1A
  
(8)
und
A'' ≔ I - ∆K+1
  
(9)
Offenbar ist der verbleibende Rechenaufwand nicht mehr von der "Breite" N der polynomialen Filterfunktion, sondern nur noch vom Polynomgrad K und der Zahl der Sprungstellen von Ad abhängig.

Eine wesentliche Vorraussetzung für die Implementierung von Rekursivdarstellungen der Form (7) ist exakte Berechenbarkeit, da beliebig kleine, durch Rundungs-, Überlauf- und sonstige Fehler auftretende Rechenungenauigkeiten zur Instabilität des Algorithmus führen können. Diese Instabilität äußert sich darin, dass das Ausgangssignal über alle Grenzen wächst, obwohl das Eingangssignal beschränkt bleibt. Exakte Berechenbarkeit ist im Fall (7) durch die Anwendung von Ganzzahlenarithmetik erreichbar. Eine weitere Diskussion findet in Abschnitt 2.5 statt, siehe auch (Lynn 1978, Kurshan/Gopinath 1975, Gopinath/Kurshan 1975, Kurshan/Odlyzko 1980).
 
Beispiel 2.1.1: Mittelwertfilter
Die Filterfunktionen des Mittelwertfilters
A ≔
1
2N+1
 
N
 
∑
 
n=-N
Tnn
 
(10)
ist in Wℓ ein Polynom nullten Grades. Wir erhalten deshalb mit
A' ≔ ∆A = (I - T)A = (T-N - TN+1)/(2N+1)
  
(11)
und
A'' ≔ I - ∆ = T
  
(12)
die Rekursivdarstellung
A = (T-N - TN+1)/(2N+1) + TA
  
(13)
bzw. mit g ≔ Af
g[k] = (f[k+N] - f[k-N-1])/(2N+1) + g[k-1]
  
(14)
Diese Darstellung wird durch Multiplikation mit 2N+1 für alle ganzzahligen f : ℤ → ℤ exakt berechenbar:
h[k] = f[k+N] - f[k-N-1] + h[k-1]
  
(15)
wobei
h ≔ (2N+1)g
  
(16)

2.2 Polynomfilter

Definition 2.2.1
Ein finites Digitalfilter heißt Polynomfilter K-ten Grades, wenn sich die Filterfunktion stückweise aus L ∈ ℕ Polynomen maximal K-ten Grades zusammensetzt und die Zahl der von null verschiedenen Werte der Filterfunktion größer oder gleich (K+1)(L+2) ist. 

(K+1)(L+2) ist gerade die maximale Anzahl der von null verschiedenen Koeffizienten von A'd (8) und A''d (9) in einer zugehörigen Rekursivdarstellung (7). Daraus folgt, dass die Rekursivdarstellung eines Polynomfilters nicht mehr Rechenaufwand erfordert als die nichtrekursive Implementierung. Ist die Zahl der Schnittstellen (L+1) genau zwei und liegen diese zusätzlich bei ±N so sprechen wir von einem einfachen Polynomfilter, da die Filterfunktion in diesem Fall durch ein Polynom (L=1) in Wℓ vollständig erklärt ist.
 
Definition 2.2.2
Ein Polynomfilter AK K-ten Grades heißt einfach, wenn es ein N gibt, so dass die Filterfunktion AKd ∈ Wℓ im Bereich |n| ≤ N durch ein Polynom K-ten Grades darstellbar ist.

Wie bereits in 2.1 gezeigt, hat die Rekursivdarstellung eines Polynomfilters AM M-ten Grades zweckmäßigerweise die Form

AM = AM' + (I - (I - T)M+1)AM
  
(17)
(17) ist bis auf eine Normierung auf Ganzzahlen (Beispiel 2.1.1) exakt berechenbar.

Wir wollen nun untersuchen, wie sich wichtige Eigenschaften des Polynomfilters AM in der Rekursivdarstellung widerspiegeln. Da

AM'' ≔ I - (I - T)M+1
  
(18)
ausschließlich vom Polynomgrad M abhängt, konzentriert sich die Betrachtung im Wesentlichen auf den Zusammenhang zwischen AM und AM'. So äußern sich die Symmetrieeigenschaften von AM in folgender Weise:
 
Satz 2.2.1
Ein Polynomfilter M-ten Grades (AM) mit der Rekursivdarstellung (17) ist genau dann symmetrisch (α = 0) bzw. antisymmetrisch (α = 1), 
d.h.
AMS = (-1)αSAM ,
  
(19)
wenn
(-1)M+1T-M-1AM'S = (-1)αSAM'
  
(20)

Der Beweis benutzt die Sätze 1.5.3 und 1.6.1.
Aus Satz 2.2.1 folgt insbesondere, dass AM'd um den eventuell virtuellen (∉ ℤ) Punkt -(M+1)/2 symmetrisch bzw. antisymmetrisch ist:

k
Λ
k
(-1)M+1AM'd[k+M+1] = (-1)αAM'd[k]
 
(21)
Ist AM einfach und symmetrisch bzw. antisymmetrisch, kann M nur gerade bzw. ungereade sein:
M = 2K + α
  
(22)
und wir erhalten
 
Satz 2.2.2
Ein einfaches Polynomfilter M-ten Grades (AM) mit der Rekursivdarstellung (17) ist genau dann symmetrisch (M gerade) oder antisymmetrisch (M ungerade), wenn
 
-T-M-1AM'S=SAM'
  
(23)