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Entwurf digitaler Filter für spektrometrische Anwendungen

Manfred U. A. Bromba

Dem Fachbereich Naturwissenschaften I
der Universität-Gesamthochschule-Paderborn
zur Erlangung des akademischen Grades
"Dr. rer. nat" vorgelegte Dissertation

Paderborn 1981

Eingereicht: 14. Mai
Angenommen 20. Juli

Gutachter: Prof. Dr. H. Ziegler,  Prof. Dr. J. Schröter

Neu erfasste Version (Stand: 2010-02-07) - kann Übertragungsfehler enthalten!


Einleitung

1 Definition

1.1 Einführung
1.2 Räume
1.3 Fouriertransformation
1.4 Funktionale
1.5 Operatoren
1.6 Digitalfilter

2 Rekursivdarstellung finiter Digitalfilter

2.1 Einführung
2.2 Polynomfilter
2.3 Rechenregeln
2.4 Verallgemeinerung
2.5 Stabilität

3 Least-Squares-Digitalfilter

3.1 Einführung
3.2 Gramfilter
3.3 Hahnfilter
3.4 Krawtchoukfilter
3.5 Trigonometrische Filter
3.6 Weitere Filtertypen

4 Polynomfilter zur Glättung spektrometrischer Signale

4.1 Einführung
4.2 Struktur spektrometrischer Signale
4.3 Glättung spektrometrischer Signale
4.4 Gram- und Hahnglättungsfilter
4.5 Abgeleitete Glättungsfilter
4.6 Eigenschaften glättender Polynomfilter
4.7 Anwendungshinweise

Anhang

Formelsammlung
Literaturverzeichnis
Symbolliste
Stichwortverzeichnis

Einleitung

Die Digitaltechnik hat sich zu einem unentbehrlichen Hilfsmittel der physikalischen Messtechnik entwickelt. Zu den vorteilhaften Eigenschaften, die eine digitale Messwertverarbeitung gegenüber herkömmlichen Verfahren auszeichnen, gehören unter anderem:
(1) höhere Genauigkeit
(2) höhere Empfindlichkeit
(3) schnellere Verarbeitung
(4) bessere Reproduzierbarkeit
(5) bessere Archivierbarkeit
In der Spektrometrie liegt eine Messung zunächst als Kurvenverlauf vor, der z. B. die Abhängigkeit irgendeiner Emissions- oder Absorptionsgröße von der Energie beschreibt. Dieser Kurvenverlauf, der sich typischerweise aus mehr oder weniger vielen Gauß- und Lorentzlinien verschiedener Lage, Breite, und Amplitude zusammensetzt, bildet die Grundlage für die Interpretation des zu untersuchenden physikalischen Phänomens. Um zu einer physikalischen Auswertung der Messung zu kommen, muss eine Datenreduktion durchgeführt werden: aus der Vielzahl der gemessenen Wertepaare sind die relevanten Informationen wie Linienanzahl, Linienlagen, Linienbreiten, und Linienintensitäten (-amplituden) zu extrahieren. Unglücklicherweise ist allen spektroskopischen Messungen ein  unterschiedlich starker Rauschanteil überlagert; zusätzlich gibt es Auflösungsprobleme, wenn zwei Linien so dicht benachbart sind, dass sie visuell zu einer einzigen "verschmieren".

Das Rauschen lässt sich manchmal durch einfache RC-Tiefpässe vermindern, bei älteren Messverfahren war dies oft die einzige Methode. Einem analogen Filter haften jedoch zwei entscheidende Nachteile an: die Filterung kann nur "einmal" stattfinden, nämlich während der Messung (in statu nascendi). War die Zeitkonstante zu groß eingestellt, kann ein ganzer Messablauf umsonst gewesen sein. Bei der digitalen Messwertverarbeitung hat man nachträglich die Freiheit, (fast) beliebige Filterungen so vorzunehmen, dass das Ergebnis optimal wird. Dies setzt natürlich voraus, dass das Messsignal ohne oder mit vernachlässigbarer analoger Vorbehandlung abgespeichert wurde. Der zweite Nachteil des RC-Filters, der sich ebenfalls durch digitale Verfahren vermeiden lässt, liegt in der fast undefinierbaren Verschiebung des Maximums einer symmetrischen Linie (d. h. der Linienlage) begründet.

Mit digitalen Filtern lassen sich nicht nur die angeführten prinzipiellen Probleme umgehen, man kann auch bemerkenswerte quantitative Verbesserungen erzielen, wie z. B. in (Ziegler 1981) dargelegt ist.

In der vorliegenden Arbeit geht es darum, digitale Filter zu entwerfen, die

(1) gute Signal-Rausch-Eigenschaften aufweisen,
(2) bezüglich ihrer Rauschunterdrückung variierbar sind,
(3) leicht programmiert werden können und
(4) ein rechenzeiteffizientes Berechnungsverfahren zulassen.
Mit Hilfe der Least-Square-Approximation ist es möglich, ein allgemeines Verfahren zur Gewinnung rauschvermindernder Digitalfilter, insbesondere Glättungsfilter, Differenziatoren und Auflösungsverbesserer anzugeben. Durch die Anwendung orthogonaler Polynome (Hahnpolynome) ist es gelungen, eine explizite und damit benutzerfreundliche Darstellung eines besonders für die Spektrometrie geeigneten Glättungsfiltertyps zu gewinnen. Die bekannten Savitzky-Golay-Glättungsfilter (Savitzky/Golay 1964, Steinier et al. 1972, Madden 1978, Ernst 1966, Willson/Edwards 1976, Bromba/Ziegler 1981) und die finiten Tiefpässe mit maximal flachem Frequenzgang (Herrmann 1971, Bromba/Ziegler 1980) erweisen sich als Spezial- bzw. Grenzfälle dieses Filtertyps. Weiterhin wurden für die "einfachsten" dieser Glättungsfilter Rekursivdarstellungen (Bromba/Ziegler 1979) entwickelt, die bei größeren Rauschunterdrückungen eine erhebliche Rechenzeitersparnis erlauben und damit auch der Forderung (4) Genüge leisten.

Die Arbeit ist hauptsächlich in drei Teilbereiche aufgegliedert. In Abschnitt 2 wird die Theorie der Rekursivdarstellungen finiter Digitalfilter auf der in (Bromba 1978, Bromba/Ziegler 1979) entwickelten Grundlage vertieft und erweitert. Die im dritten Abschnitt dargelegte Theorie der Least-Squares-Digitalfilter ist eine Verallgemeinerung des in (Bromba 1978) beschriebenen Optimierungsverfahrens für beliebige diskrete Faltungsoperationen und beliebige Orthogonalsysteme. Hierbei konnten besondere Fortschritte durch die Nutzbarmachung der Hahn- und Krawtchoukpolynome erzielt werden. Im vierten Abschnitt geht es schließlich um die Anwendung der vorgeschlagenen Hahnapproximation für digitale Filter zur Glättung spektrometrischer Signale (Spektren). Hier werden einige Beurteilungskriterien entwickelt, die einen Vergleich der verschiedenen Glättungsfilter mit polynomialer Filterfunktion erlauben.

Die behandelten Glättungsfilter lassen sich auch in anderen Bereichen (Statistik, Medizin, Numerische Mathematik, Chemie usw.) gewinnbringend anwenden (Borgan 1979, Vasseur et al. 1979, Greville 1966, Greville 1974).

1 Definitionen

1.1 Einführung

In den folgenden Abschnitten soll der Leser mit der Schreibweise, die dieser Arbeit zugrunde liegt und den wichtigsten mathematischen Hilfsmitteln vertraut gemacht werden.

Die Schreibweise ist durchweg der modernen Analysis (einschließlich Funktionalanalysis) entlehnt (z. B. Sawyer 1978, Blatter 1977) und besitzt den Vorteil, einfach und eindeutig zu sein. Mathematisch interessierte Leser mögen tiefergehende Hintergrundinformationen der einschlägigen Literatur entnehmen (Fuchssteiner/Laugwitz 1974, Heuser 1975, Kreyszig 1978, Luenberger 1969, Zygmund 1977).

Der sonst in der Theorie der digitalen Filter dominierende Gebrauch der z-Transformation (Rabiner/Gold 1975, Oppenheim/Schafer 1975, Stearns 1975, Robinson/Silva 1978, Antoniou 1979, Schüssler 1973) wurde in der vorliegenden Arbeit durch die Operatorschreibweise ersetzt.

Die Begriffe "Funktion" und "Vektor" werden abwechselnd für ein und dasselbe mathematische Objekt gebraucht.

Zahlreiche Sätze lassen sich unter Benutzung vorhandener Formeln durch einfaches Nachrechnen beweisen. In solchen Fällen wurde der Beweis nicht explizit hingeschrieben.

Im Text nicht definierte oder erklärte Symbole sind - soweit man sie nicht als allgemein bekannt voraussetzen kann - in der Symbolliste im Anhang zusammengestellt.

1.2 Räume

Wir betrachten in dieser Arbeit Messwertfolgen, die sich idealisiert als beidseitig unendlich ausgedehnte Funktionen f mit diskretem Definitions- und kontinuierlichem Wertebereich, wie man sie z. B.  durch Abtastung einer zeitlich veränderlichen Messgröße erhält, darstellen lassen. Den Vektorraum (Fuchssteiner/Laugwitz 1974 S14) dieser Funktionen nennen wir ℓ.
 
Definition 1.2.1
ℓ ≡ { f | f: ℤ → ℝ}
"diskrete Funktionen"
(1)

Für den Wert von  f ∈ ℓ an der Stelle k schreiben wir f [k], wobei die eckigen Klammern ein Hinweis auf den diskreten Charakter von f sein mögen.

Der Raum ℓ ist im allgemeinen zu "groß", um ein sinnvolles Arbeiten zu gestatten. Mit zusätzlichen, durch die Praxis nahegelegten Einschränkungen, erhalten wir die Räume:
 

Definition 1.2.2
Wℓ ≡ { f ∈ ℓ | f[n] = 0 falls |n| > N ∈ ℕ01}
"finite Funktionen"
(2)
ℓ11
 ≡ {f ∈ ℓ | 
 
∑
k∈ℤ
|f[k]| < ∞}
"absolutsummierbare Funktionen"
(3)
 ℓ21
 ≡ {f ∈ ℓ |
 
∑
k∈ℤ
(f[k])² < ∞}
"quadratsummierbare Funktionen"
(4)
 ℓ∞1
 ≡ {f ∈ ℓ | 
 
  
sup
 |f[k]| < ∞ }
k∈ℤ  
"beschränkte Funktionen"
(5)

Zur Vereinfachung der Schreibweise haben wir bereits von der folgenden Vereinbarung Gebrauch gemacht, die (wie alle Konventionen) der gesamten Arbeit zugrunde liegt:
 

Konvention 1.2.1
Sei ⊡ ∈ {∑, ∫, Λ, inf, sup, min, max, esssup}, 
dann gelte für lateinische Kleinbuchstaben, zB n,
 
∞
⊡
  ≡ 
⊡
  ≡ 
⊡
n
 n ∈ ℤ
n = -∞
 
(7)
und für griechische Buchstaben, zB ω,
 
⊡
  ≡ 
⊡
ω
 ω∈]-π,π]
 
(8)
Konvention 1.2.2
Das Symbol N ist der Dimension des Raums Wℓ vorbehalten gemäß
 
dimension(Wℓ) = 2N+1
  
(8)

und wird nur in Zweifelsfällen als Index mitgeführt: Wℓ ≡ WNℓ.

Soll eine diskrete Funktion f ∈ ℓ auch komplexe Werte annehmen dürfen, das heißt: f: ℤ → ℂ, schreiben wir f ∈ ℓℂ, ℓ1ℂ usw.
Für die bisher betrachteten Räume gilt:
 

Wℓ ⊂ ℓ1 ⊂ ℓ2 ⊂ ℓ∞ ⊂ ℓ .
  
(9)
Definition 1.2.3
Vℓ2 ≡ { f ∈ ℓ2 | f[n] = 0 falls n ungerade}
  
(10)

Die Bedeutung von Vℓ2 wird im Zusammenhang mit der Hochpass-Bandpass-Transformation klar (siehe 1.6).
Den Raum der bei der Fouriertransformation (1.3) auftauchenden Lebesque-quadratintegrierbaren Funktionen nennen wir wie üblich ℒ2:
 
Definition 1.2.4
ℒ21
 ≡ {f: ]-π,π] → ℂ | 
 
∫
ω
|f(ω)|² dω < ∞}
 
(11)
ℒ2'
 ≡ {f ∈ ℒ21| 
 
Λ
ω
 f(ω) = f*(-ω)}
(12)

Der Stern (*) in (12) bedeutet Komplexkonjugation. ℒ2' ist ein abgeschlossener Unterraum von ℒ2.
 
Konvention 1.2.3
In der Regel werden wir Funktionen (Definitionen 1.2.1 bis 1.2.4) durch fette lateinische Kleinbuchstaben (a, b, c,,, f, g, h,,,), Operatoren (Abbildungen zwischen Vektorräumen) durch fette lateinische Grossbuchstaben (A, B, C,,,) und Skalare sowie Funktionale (Abbildungen von einem oder mehreren Vektorräumen in ℝ oder ℂ) durch griechische Kleinbuchstaben (α, β, γ, ...) beschrieben. Ausnahmen: j, k, l, m, n und K, L, M, N sind ganze Zahlen, i ist die imaginäre Einheit.

1.3 Fouriertransformation

Definition 1.3.1
Die Fouriertransformierte ℱ f einer Funktion f ∈ ℓ2ℂ ist definiert durch
 
Λ
ω
ℱ f(ω)
 ≡ 
 
∑
n
f[n] exp(-iωn)
 
(1)

Die Fouriertransformation ℱ ist eine lineare isometrische isomorphe Abbildung zwischen ℓ2 und ℒ2' bzw ℓ2ℂ und ℒ2:

ℱ ℓ2 = ℒ2'
  
(2)
ℱ ℓ2ℂ = ℒ2
(3)
Insbesondere ist ℱ f 2π-periodisch und lässt sich als Fourierreihe mit den Koeffizienten f[n], n ∈ ℤ, auffassen. Man beachte, dass Fourierreihen im allgemeinen nicht punktweise, sondern nur bezüglich der ℒ2-Norm ||| ||| (Definition 1.4.2) konvergieren.
Die Umkehrabbildung ℱ -1 (inverse Fouriertransformation) hat die Form
 
Definition 1.3.2
f∈ℒ2
Λ
f∈ℒ2
n
Λ
n
ℱ -1f[n]
 ≡  (2π)-11
 
∫
ω
f(ω) exp(iωn) dω
 
(4)

Die Beschränkung auf Funktionen f ∈ ℒ2' ⊂ ℒ2 stellt nach (2) sicher, dass ℱ -1 f immer reell ist.
Die besondere Bedeutung der Fouriertransformation liegt in der Eigenschaft begründet, Faltungsoperationen in anschaulichere Multiplikationsoperationen umzuwandeln (Satz 1.6.1).

1.4 Funktionale

Funktionale sind Abbildungen, die einer oder mehreren Funktionen eine reelle oder komplexe Zahl zuordnen. Die wichtigsten Funktionale, mit denen wir es zu tun haben werden, sind Normen und Skalarprodukte. So lassen sich die Räume aus Definition 1.2.2 bis 1.2.4 mit Hilfe von geeigneten Normen zu Banachräumen, d. h. vollständigen normierten Vektorräumen machen. Die Vektorräume Wℓ, ℓ2 , Vℓ2 , ℒ2 bzw. ℒ2' sind zusammen mit den folgenden Skalarprodukten sogar Hilberträume:
 
Definition 1.4.1
ℓ~ sei eine geeignete Teilmenge von ℓ2ℂ und H sei ein linearer positiv definiter hermitescher Operator auf dem zugehörigen Hilbertraum
f∈ℒ2
Λ
f,g∈ℓ~
<f,g>
 ≡
 
∑
n
f[n]g*[n]
 
(1)
f,g∈ℓ~
Λ
f,g∈ℓ~
H<f,g>H ≡ <f,Hg>
 
(2)
f∈ℒ2
Λ
f,g∈ℒ2
(f,g) ≡ (2π)-11
 
∫
ω
f(ω) g*(ω) dω
 
(3)

Achtung: das Skalarprodukt <,>, (1), wird manchmal (wenn ausdrücklich vermerkt!) auch als allgemeines, beliebig zu definierendes Skalarprodukt verstanden.
 
Definition 1.4.2
ℓ~ sei eine geeignete Teilmenge von ℓ2ℂ und H sei ein linear positiv definiter hermitescher Operator auf dem zugehörigen Hilbertraum
f∈ℓ1
Λ
f∈ℓ1
1||f||1
 ≡
 
∑
n
|f[n]|
 
(4)
f∈ℓ2ℂ
Λ
f∈ℓ2ℂ
||f||22 ≡ ||f||2 ≡ <f,f>
(5)
f∈ℓ~
Λ
f∈ℓ~
||f||H2≡ <f,f>H
 
(6)
f∈ℓ∞ℂ
Λ
f∈ℓ∞ℂ
<f,g> ≡
n
sup
n
|f[n]|
 
(7)
f,g∈ℓ~
Λ
f,g∈ℓ~
|||f|||2 ≡ (f,f)
(8)

Die Isometrie der Fouriertransformation kommt in den Beziehungen

f,g∈ℓ2ℂ
Λ
f,g∈ℓ2ℂ
<f,g> = (ℱ f,ℱ g)
 
(9)
beziehungsweise
f,g∈ℒ2
Λ
f,g∈ℒ2
(f,g) = <ℱ -1f,ℱ -1g>
 
(10)

die natürlich auch für f, g ∈ ℓ2 bzw. ℒ2' gelten, zum Ausdruck. (9) wird in der Theorie der Fourierreihen auch Parsevalgleichung genannt.

Zur Kennzeichnung gewisser Signaleigenschaften bedienen wir uns der Momente µm (m-tes Moment):
 
Definition 1.4.3
Sei m ∈ ℕ0
µm: 
{
Wℓ → ℝ
f ↦
 ∑ nm f[n]
 
n
 m-tes Moment
(11)

Die Beschränkung auf finite Funktionen Wℓ (Definition 1.6.2) in Definition 1.4.3 ist häufig zu restriktiv, sie dient hier lediglich der Existenzsicherung (Beschränktheit). Momente sind lineare Funktionale, deren Werte auf einfache Weise aus der Fouriertransformierten ℱ f durch Differenziation herzuleiten sind (ℱ f(m)(ω) bezeichne die m-te Ableitung von ℱ f an der Stelle ω):
 
Satz 1.4.1
Für alle m ∈ ℕ0 und f ∈ Wℓ gilt
n
∑ cos(ωn) nm f[n] = im((ℱ f)(m)(ω)) + (ℱ f)(m)(-ω))/2
n
 
(12)
Insbesondere gilt (ω = 0)
µm(f) = im(ℱ f)(m)(0)
  
(13)

Ist f ∈ Wℓ gar symmetrisch (Definition 1.6.2), vereinfacht sich (12) zu

n
∑ cos(ωn) nm f[n] = im(ℱ f)(m)(ω)
n
 
(14)

1.5 Operatoren

Operatoren sind Abbildungen zwischen Vektorräumen. Die Fouriertransformation ist ein bereits eingeführtes Beispiel. Die folgenden linearen Operatoren definieren wir zunächst auf ℓℂ. Dabei ist zu beachten, dass die speziellen Eigenschaften der auf Teilmenge von ℓℂ vorzunehmenden Einschränkungen dieser Operatoren von der Struktur des Raumes (Metrik) abhängen.
 
Definition 1.5.1
Sei f ∈ ℓℂ
I : f ↦ f
Einheitsoperator
(1)
Rρ :
 
n
Λ Rρf[n] ≡ ρn f[n] ρ ∈ ℂ\{0}
 
n
(2)
S :
 
n
Λ Sf[n] ≡ f[-n]
 
n
Spiegelungsoperator
(3)
T :
 
n
Λ Tf[n] ≡ f[n-1]
 
n
Translationsoperator
(4)
U : U ≡ R-11
(5)
V :
Vf[n] ≡
{
f[n/2] falls n/2 ∈ ℤ
0 sonst
(6)
V-1 :
 
n
Λ V-1f[n] ≡ f[2n]
 
n
(7)
W :
Wf[n] ≡
{
f[n] falls |n| ≤ N
0 sonst
(8)

Die Wirkung dieser Operatoren im "Frequenzraum" ℒ2' fassen wir, soweit sie sich anschaulich beschreiben lässt, zusammen in
 
Satz 1.5.1
Für alle f ∈ ℓ2 gilt
 
ω
Λ ℱ Sf(ω) = ℱ f(ω)* = ℱ f(-ω)
 
ω
 
(9)
 
ω
Λ ℱ Tf(ω) = exp(-iω) ℱ f(ω)
 
ω
(10)
 
ω
Λ ℱ Uf(ω) = ℱ f(ω + π) = ℱ f(ω - π)
 
ω
(11)
 
ω
Λ ℱ Vf(ω) = ℱ f(2ω)
 
ω
(12)

Die Operatoren S, T, U, V und W sind auf ℓ2beschränkt und damit stetig. Man erhält

||S|| = ||T|| = ||U|| = ||V|| = ||W|| = 1 
  
(13)
wobei || || die übliche Operatornorm ist, z. B.:
 
f ∈ ℓ2
n||S||n ≡ sup ||Sf||n/||f||n n ∈ {1, 2, ∞} .
 
f ∈ ℓ2
 
(14)
Insbesondere gilt für alle f, g ∈ ℓ2:
<Sf,Sg> = <Tf,Tg> = <Uf,Ug> = <Vf,Vg> = <f,g> .
  
(15)
Man beachte, dass V : ℓ2 → Vℓ2 zwar injektiv aber nicht bijektiv und damit nicht invertierbar ist. Dagegen kann V :  ℓ2 → Vℓ2  invertiert werden und wir erhalten mit V-1: Vℓ2 → ℓ2
VV-1 = IVℓ2 :  Vℓ2 → Vℓ2  und V-1V = Iℓ2 : ℓ2 → ℓ2 .
  
(16)
Die Transposition eines Operators H auf dem Hilbertraum ℋ ≔ (ℓ2,<,>) (<,> sei in (17) ein beliebiges Skalarprodukt) kennzeichnen wir mit einem Stern:
 
f,g∈ℋ
Λ
 <Hf,g> = <f,H*g>)
 
f,g∈ℋ
 
(17)
Satz 1.5.2
S, T, U, V, W (Definition 1.5.1) seien Operatoren auf dem Hilbertraum (ℓ2,<,>), dann gilt
S* = S-1 = S
  
(18)
T* = T-1
 (T-1f[n] = f[n+1])
(19)
U* = U-1 = U
(20)
V* = V-1
 (V-1f[n] = f[2n])
(21)

W ist ein Projektor, W: ℓ2 → Wℓ2  (vgl Definition 1.5.2).

Mit den folgenden Vertauschungsrelationen lassen sich viele Aussagen über Digitalfilter schnell und problemlos beweisen.
 
Satz 1.5.3
Für alle ρ ∈ ℂ\{0} und N ∈ ℕ0 gilt auf ℓℂ
RρT = ρTRρ
  
(23)
UT = -TU
(24)
ST = T-1S
(25)
VT = T2V
(26)
VWN = W2NV
(27)
UV = V
(28)
VRρ = R√ρV
(29)
RρU = URρ
(30)

Von besonderer Bedeutung sind in dieser Arbeit die sogenannten Projektionsoperatoren (z. B. mit P bezeichnet). Sie bilden einen Hilbertraum ℋ  in einen Unterraum von ℋ  ab, den wir der Einfachheit halber Pℋ  nennen.
 
Definition 1.5.2
Sei ℋ ein Hilbertraum, z. B. ℋ ≔ (ℓ2,<,>). Dann heisst P Projektionsoperator oder kurz Projektor, wenn gilt:
P ist linear, P* = P und P2 = P
  
(31)

Ein Projektor hat nur die Eigenwerte 1 und 0. Jedes f ∈ Pℋ  ist Eigenvektor zum Eigenwert 1; jedes  g ∈ (Pℋ )⊥ ist Eigenvektor zum Eigenwert 0. (Pℋ )⊥  stellt das orthogonale Komplement von Pℋ dar. Man beachte, dass die Definition hier ganz besonders vom gewählten Hilbertraum ℋ abhängt. Es geht nicht nur die Grundmenge (z. B. ℓ2, ℓ2ℂ, Wℓ), sondern durch die Forderung P* = P auch das Skalarprodukt (zB <,> oder <,>H) ein.

1.6 Digitalfilter

Definition 1.6.1
Ein Operator A heißt Digitalfilter, wenn es eine Funktion a ∈ ℓ, genannt Filterfunktion, gibt, so dass A darstellbar ist als
 
n
A =
∑
 a[n]Tn]
 
n
 
(1)

Ein Digitalfilter ist ein (diskreter) Faltungsoperator, denn es gilt im Fall der Konvergenz (f ∈ ℓ)

k
Λ
k
Af[k] = 
 
∑
n
a[n]f[k-n]
 
(2)
Die wichtigsten allgemeinen Eigenschaften eines Digitalfilters führen wir in Satz 1.6.1 auf. "●" beschreibt die punktweise Multiplikation zweier Funktionen.
 
Satz 1.6.1
(  i) Ein Digitalfilter ist linear  
( ii) Ein Digitalfilter ist translationsinvariant: 
AT = TA
(3)
(iii) Zwei Digitalfilter A und B sind miteinander vertauschbar:
AB = BA
(4)
(iv) Ist A ein Digitalfilter auf ℓ2 mit Filterfunktion a, dann ist ℱAℱ -1 auf ℒ2' ein Multiplikationsoperator:
ℱAℱ -1 :
{
ℒ2'
→
 ℒ2'
f
↦
 ℱa ● f
(5)

Der folgende Satz gibt an, wie sich aus der Filterfunktion a die Beschränktheit eines Digitalfilters auf ℓ1 , ℓ2 bzw. ℓ∞ ermitteln lässt.
 
Satz 1.6.2
Sei A ein Digitalfilter auf ℓ1 , ℓ2 bzw. ℓ∞ , dann gilt
||A||1 = ||a||1
  
(6)
f ∈ ℓ2
n||A||1≡ esssup |ℱa(ω)| ≤ ||a||11
 
ω
(7)
||A||∞ = ||a||1
"Stabilität"
(8)

Das "wesentliche Supremum" esssup ist z. B. in (Fuchssteiner/Laugwitz 1974) erklärt. Es entspricht bis auf die Eigenschaft, dass Abweichungen einer Funktion auf einer Menge vom Maß null keinen Einfluss ausüben, genau dem Supremum. Aus Satz 1.6.2 geht unter anderem hervor, dass die Bedingung für Beschränktheit auf ℓ2 schwächer ist als auf ℓ1oder ℓ∞. So ist z. B. der ideale Tiefpass (Hamming 1977 p98) auf ℓ2 beschränkt, auf ℓ1 und ℓ∞ hingegen unbeschränkt, was aber keine praktischen Auswirkungen hat, da dieses Filter nicht realisierbar ist.

Bleibt ein beschränktes Signal f ∈  ℓ∞ beschränkt (||Af||∞ ≤ ||a||1||f||∞), so sagt man auch, das Digitalfilter A sei "stabil".

Offensichtlich lassen sich alle Eigenschaften eines Digitalfilters aus der zugehörigen Filterfunktion ableiten. Um zu einer weiteren Differenzierung digitaler Filter zu kommen, definieren wir zunächst einige Funktionenklassen besonderer Wichtigkeit.
 
Definition 1.6.2
Sei  f ∈ ℓ, dann heißt f
(  i) finit, wenn es ein N gibt, so dass f ∈ Wℓ  
(9)
( ii) symmetrisch, wenn Sf = f
(10)
(iii) antisymmetrisch, wenn Sf = -f
(11)
(iv) kausal, wenn f[n] = 0 für alle n < 0
(12)

Anders als im Kontinuierlichen gibt es im Diskreten keine Probleme mit der Deltafunktion.
 
Definition 1.6.3
Die (diskrete) Deltafunktion d ∈ W0ℓ ist durch
d : n ↦
{
1 falls n = 0
0 sonst
 
(13)
gegeben.

Die Deltafunktion d besitzt wie üblich die Eigenschaften

 
f∈ℓ2
Λ
 <d,f> = f[0]
 
f∈ℓ2
 
(14)
und
 
ω
Λ
 ℱ d(ω) = 1
 
ω
 
(15)
Satz 1.6.3
Sei A ein Digitalfilter mit Filterfunktion a, dann gilt
 
Ad = a
  
(16)

Bei Anwendung eines Digitalfilters auf die Deltafunktion tritt als Ergebnis also die Filterfunktion hervor, womit das Digitalfilter sein gesamtes Innenleben offenbart. Wir werden deshalb häufig Ad anstelle von a als Filterfunktion bezeichnen, um zusätzliche Definitionen zu ersparen.
 
Definition 1.6.4
Ein Digitalfilter heißt finit, symmetrisch, antisymmetrisch bzw. kausal, wenn die Filterfunktion die entsprechenden Eigenschaften aufweist (Definition 1.6.2). 
Definition 1.6.5
Die Fouriertransformierte der Filterfunktion eines Digitalfilters auf ℓ1 , ℓ2 oder ℓ∞ heißt Frequenzgang.

Finite Digitalfilter haben eine Reihe von bedeutsamen Eigenschaften:
(  i) Finite Digitalfilter sind immer beschränkt.
( ii) Finite Digitalfilter sind praktisch realisierbar.
(iii)
 Nur finite Digitalfilter lassen sich als symmetrische oder antisymmetrische Digitalfilter realisieren.
Von "physikalisch realisierbar" oder kausal spricht man, wenn zur Berechnung eines gefilterten Wertes Af[k] in (2) nur Signalwerte f[n] aus der Vergangenheit (n < k) und Gegenwart (n = k) berücksichtigt werden müssen.
 
Satz 1.6.4
Sei A: (ℓ2 ,<,>) → (ℓ2 ,<,>) ein Digitalfilter, dann gilt:
ω
A ist invertierbar ⇔  Λ ℱ a(ω) ≠ 0
ω
 
(17)
A ist symmetrisch ⇔ A* = A ⇔ SA = AS
(18)
A ist antisymmetrisch ⇔ A* = -A ⇔ SA = -AS
(19)
Falls die Momente existieren:
∞
Λ
m=0
mµm(Af) =
m
∑
n=0
µm(Ad) µm-n(f)m
(20)
Die Rauschverstärkung für weißes Rauschen ist ||Ad|| 
(21)

Zum Beweis von (21) sowie zur Erläuterung der Begriffe "Rauschverstärkung"  und "weißes Rauschen" siehe Abschnitt 4.3.

Häufig ist es sinnvoll, aus Digitalfiltern mit bekannter Filterfunktion a ≔ Ad durch Transformation Digitalfilter mit neuen Eigenschaften zu gewinnen. Wir zählen hier einige elementare Transformationen auf.

Stabilisation:  a ↦ Rρa-1 bzw A ↦ RρARρ-1
(22)
Spiegelung:  a ↦ Sa-1 bzw A ↦ SAS-1
(23)
Translation: a ↦ TKa bzw A ↦ TKA
(24)
Hochpass <-> Tiefpass - Tranformation: a ↦ Ua-1 bzw A ↦ UAU-1
(25)
Hochpass -> Bandpass - Transformation: a ↦ Va bzw
n
A ↦  ∑ a[n]T2n
 
n
(26)
Realisierbarmachung: a ↦ Wa
(27)
Eine Stabilisation kann bei rekursiv dargestellten Digitalfiltern vonnöten sein (2.5). Eine Translation a ↦ TNa macht aus einem finiten Digitalfilter mit Filterfunktion a ∈ Wℓ ein kausales, wie man es zur "Echtzeit"-Filterung benötigt.
Wie alle linearen Operatoren lässt sich ein Digitalfilter auf ℓ2 als unendlichdimensionale Matrix darstellen, die auf unendlichdimensionale Vektoren (diskrete Funktionen bzw. Signale) "wirkt". Ein Digitalfilter in Matrixschreibweise zeichnet sich dadurch aus, dass sämtliche Werte einer Diagonalen gleich sind. In der Hauptdiagonale steht der Wert der Filterfunktion an der Stelle null und in der k-ten Nebendiagonalen entsprechend der k-te Wert der Filterfunktion.
Eine "Komposition" (Hintereinanderschaltung) von linearen Operatoren ist in dieser Schreibweise einfach durch die Matrizenmultiplikation erklärt.

2 Rekursivdarstellung Finiter Digitalfilter

2.1 Einführung

In (Bromba/Ziegler 1979) wird ein Verfahren beschrieben, mit dem ein finites Digitalfilter A, dessen Filterfunktion Ad im Intervall -N,...,N ein Polynom ist, in die Form
A = A' + A''A
  
(1)
gebracht werden kann, so dass A' und A'' Digitalfilter sind, deren Filterfunktionen A'd und A''d im Vergleich zur Filterfunktion Ad nur wenige von null verschiedene Terme enthalten. Der Vorteil einer solchen Darstellung, nämlich eine unter Umständen erheblich reduzierte Zahl der Rechenoperationen, wird deutlich, wenn wir (1) auf ein Signal f anwenden und den k-ten Wert betrachten:
g[k] ≔ Af[k] = 
 
m
 
∑
 
m
A'd[m] f[k-m] +
 
n
 
∑
 
n
A''d[n]g[k-n] .
 
(2)
Die Berechnung eines gefilterten Wertes g[k] benutzt also nicht nur ungefilterte Werte f[k-m] wie dies in der direkten Darstellung
Af[k] =
 
m
 
∑
 
m
Ad[m]f[k-m]
 
(3)
ausschließlich der Fall ist, sondern greift auch auf bereits gefilterte Werte g[k-n] zurück.
Natürlich kann eine solche Rekursion nur dann funktionieren, wenn
∞
Λ
n=0
A''d[-n] = 0
 
(4)
Das kontinuierliche Analogon zu (1) bzw. (2) wäre z. B. ein gegengekoppelter Verstärker oder ein aktives Analogfilter. Die operative Form (1) gibt zwar nicht den Gang einer rekursiven Berechnung (Schüssler 1973 S12) wieder - aus (1) wäre genauso gut eine iterative Berechnungsvorschrift
gn = A'f + A''gn-1
  
(5)
ableitbar -, sie erweist sich jedoch bei der Berechnung von A' und A'' als äußerst nützlich.
 
Definition 2.1.1
Wir nennen (1) eine Rekursivdarstellung des Digitalfilters A, wenn die Digitalfilter A' und A'' finit und ungleich dem Nulloperator sind und wenn A''d zusätzlich die Forderung (4) erfüllt.

Natürlich hat jedes finite Digitalfilter beliebig viele Rekursivdarstellungen. (Das sieht man, wenn man z. B. in (8) K durch M, M ∈ ℕ, ersetzt). Die Theorie der "rekursiven Digitalfilter" (Schüssler 1973 S35) lehrt uns jedoch, dass nur bei Digitalfiltern, deren Filterfunktion bereichsweise aus exponentiell gewichteten Polynomen besteht, eine Reduzierung des Rechenaufwands gegenüber der direkten Berechnung (3) und damit eine sinnvolle Rekursivdarstellung erwartet werden darf. Selbst wenn diese Voraussetzung erfüllt ist, hat man noch die Auswahl zwischen mehreren Rekursivdarstellungen. Wir wollen hier stets diejenige mit dem kleinsten Rechenaufwand betrachten.

Die Entwicklung verschiedener Rekursivdarstellungen ist unter anderem in (Blum 1957, Morrison 1967, Vasseur et al. 1979, Nesline/Zarchan 1979) beschrieben. Es erübrigt sich, ein allgemeines Verfahren anzugeben, da wir, wie sich zeigen wird, alle auftretenden Möglichkeiten durch entsprechende Transformationen auf den Fall ungewichteter Polynome zurückführen können.

Zunächst werfen wir noch einmal einen zusammenfassenden Blick auf die in (Bromba/Ziegler 1979) benutzte Methode. Ausgangspunkt ist ein Digitalfilter A, dessen Filterfunktion Ad in einem wenigstens einseitig begrenzten Bereich durch ein Polynom K-ten Grades dargestellt werden kann. Außerhalb dieses Bereichs mögen die Werte von Ad verschwinden. Wenden wir auf diese Filterfunktion das Digitalfilter

∆ ≔ I - T
  
(6)
("Differenzenoperator") (K+1)-mal an, so verschwindet die entstehende Funktion ∆K+1Ad überall außer im Bereich der "Sprungstelle(n)" von Ad. - (Der Differenzenoperator ist hier zur Vereinfachung etwas anders als in (Bromba/Ziegler 1979) definiert.) - Diese Tatsache führt dazu, dass die Identität
A = ∆K+1A + (I - ∆K+1)A
  
(7)
für die betrachteten Digitalfilter die günstigste Rekursivdarstellung liefert, wobei dann
A' ≔ ∆K+1A
  
(8)
und
A'' ≔ I - ∆K+1
  
(9)
Offenbar ist der verbleibende Rechenaufwand nicht mehr von der "Breite" N der polynomialen Filterfunktion, sondern nur noch vom Polynomgrad K und der Zahl der Sprungstellen von Ad abhängig.

Eine wesentliche Vorraussetzung für die Implementierung von Rekursivdarstellungen der Form (7) ist exakte Berechenbarkeit, da beliebig kleine, durch Rundungs-, Überlauf- und sonstige Fehler auftretende Rechenungenauigkeiten zur Instabilität des Algorithmus führen können. Diese Instabilität äußert sich darin, dass das Ausgangssignal über alle Grenzen wächst, obwohl das Eingangssignal beschränkt bleibt. Exakte Berechenbarkeit ist im Fall (7) durch die Anwendung von Ganzzahlenarithmetik erreichbar. Eine weitere Diskussion findet in Abschnitt 2.5 statt, siehe auch (Lynn 1978, Kurshan/Gopinath 1975, Gopinath/Kurshan 1975, Kurshan/Odlyzko 1980).
 
Beispiel 2.1.1: Mittelwertfilter
Die Filterfunktionen des Mittelwertfilters
A ≔
1
2N+1
 
N
 
∑
 
n=-N
Tnn
 
(10)
ist in Wℓ ein Polynom nullten Grades. Wir erhalten deshalb mit
A' ≔ ∆A = (I - T)A = (T-N - TN+1)/(2N+1)
  
(11)
und
A'' ≔ I - ∆ = T
  
(12)
die Rekursivdarstellung
A = (T-N - TN+1)/(2N+1) + TA
  
(13)
bzw. mit g ≔ Af
g[k] = (f[k+N] - f[k-N-1])/(2N+1) + g[k-1]
  
(14)
Diese Darstellung wird durch Multiplikation mit 2N+1 für alle ganzzahligen f : ℤ → ℤ exakt berechenbar:
h[k] = f[k+N] - f[k-N-1] + h[k-1]
  
(15)
wobei
h ≔ (2N+1)g
  
(16)

2.2 Polynomfilter

Definition 2.2.1
Ein finites Digitalfilter heißt Polynomfilter K-ten Grades, wenn sich die Filterfunktion stückweise aus L ∈ ℕ Polynomen maximal K-ten Grades zusammensetzt und die Zahl der von null verschiedenen Werte der Filterfunktion größer oder gleich (K+1)(L+2) ist. 

(K+1)(L+2) ist gerade die maximale Anzahl der von null verschiedenen Koeffizienten von A'd (8) und A''d (9) in einer zugehörigen Rekursivdarstellung (7). Daraus folgt, dass die Rekursivdarstellung eines Polynomfilters nicht mehr Rechenaufwand erfordert als die nichtrekursive Implementierung. Ist die Zahl der Schnittstellen (L+1) genau zwei und liegen diese zusätzlich bei ±N so sprechen wir von einem einfachen Polynomfilter, da die Filterfunktion in diesem Fall durch ein Polynom (L=1) in Wℓ vollständig erklärt ist.
 
Definition 2.2.2
Ein Polynomfilter AK K-ten Grades heißt einfach, wenn es ein N gibt, so dass die Filterfunktion AKd ∈ Wℓ im Bereich |n| ≤ N durch ein Polynom K-ten Grades darstellbar ist.

Wie bereits in 2.1 gezeigt, hat die Rekursivdarstellung eines Polynomfilters AM M-ten Grades zweckmäßigerweise die Form

AM = AM' + (I - (I - T)M+1)AM
  
(17)
(17) ist bis auf eine Normierung auf Ganzzahlen (Beispiel 2.1.1) exakt berechenbar.

Wir wollen nun untersuchen, wie sich wichtige Eigenschaften des Polynomfilters AM in der Rekursivdarstellung widerspiegeln. Da

AM'' ≔ I - (I - T)M+1
  
(18)
ausschließlich vom Polynomgrad M abhängt, konzentriert sich die Betrachtung im Wesentlichen auf den Zusammenhang zwischen AM und AM'. So äußern sich die Symmetrieeigenschaften von AM in folgender Weise:
 
Satz 2.2.1
Ein Polynomfilter M-ten Grades (AM) mit der Rekursivdarstellung (17) ist genau dann symmetrisch (α = 0) bzw. antisymmetrisch (α = 1), 
d.h.
AMS = (-1)αSAM ,
  
(19)
wenn
(-1)M+1T-M-1AM'S = (-1)αSAM'
  
(20)

Der Beweis benutzt die Sätze 1.5.3 und 1.6.1.
Aus Satz 2.2.1 folgt insbesondere, dass AM'd um den eventuell virtuellen (∉ ℤ) Punkt -(M+1)/2 symmetrisch bzw. antisymmetrisch ist:

k
Λ
k
(-1)M+1AM'd[k+M+1] = (-1)αAM'd[k]
 
(21)
Ist AM einfach und symmetrisch bzw. antisymmetrisch, kann M nur gerade bzw. ungereade sein:
M = 2K + α
  
(22)
und wir erhalten
 
Satz 2.2.2
Ein einfaches Polynomfilter M-ten Grades (AM) mit der Rekursivdarstellung (17) ist genau dann symmetrisch (M gerade) oder antisymmetrisch (M ungerade), wenn
 
-T-M-1AM'S=SAM'
  
(23)

Der folgende Satz gibt eine Formel für AK' an, in der nur diejenigen Werte von AK'd berücksichtigt sind, die (bedingt durch die Schnittstellen von AKd bei ±N) ungleich null sein können.
 
Satz 2.2.3
Sei AK ein einfaches Polynomfilter K-ten Grades mit Rekursivdarstellung (17) und Filterfunktion aK ≔  AKd. Dann gilt:
AK' = ΔK+1AK =
 
K
 
∑
 
k=0
ΔK+1aK[N+K+1-k]TN+K+1-k + 
 
K
 
∑
 
k=0
ΔK+1aK[-N+k]T-N+k
 
(24)
wobei
Δ ≔ I - T
(25)

Im Fall symmetrischer (K gerade) bzw. antisymmetrischer (K ungerade) einfacher Polynomfilter gestattet Satz 2.2.2 eine weitere Vereinfachung, weil dann zusätzlich für alle k von 0 bis K gilt:

ΔK+1aK[N+K+1-k] = ΔK+1aK[-N+k]
  
(26)
Daraus folgt
AK' =
 
K
 
∑
 
k=0
ΔK+1aK[-N+k](T-N+k - TN+K+1-k)
 
(27)
für symmetrische und antisymmetrische einfache Polynomfilter.
Der Frequenzgang eines Polynomfilters ist auf einfache Weise aus der Rekursivdarstellung (17) abzuleiten:
Kℱ AKd(ω) =
ℱ AK'd(ω)
ℱ (I - T)K+1d(ω)
 
(28)
Beschränken wir uns auf symmetrische oder antisymmetrische einfache Polynomfilter, können wir (27) anwenden und erhalten
Kℱ AKd(ω) =
 
K
 
∑
 
k=0
AK'd[-N+k]sin(ω((2N+K+1)/2 - k)))
(2i)KsinK+1(ω/2)
 
(29)
Man beachte, dass der Nenner bei ω = 0 eine (K+1)-fache Nullstelle hat, die wegen der Beschränktheit von ℱ AKd durch den Zähler kompensiert werden muss.

Durch (K+1)-malige Anwendung der L'Hospital-Regel erhalten wir für K = 2M (symmetrische Filter):

ℱ A2Md(0) =
2-2M
(2M+1)!
 
2M
 
∑
 
m=0
A2M'd[-N+m](2N+2M+1-2m)2M+1
 
(30)
ℱ A2Md(π) ist durch direkte Anwendung von (29) zu bestimmen:
ℱ A2Md(π) = (-1)N+12-2M
 
2M
 
∑
 
m=0
(-1)mA2Md[-N+m]
 
(31)
Bei symmetrischen Polynomfiltern K-ten Grades kann ℱ A2Md(π) als Maß für die Unterdrückung hoher Frequenzen genutzt weren, da |ℱ A2Md| bei π häufig ein lokales Maximum besitzt.
Bei antisymmetrischen einfachen Polynomfiltern gilt stets
ℱ A2M+1d(π) = ℱ A2M+1d(0) = 0
  
(32)
Der folgende Satz gibt Auskunft über die zulässigen Werte der Funktion AKd.
 
Satz 2.2.4
Sei AK ein Polynomfilter K-ten Grades mit Rekursivdarstellung (17). Dann erfüllt AK'd die Bedingungen
K
Λ
k=0
μk(AK'd) = 0
 
(33)
Insbesondere gilt für symmetrische einfache Polynomfilter 2M-ten Grades
M
Λ
k=1
2M 
∑
m=0
A2M'd[-N+m](2N+2M+1-m)2k-1 = 0
 
(34)

Beweis: Der Nenner des Frequenzgangs (28, 29) hat an der Stelle ω = 0 eine (K+1)-fache Nullstelle, die durch den Zähler vollständig kompensiert werden muss, d. h.

K
Λ
k=0
(ℱ AK'd)(k)(0) = 0
 
(35)
Der Rest folgt mit Satz 1.4.1. (34) erhalten wir durch k-malige Differenziation von ℱ AK'd in (28) bzw. (29).

2.3 Rechenregeln

Der besondere Vorteil der formalen Rekursivdarstellung (1) besteht im relativ einfachen Kalkül zur Gewinnung und im Umgang mit rekursiven Rechenverfahren. Wir wollen das hier nutzen und einige für die Praxis wichtige Umrechnungsformeln angeben.

Satz 2.3.1 beschreibt unter anderem die Auswirkung einer Serien- oder Parallelschaltung zweier rekursiv dargestellter Digitalfilter auf die Rekursivdarstellung des resultierenden Filters. Das Zeichen "⇨" bedeutet "...dann empfiehlt sich", wobei sich die Empfehlung auf den Rechenaufwand bei der Implementierung bezieht.
 
Satz 2.3.1
Seien A und B Digitalfilter mit den Rekursivdarstellungen A = A' + A''A und B = B' + B''B. Dann hat das resultierende Digitalfilter C die Rekursivdarstellung C = C' + C''C, wobei
C = AB ⇨ C' = A'B' C'' = A'' + B'' - A''B''  
(36)
C = A + B ⇨ C' = A' + B' - A'B'' - A''B' C'' = A'' + B'' - A''B''
(37)
C = A + B, A'' = B'' ⇨ C' = A' + B' C'' = A'' = B''
(38)
C = αA, α ∈ ℝ, ⇨ C' = αA' C'' = C'' = A''
(39)

Man beachte, dass (37) im allgemeinen nicht die einfachste Rekursivdarstellung für C liefert. Dem trägt (38) für den Spezialfall A'' = B'' Rechnung. Dieser Fall ist dann nicht trivial, wenn A und B finite Digitalfilter unterschiedlicher Breite N sind (siehe 4.5).

Wollen wir von einem Digitalfilter A zu einem Digitalfilter B mit Filterfunktion n ↦ ρnAd[n] (ρ ∈ ℂ) übergehen, so lässt sich dies mit Hilfe des Operators Rρ (Definition 1.5.1) erreichen:

B ≔ RρARρ-1 = Rρ
 
n
 
∑
 
n
Ad[n]TnRρ-1 =
 
n
 
∑
 
n
ρnAd[n]Tn
 
(40)
Formal ersetzen wir also T und ρT. Satz 2.3.2 beschreibt die Auswirkung einer solchen Transformation auf die Rekursivdarstellung eines Digitalfilters.
 
Satz 2.3.2
Sei B ≔ RρARρ-1. Das Digitalfilter A habe die Rekursivdarstellung A = A' + A''A. Dann ist B ein Digitalfilter und hat die Rekursivdarstellung B = B' + B''B mit B' =  RρA'Rρ-1 und B'' =  RρA''Rρ-1.

Vorsicht: Da Rρ im allgemeinen nicht beschränkt ist, muss stets die Beschränktheit von B geprüft werden (Satz 1.6.2). Falls ρ ≔ -1, wird aus Rρ der beschränkte unitäre Operator U der Frequenzverschiebung (Definition 1.5.1, Satz 1.5.1) , mit dem sich bequem Hochpass ↔ Tiefpass - Transformationen durchführen lassen; siehe 1.6.
Die Transformation a ↦ Va (1.6) gestattet die Umwandlung eines digitalen Hochpasses mit Filterfunktion a in einen Bandpass mit Filterfunktion Va. Zu diesem Zweck brauchen wir nur T durch T2 zu ersetzen.
 
Satz 2.3.3
Sei B das Digitalfilter mit der Filterfunktion Bd ≔ VAd. Das Digitalfilter A habe die Rekursivdarstellung A = A' + A''A. Dann hat B die Rekursivdarstellung B = B' + B''B wobei B'd = VA'a und B''d = VA''d.

Satz 2.3.4
Der Frequenzgang eines Digitalfilters mit Rekursivdarstellung A = A' + A''A ist formal
ω
Λ
ω
ℱ Ad(ω) =
ℱ A'd(ω)
1 - ℱ A''d(ω)
 
(41)

Da bei einer sinnvollen Rekursivdarstellung die Filterfunktionen A'd und A''d wesentlich weniger von null abweichende Werte als Ad haben, lässt sich der Frequenzgang FAd mit (41) auch wesentlich einfacher berechnen als auf direktem Wege.

2.4 Verallgemeinerung

Betrachten wir allgemeine Rekursivdarstellungen (1), so können wir die in der Regel infinite Filterfunktion von A stets durch Produkte und Summen von Exponentialfunktionen und Polynomen darstellen (Hamming 1977 p187, Schüssler 1973 S35). Dabei zählen wir zu den Exponentialfunktionen auch die Kosinus- und Sinusfunktionen, die sich ja als Summen bzw. Differenzen von zwei zueinander konjugiert komplexen Exponentialfunktionen schreiben lassen. Da A beschränkt sein soll, muss die resultierende Filterfunktion natürlich immer wenigstens einseitig "abgeschnitten" sein.
Ist umgekehrt eine Filterfunktion gegeben, die sich in der beschriebenen Weise zusammensetzt, können wir auf das Verfahren zur Entwicklung von Rekursivdarstellungen für Polynomfilter (Bromba/Ziegler 1979) zurückgreifen, wenn wir uns der Sätze 2.3.1 und 2.3.2 bedienen. Wir erläutern das an einem Beispiel.
 
Beispiel 2.4.1 : Digitales "RC"-Filter
Gegeben sei das Digitialfilter (0 < λ <1)
A ≔
 
∞
 
∑
 
n=0
λnTn
 
(42)
A lässt sich vermöge der Transformation
1A ≔ Rλ
 
∞
 
∑
 
n=0
TnRλ-1
 
(43)
aus einem Digitalfilter B ableiten, dessen Filterfunktion eine Stufenfunktion, d. h. stückweise ein Polynom nullten Grades ist. Setzen wir also
B ≔
 
∞
 
∑
 
n=0
Tn
 
(444)
so ist B' und B'' durch (vgl. Beispiel 2.1.1)
B' ≔ ΔB ≔ (I - T)B = I
  
(45)
sowie
B'' ≔ I - Δ = T
(46)
gegeben, woraus wir nach Satz 2.3.2
A' ≔ RλB'Rλ-1 = I
  
(47)
und
A'' ≔ RλB''Rλ-1 = λT
(48)
erhalten.
Es folgt die Rekursivdarstellung
A = I + λTA
  
(49)
bzw. (g ≔ Af)
g[k] = f[k] + λg[k-1]
  
(50)

Ähnlich verfährt man mit Digitalfiltern der Art

C ≔
 
N
 
∑
 
n=-N
cos(ωn)Tnn
 
(51)
oder
D ≔
 
N
 
∑
 
n=-N
sin(ωn)Tnn,
(52)
deren Filterfunktionen wir als Summe von komplexen Exponentialfunktionen schreiben. Auf diese Weise lassen sich die Rekursivdarstellungen von C und D aus der für das Mittelwertfilter (Beispiel 2.1.1) ableiten, wenn wir zusätzlich zu Satz 2.3.2 noch Satz 2.3.1 (37), anwenden. Leider sind die entstehenden Rekursivdarstellungen nur dann exakt berechenbar, wenn im zugehörigen
C'' = D'' = 2cos(ω)T - T2
  
(53)
der Koeffizient 2cos(ω) eine ganze Zahl darstellt, d. h. wir müssen uns auf die ω-Werte 0, π/3, π/2, 2π/3 und π beschränken (Lynn 1970). Ein Ausweg aus dieser Beschränkung ergibt sich durch die Darstellung (A und B seien Digitalfilter)
A = CωBCω + SωBSω
  
(54)
mit
n
Λ
n
Cωf[n] ≔ cos(ωn)f[n]
(55)
und
n
Λ
n
Sωf[n] ≔ sin(ωn)f[n] .
(56)
A hat dann die Filterfunktion
n
Λ
n
Ad[n] ≔ cos(ωn)Bd[n] .
 
(57)
B lässt sich z. B. als exakt berechenbares einfaches Polynomfilter wählen. Fehler, die durch irrationale Werte von cos(ωn) (bzw 2cos(ω) in (53)) entstehen, lassen sich somit aus der Rekursion heraushalten und werden auf die stets stabilen Multiplikationsoperatoren Cω und Sω abgewälzt.

Ersetzt man in (57) cos durch sin, gelangt man zu der Darstellung

A = SωBSω - CωBCω
  
(58)
Bei Frequenzabtastfiltern (Gold/Rader 1969, Rabiner/Schafer 1971 und 1972, Rabiner/Gold 1975, Oppenheim/Schafer 1975, Stearns 1975) sind sogar noch Vereinfachungen möglich, wie in (Alpatov/Vityazev/Stepashkin 1979) gezeigt wird.

2.5 Stabilität

In jeder Rekursivdarstellung (1) können wir A'' in der Form (λk ∈ ℂ)
I - A'' =
 
K
 
∏
 
k=1
(I - λkT)1
 
(58)
darstellen, da I - A'' ein Polynom K-ten Grades in T ist.
Ein Digitalfilter A ist stabil (Satz 1.6.2), wenn der Betrag aller λk kleiner als eins ist (z. B. Schüssler 1973 S36). Die Umkehrung gilt nicht. So sind insbesondere alle finiten Digitalfilter stabil, ganz gleich, welchen Betrag die zugehörigen λk annehmen. In der Praxis können jedoch durch Rundungs- und ähnliche Fehler Änderungen eintreten, die z. B. aus dem finiten Digitalfilter ein infinites werden lassen, das dann instabil ist. Wenn der Betrag eines oder mehrerer λk den Wert eins annimmt, aber keines diesen Wert überschreitet, kann eine Stabilitätstransformation für stabile Verhältnisse sorgen (1.6). Dazu ersetzen wir sämtliche T durch αT,  wobei wir α so wählen, dass einerseits die αλk durch Rechenungenauigkeiten niemals den Wert eins überschreiten, und dass andererseits die Filtereigenschaften nicht zu sehr verändert werden; siehe z. B. (Stearns 1975 p211). Dieses Verfahren lässt sich nicht nur bei Frequenzabtastfiltern, sondern auch bei Polynomfiltern anwenden. Ein auf diese Weise stablisiertes Digitalfilter kann allerdings nicht mehr exakt symmetrisch oder antisymmetrisch sein. Deshalb dürfte es in vielen Fällen besser sein, nach exakt berechenbaren Rekursivdarstellungen Ausschau zu halten. Gleichzeitig enthebt uns eine exakte Berechnung aller Sorgen, die sonst noch in Rekursivalgorithmen ihren Anlass finden, wie z. B. Grenzzyklen (Rabiner/Gold 1975 p350, Oppenheim/Schafer 1975 p419). Exakte Berechenbarkeit liegt vor, wenn
  • (  i) das Singal f ganzzahlige oder rationale Werte,
  • ( ii) die Funktion A'd ganzzahlige oder rationale Werte
  • (iii)   u n d   die Funktion A''d ganzzahlige Werte hat.
Im Falle rationaler Werte bei f oder A'd kann durch Mulitplikation der Rekursivdarstellung mit einer geeigneten Konstanten Ganzzahligkeit erreicht werden (Beispiel 2.1.1). Bei A''d können sogar gewisse irrationale Werte zugelassen werden, wenn man sich eines von (Nikias 1980) entwickelten Verfahrens bedient.

Eine wesentliche Vorraussetzung für die Stabilität exakt berechenbarer Rekursivdarstellungen finiter Digitalfilter ist die geeignete Wahl der Anfangsbedingungen, damit nicht etwa durch den Start Fehler eingebracht werden, die sich im Laufe der Rekursion (trotz exakter Berechnung!) aufschaukeln, siehe (Bromba/Ziegler 1979). Dank der Finität der Filter bleibt der Einfluss künstlicher Startbedingungen auf die ersten N gefilterten Werte g[ko], g[ko+1],..., g[ko+N-1] in (2) beschränkt.

Schließlich muss noch sichergestellt sein, dass im Rechner kein Überlauf eintritt. Dieser Fall lässt sich mit Sicherheit ausschließen, wenn das Eingangssignal beschränkt ist (das ist in der Praxis immer der Fall) und wenn man berücksichtigt, dass der Ausgangswertebereich um die Einsnorm der Filterfunktion größer ist als der Eingangswertebereich (Satz 1.6.2). In diese Analyse sind auch die Digitalfilter A' und A'' der Rekursivdarstellung einzubeziehen.

3 Least-Squares-Digitalfilter

3.1 Einführung

Im folgenden soll ein Verfahren beschrieben werden, das durch Hilbertraumappoximation einer "Originalfilterfunktion" zu Digitalfiltern führt, die "zusätzlich" eine signalglättende Wirkung haben. Ist die Originalfilterfunktion z. B. die Filterfunktion des Einheitsfilters (Id = d), des (diskreten) Differenziators oder der Inversfilterung (Dekonvolution), so erhält man Digitalfilter, die nur glätten, die differenzieren und glätten oder die "auflösungsverbessernd" wirken und glätten. Die Originaloperationen werden an quadratsummierbaren Signalen natürlich nur noch näherungsweise ausgeführt. Im Prinzip erleidet also die Originaloperation eine "geringfügige" Abänderung derart, dass eine Glättung auftritt, gewisse Charakteristika der Originaloperation aber erhalten bleiben.
In Hilberträumen wird Approximation durch das Projektionstheorem (Luenberger 1969) beschrieben, von dem wir hier zwei einfache Folgerungen benötigen. Skalarprodukte sind in diesem Abschnitt (3.1) beliebig definierbar. (Die Norm ist dann durch das Skalarprodukt eindeutig festgelegt).
 
Satz 3.1.1
Sei ℋ ein Hilbertraum mit Norm || || und P ein Projektor ℋ  ↦ Pℋ (Definition 1.5.2). Dann gilt
 
h∈ℋ
 
Λ
 
h∈ℋ
||h - Ph|| =
 
g∈Pℋ
 
min
 
g∈Pℋ
||h - g||
 
(1)

Satz 3.1.1 ist nützlich, wenn eine "Originalfilterfunktion" h durch eine Filterfunktion g mit der speziellen Eigenschaft g ∈ Pℋ ersetzt werden soll. Das "beste" g bezüglich der ℋ-Norm || || ist gerade Ph. Aus Satz 3.1.1 folgt wiederum
 
Satz 3.1.2
Sei ℋ ein Hilbertraum mit Norm || || und P ein Projektor ℋ  ↦ Pℋ. Dann gilt
 
h∈ℋ
 
Λ
 
h∈ℋ
||Ph|| =
 
g-h∈(Pℋ)⊥
 
min
 
g-h∈(Pℋ)⊥
||g||
 
(2)

Die optimale Filterfunktion Ph aus Satz 3.1.2 hat also von allen g mit der Eigenschaft g - h ⊥ Pℋ  (d. h.  für alle f ∈ Pℋ gilt <f,g-h> = 0 wenn <,> das zu ℋ gehörige Skalarprodukt ist) die kleinste Norm. Die "Nebenbedingung" g-h ⊥ Pℋ  besorgt die Übertragung gewisser charakteristischer Eigenschaften von h auf Ph,  während die Normminimierung für die Glättung von Bedeutung ist. Die Norm stellt nämlich im einfachsten Fall (ungewichtete Quadratsumme) ein direktes Maß für die Rauschverstärkung des zugehörigen Filters für weißes Rauschen dar (Satz 1.6.4). Das Optimierungsverfahren erfordert somit im großen und ganzen folgende Schritte:

(  i) Wahl der Originalfilterfunktion h
( ii) Wahl eines geeigneten Hilbertraums ℋ mit h ∈ ℋ
(iii) Wahl eines geeigneten Projektors P : ℋ  → Pℋ
(iv) Berechnung der glättenden Filterfunktion Ph
Man beachte, dass der Raum der allgemeinsten Filterfunktionen kein Hilbertraum ist, weil die aus den Beschränktheitsbedingungen (Satz 1.6.2) folgenden Normen nicht aus Skalarprodukten stammen.
Der Projektor kann in der Form
JPJ : f↦
 
j∈J
 
∑
 
j∈J
<f,pj>pjj
J ⊆ J̅̄̄
(3)
dargestellt werden, wobei (pj; j ∈ J̅̄̄) ein vollständiges Orthonormalsystem in ℋ bildet mit
n,m∈J
Λ
n,m∈J̅̄̄
<pn,pm> = δnm
 
(4)
und J̅̄̄ einer Indexmenge. Offenbar wirkt PJ̅̄̄ auf ℋ als Einheitsoperator, bewirkt also keine Approximation im beabsichtigten Sinn. Die Wahl des Projektors P = PJ reduziert sich damit auf die Suche nach einem geeigneten Orthonormalsystem.

3.2 Gramfilter

Wir wählen als Hiltertraum ℋ den Raum der reellen finiten Funktion Wℓ versehen mit dem Skalarprodukt
<f,g> ≔
 
n
 
∑
 
n
f[n]g[n]
 
(5)
und der zugehörigen Norm
||f||2 ≔ <f,f>
  
(6)
Der Projektor sei gegeben durch
MPM : 
{
Wℓ → PMWℓ
 
M
f ↦
∑
 <f,pm>pm
 
m=0
 
(7)
Die pm , m ∈ J̅̄̄, sind normierte Grampolynome (siehe Anhang) mit der Eigenschaft
<pn,pm> = δnm
  
(8)
Die Indexmenge J kann geschrieben werden als
J = {0, 1, 2,..., M ≤ 2N} ⊆ J̅̄̄ ≔ {0, 1, 2,..., 2N}
  
(9)
Es gilt 
2NP2N= W
(10)
(W ist ein Einheitsoperator auf Wℓ.)
PMWℓ ist der Raum aller finiten Funktionen, die durch ein Polynom maximal M-ten Grades darstellbar sind. Satz 3.1.1,
M||h - PMh|| =
 
g∈PMWℓ
 
min
 
g∈PMWℓ
||h - g||
 
(11)
erlangt dann Bedeutung, wenn es gilt, eine vorgegebene Filterfunktion h in Hinblick auf eine Rekursivdarstellung (2.2) des zugehörigen Filters durch ein finites Polynom zu approximieren. Was Satz 3.1.2 betrifft, so lässt sich zeigen, dass für alle h ∈ Wℓ
g - h ∈ (PMWℓ)⊥
 ⇔
m∈J
Λ
m∈J
<g,pm> = <h,pm>
(12)
⇔
m∈J
Λ
m∈J
μm(g) = μm(h)
(13)
⇔
m∈J
Λ
m∈J
(ℱ g)(m)(0) = (ℱ h)(m)(0) .
(14)
Die Filterfunktion PMh liefert also ein Digitalfilter, das unter allen Filtern, deren Filterfunktion g die M+1 Bedingungen
M
Λ
m=0
<g,pm> = <h,pm>
 
(15)
bzw.
M
Λ
m=0
μm(g) = μm(h)
(16)
oder
M
Λ
m=0
(ℱ g)(m)(0) = (ℱ h)(m)(0) .
(17)
erfüllen, die kleinste Rauschverstärkung ||g|| für weißes Rauschen besitzt (Satz 1.6.4).
Satz 3.2.1 stellt die Erhaltung der Momente der Originalfilterfunktion h durch die Approximation PMh sicher:
 
Satz 3.2.1
Sei h ∈ Wℓ und M ≤ 2N, dann gilt
PMS = SPM
  
(18)
M
Λ
m=0
μm(PMh) = μm(h)
(19)
M
Λ
m=0
(ℱ PMh)(m)(0) = (ℱ h)(m)(0) .
(20)

Beweis: (18) folgt aus

Sp2m = p2m  und Sp2m+1 = -p2m+1
  
(21)

(19): In ℋ = (Wℓ; <,>) lässt sich μm(h) , m=0,...,M, durch ein Skalarprodukt von h mit einem Vektor fm ∈ PMWℓ schreiben:

μm(h) ≔ <fm,h> = <PMfm,h> = <fm,PMh> = μm(PMh)
  
(22)
(20) ergibt sich aus (19) unter Benutzung von Satz 1.4.1.

Bisher haben wir nur finite Originalfilterfunktionen h ∈ Wℓ gramappoximiert. Eine Approximation infiniter Funktionen h ∈ ℓ2 (z. B. die Filterfunktion des diskreten Differenziators) ist zwar auch möglich, weil formal PMℓ2 = PMWℓ; von den Äquivalenzen (12) bis (14) bleibt jedoch nur noch die erste gültig. Die Momente z. B. werden im allgemeinen nicht mehr erhalten. Da die Momentenerhaltung (19) bzw. die Erhaltung der Ableitungen des Frequenzgangs ℱ h an der Stelle null (20) oft von größerer Bedeutung ist als die Eigenschaft

M
Λ
m=0
<PMh,pm> = <h,pm> ,
 
(23)
erscheint es sinnvoller, zunächst nach einer finiten "Vorapproximation" f ∈ Wℓ von h ∈ ℓ2 zu suchen, so dass
M
Λ
m=0
μm(f) = μm(h)
 
(24)
oder
M
Λ
m=0
(ℱ f)(m)(0) = (ℱ h)(m)(0) .
(25)
Dabei muss man mit folgenden Unpässlichkeiten rechnen:
(  i) μm(h) existiert nicht
( ii) (ℱ h)(m)(0) existiert nicht
(iii) Weder μm(h) noch (ℱ h)(m)(0) existieren
Sobald aber alle Momente oder alle Ableitungen an der Stelle null existieren, lässt sich mit Hilfe der M+1 linearen Gleichungen (24) bzw. (25) das gewünschte f ausrechnen (Matrixinversion). Ist h symmetrisch oder antisymmetrisch, schrumpft die Zahl der Gleichungen sogar noch erheblich.
Im Fall der diskreten Differenziation erledigt sich das Problem der Infinität sozusagen von selbst, wie sich am Beispiel der Hahnfilter zeigen wird.

3.3 Hahnfilter

Wir wählen als Hilbertraum ℋ  wieder den Raum der reellen finiten Funktionen Wℓ, diesmal aber ausgestattet mit dem Skalarprodukt (Definition 1.4.1)
<f,g>HL ≔ <f,HLg>
  
(26)
und der zugehörigen Norm
||f||HL2 ≔ <f,f>HL
  
(27)
wobei
HL ≔ W(Δ*Δ)LW
(28)
und
Δ ≔ I - T  (Δ* = I - T-1)
(29)
Δ ist der gewöhnliche Differenzenoperator:
Δf[k] = f[k] - f[k-1]
  
(30)
Das Optimierungsproblem kann man so deuten, dass hier nicht die Rauschverstärkung für weißes Rauschen (wie bei den Gramfiltern) sondern für die L-te Differenz weißen Rauschens (d.h. farbigen Rauschens, siehe 4.3) minimiert wird.
HL kann als die Einschränkung des Operators (Δ*Δ)L auf Wℓ verstanden werden, denn wir haben
f,g∈Wℓ
Λ
f,g∈Wℓ
<f,g>HL ≔ <ΔLf,ΔLg> .
 
(31)
Man beachte, dass HL nur auf Wℓ, keinesfalls auf ℓ2 invertierbar ist (HL hat dort den Eigenwert null). Der Projektor (3) sei gegeben durch
 
M
PM(L) : f ↦
∑
 <f,qm(L)>HLqm(L)
 
m=0
 
(32)
mit
qm(L) ≔
HL-1pm(L)
||HL-1pm(L)||HL
(33)
wobei pm(L) spezielle Hahnpolynome m-ten Grades sind (siehe Anhang und Kapitel 4.4).
Im Fall L=0 reduziert sich die Hahnapproximation formal auf die Gramapproximation.

Wie schon angedeutet, beschreibt die Norm (27) im Fall L>0 nicht mehr die Rauschverstärkung für weißes Rauschen. Es gibt nämlich

f∈Wℓ
Λ
f∈Wℓ
||f||HL2
= ||ΔLf||2= |||ℱ ΔLf|||2= |||ℱ ΔLd ● ℱ f|||22  
= 
1
2π
 
ω
 
∫
 
ω
(2 - 2cos(ω))L|ℱ f|2(ω)dωL
(34)
Für weißes Rauschen hatten wir
||f||2 = |||ℱ f|||2 = 
1
2π
 
ω
 
∫
 
ω
|ℱ f|2(ω)dωL
 
(35)
als Rauschverstärkung eines Digitalfilters mit Filterfunktion f. Somit kann man (34) als "gewichtete Rauschverstärkung" mit der Gewichtsfunktion
ω ↦ (2 - 2cos(ω))L
  
(36)
(im Frequenzraum ℒ2') ansehen. Während bei der Berechnung der Rauschverstärkung (35) alle Frequenzen ω gleichberechtigt eingehen, werden bei der Berechnung von (34) die höheren Frequenzen zunehmend stärker berücksichtigt. Setzt man eine Minimierung der Norm gemäß Satz 3.1.2 voraus, darf man erwarten, dass die optimale Filterfunktion PM(L)f mit wachsendem L eine stetig bessere Unterdrückung höherer Frequenzen gewährleistet. Zunächst ist jedoch zu zeigen, dass die qm(L), m=0,...,2N ein vollständiges Orthonormalsystem in ℋ bilden.
Die speziellen Hahnpolynome pm(L) erfüllen per definitionem die Orthogonalitätsbeziehung
<pm(L),pm(L)>CL ≔ <pm(L),CLpm(L)> = δmn||pm(L)||CL2
  
(37)
wobei der Multiplikationsoperator CL durch
CL : f ↦ c(L) ● f :  n ↦
 
L
 
∏
 
k=1
(((N+k)2 - n2)f[n])2
 
(38)
definiert ist.
 
Satz 3.3.1
HL und CL seien durch (28) und (38) definiert. Dann hat der Operator HLCL für alle L > 0 die speziellen Hahnpolynome pm(L), m=0,...,2N, als Eigenfunktionen zu den Eigenwerten
λm(L) =
 
2L
 
∏
 
k=1
(m + k) :
 
(39)
HLCLpm(L) = λm(L)pm(L)
(40)

Beweis: In ℓ wirkt der Differenzenoperator 2L-ter Ordnung (Δ*Δ)L ähnlich wie eine 2L-te Ableitung: Ist pm ∈ ℓ ein Polynom m-ten Grades (m ≥ 2L), dann ist  (Δ*Δ)Lpm ein Polynom (m-2L)-ten Grades. In Wℓ ist CLpm ein Polynom (m+2L)-ten Grades, das auch dann bei n = ±(N+k) , k=1,...,L, Nullstellen hätte, wenn es nicht bei n = ±N abgeschnitten wäre (CLpm ∈ Wℓ).
Diese Tatsache sorgt dafür, dass sich in Wℓ auch HL, angewandt auf CLpm, wie eine 2L-te Ableitung benimmt, d. h. HLCLpm ∈ Wℓ ist in Wℓ ein Polynom p̃m m-ten Grades,

HLCLpm = p̃m ,
  
(41)
und es lässt sich wegen der Linearität von HLCL ein Polynom p̂̂m(L) m-ten Grades finden, so dass:
HLCLp̂̂m = λm(L)p̂̂m .
  
(42)
Da ein Differenzenoperator in der höchsten Potenz eines Polynoms den gleichen Koeffizienten erzeugt, wie eine entsprechende Differenziation, ist λm(L) gerade der Koeffizient der 2L-ten Ableitung eines Monoms (2L+m)-ten Grades (39):
λm(L) =
 
2L
 
∏
 
k=1
(m + k)1
   
Aus der Symmetrie von HL und CL und der Verschiedenheit der Eigenwerte für L > 0 folgt aus (42) schließlich die Orhtogonalität bzgl. <,>CL  :
<p̂m(L),p̂m(L)>CL = δmn||p̂m(L)||CL2
  
(43)
Das bedeutet, die Polynome p̂m(L) sind mit den Hahnpolynomen pm(L) bis auf eine (beliebige) Konstante identisch, womit alles gezeigt ist.

Aufgrund von (42) ist auch klar, dass qm(L) (33) ein Polynom (m+2L)-ten Grades darstellt. Weiterhin kann man leicht ausrechnen, dass

<pm(L),pn(L)>CL= λm(L)<pm(L),pn(L)>
HL-1
= λm(L)<HL-1pm(L),HL-1pn(L)>
HL
,
 
(44)
womit die Orthogonalität der qm(L) bzgl. <,>HL bewiesen ist. Schließlich ergibt sich für den Projektor (32) die Form:
PM(L) : f ↦ CL
 
M
 
∑
 
m=0
<f,pm(L)>
||pm(L)||CL2
pm(L)
 
(45)
Satz 3.2.1 behält auch für hahnanpproximierte Filterfunktionen seine Gültigkeit:
 
Satz 3.3.2
Sei h ∈ Wℓ und M ≤ 2N, dann gilt für alle L ∈ ℕ
PM(L)S = SP(L)M
  
(46)
M
Λ
m=0
μm(PM(L)h) = μm(h)
(47)
M
Λ
m=0
(ℱ PM(L)h)(m)(0) = (ℱ h)(m)(0) .
(48)

Beweis: (46) und (48) wie Satz 3.2.1 (47): PM(L)Wℓ ist der Raum aller mit c(L) (38) multiplizierten Polynome maximal M-ten Grades. Da HLc(L) ein Polynom nullten Grades ist, kann μm(h) , m=0,...,M ≤ 2N, in ℋ = (Wℓ; <,>HL) durch ein Skalarprodukt von h mit einem Vektor fm ∈ PM(L)Wℓ dargestellt werden:

μm(h) = <fm,h> = <PM(L)fm,h> = <fm,PM(L)h> = μm(PM(L)h)
  
(49)
Beispiel 3.3.1: Diskreter Differenziator K-ter Ordnung
Um die Differenziation für diskrete Funktion nachzubilden, gehen wir zweckmäßigerweise vom Frequenzgang aus und verlangen Übereinstimmung im Bereich |ω| < π , d. h. die diskrete Filterfunktion DKd des Differenziators K-ter Ordnung DK soll den Frequenzgang
ω
Λ
ω
ℱ DKd(ω) = (iω)K
 
(50)
haben. Wegen der notwendigen 2π -Periodizität muss ℱ DKd an der Stelle ±π unstetig sein, was sich in einer infiniten Filterfunktion, die z. B. im Fall K=1 durch
Dd[n] ≡
{
0 falls n = 0
(-1)n/n sonst
 
(51)
gegeben ist, niederschlägt. Wir können also die Hahnapproximation nicht direkt anwenden, sondern müssen uns entsprechend den Hinweisen für infinite Originalfilterfunktionen bei den Gramfiltern eine Vorapproximation DK mit DK ∈ Wℓ suchen, so dass der Frequenzgang ℱ DKd und dessen Ableitungen an der Stelle null erhalten bleiben (wenn dies ausdrücklich gewünscht ist):
M
Λ
m=0
(ℱ DKd)(m)(0) = (ℱ DKd)(m)(0) .
 
(52)
Von den Momenten existiert hier übrigens nur das nullte. Nach Satz 3.3.2 erfüllt die Hahnapproximation die Bedingungen
M
Λ
m=0
(ℱ PM(L)DKd)(m)(0) = (ℱ DKd)(m)(0) .
 
(53)
Fordern wir weiter, dass DK in (ℓ2; <,>) genauso transponiert wie DK, also
DK* = (-1)KDK
  
(54)
dann gilt 
PM(L)DKd =
CL
 
M
 
∑
 
m=0
<DKd,pm(L)>
||pm(L)||CL2
pm(L)
 
=
(-1)KCL
 
M
 
∑
 
m=0
<d,DKpm(L)>
||pm(L)||CL2
pm(L)
(55)
Eine einfache Überlegung zeigt nun, dass die Operation DK auf diskrete Polynome ebenso wirkt, wie eine K-te Ableitung DK auf das entsprechende kontinuierliche Polynom. Betrachtet man p̃m(L) als kontinuierliches Polynom mit p̃m(L)(n) = pm(L)[n] für alle n ∈ ℤ , so ist <d,DKpm(L)> nichts anderes, als die K-te Ableitung von p̃m(L) an der Stelle null.

Die einfachste Form nimmt PM(L)DKd im Fall M = K an. Dann ist nämlich in (55) nur der Term <d,DKpM(L)> ungleich null und hat den Wert M! mal (führender Koeffizient von pm(L)).

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das Ergebnis unserer Approximation ein glättendes Digitalfilter ist, das Polynome bis M-ten Grades exakt und Signale aus ℓ2, soweit sie sich innerhalb einer Filterbreite (2N+1 Punkte) gut durch ein Polynom M-ten Grades nähern lassen, "fast exakt" differenziert, und das gleich K mal.

3.4 Krawtchoukfilter

Geht man von der Hahnapproximation aus und betrachtet den Grenzfall L → ∞ , so ist zunächst festzustellen, dass die Norm || ||HL (27) ihren Sinn verliert, weil HL divergiert. Es lässt sich zwar ein geeignet normierter Operator H̃̃L finden, der konvergiert, aber leider ist der Grenzfall nicht invertierbar, so dass || ||H̃L nicht gegen eine Norm konvergiert.

Verzichten wir jedoch auf die Interpretation der Norm als zu minimierende gewichtete Rauschverstärkung, so lässt sich durch einen Grenzübergang in (45) dennoch ein Projektor gewinnen, der dann durch die außergewöhnliche Eigenschaft besticht, Digitalfilter mit extrem glatten Frequenzgängen zu produzieren. Verfahren wir so ähnlich, wie in (Bromba/Ziegler 1980), ergibt sich

PM(∞) ≔
 
L→∞
 
lim
 
L→∞
PM(L) :f ↦ B
 
M
 
∑
 
m=0
<f,pm>
||pm||B2
pm
 
(56)
Hierbei sind die pm bzgl. der Norm || ||B orthogonale spezielle Krawtchoukpolynome (siehe Anhang). B ist der Operator, der in Wℓ die Multiplikation mit den Binomialkoeffizienten beschreibt:
 
f∈Wℓ
 
Λ
 
f∈Wℓ
 
N
 
Λ
 
n=-N
Bf[n] ≔ (
2N
N - n
) f[n]
 
(57)
Leider sind Krawtchoukfilter keine Polynomfilter (Definition 2.2.1 und 2.2.2). Insbesondere ist auch keine rechenzeitsparende Rekursivdarstellung möglich, wie dies bei den Hahnfiltern für genügend große N der Fall ist.
 
Satz 3.4.1
Sei h ∈ Wℓ und M ≤ 2N, dann gilt
PM(∞)S = SP(∞)M
  
(58)
M
Λ
m=0
μm(PM(∞)h) = μm(h)
(59)
M
Λ
m=0
(ℱ PM(∞)h)(m)(0) = (ℱ h)(m)(0) .
(60)

Satz 3.4.1 ist das Analogon zu Satz 3.2.1 und 3.3.2. Krawtchouk- und Gramapproximation können somit unbedenklich als Spezialfälle der Hahnapproximation aufgefasst werden.
 
Beispiel 3.4.1: Glättender Auflösungsverbesserer
In aller Regel besteht eine spektrometrische Messung, kurz Spektrum genannt, aus einer Überlagerung symmetrischer Einzelsignale (Linien, Peaks) f ∈ ℓ1⊂ ℓ2 endlicher Breite (4.2). Diese endliche Breite macht oftmals eine Unterscheidung dicht benachbarter Linien unmöglich. Bei gleichen Linienbreiten besteht theoretisch die Möglichkeit, das Signal f durch "Dekonvolution" auf die ("unendlich schmale") Deltafunktion d zurück- und damit eine Trennung dicht benachbarter Linien herbeizuführen:
Af = d
  
(61)
bzw.
ℱ Ad  ● ℱ f = ℱ d
(62)
Es ergeben sich jedoch - selbst unter der wohlwollenden Annahme gleicher Linienbreiten - mindestens vier grundlegende Schwierigkeiten:
(  i) Weil ℱ d überall eins ist, darf ℱ f nirgends null sein. Diese Forderung beißt sich bei abgetasteten spektrometrischen Funktionen (Definition 4.2.3) mit den Forderungen des Samplingtheorems (Jerri 1977).
( ii) In der Regel ist ℱ f monoton fallend. Bilden wir zur Gewinnung von ℱ Ad den Kehrwert von ℱ f
ℱ Ad = ℱ d / ℱ f ,
  
(63)
so führt das offensichtlich zu einem Digitalfilter A mit sehr hoher Rauschverstärkung bei besonderer Betonung der höheren Frequenzen.
(iii) Ist das Spektrum z. B. durch Abtastung eines kontinuierlichen Signals hervorgegangen, muss sichergestellt sein, dass sämtliche Linienmaxima auch in der Abtastung noch vorkommen.
(iv) A ist in der Regel infinit, also nicht exakt realisierbar.
Reine Dekonvolution bzw. Inversfilterung scheidet damit als Verfahren zur Auflösungsverbesserung verrauschter Spektren aus. Dagegen mag es manchmal sinnvoll sein, die exakte Dekonvolution so abzuändern, dass sich die Linienbreite bei gleichzeitiger Glättung ein bisschen verringert oder wenigstens nicht allzusehr erhöht. Wir wollen das am Beispiel der Krawtchoukapproximation erläutern und betrachten eine symmetrische Linie f mit der um den Nullpunkt taylorentwickelbaren Fouriertransformierten
ℱ f(ω) = 1 + α2ω2 + α4ω4 + ... =
 
∞
 
∑
 
n=0
α2nω2n
 
(64)
wobei wir α0 = 1 setzen. Wie beim Differenziator (Beispiel 3.3.1) ist zunächst eine finite Vorapproximation gM von g ≔ ℱ -1(ℱ f)-1 zu suchen, so dass
M
Λ
m=0
(ℱ gM)(m)(0) = (ℱ g)(m)(0) .
 
(65)
(ℱ g)(m)(0) ergibt sich aus (ℱ f)-1 durch Anwendung elementarer Differenziationsregeln, z. B.
(ℱ g)(0) = 1/(ℱ f)(0)
  
(66)
(ℱ g)'(0) = ((ℱ f)-1)'(0) = -(ℱ f)'(0)/(ℱ f)2(0) .
(67)
Die ungeraden Ableitungen müssen wegen der geforderten Symmetrie in allen Fällen an der Stelle null verschwinden. Mit Hilfe von (65) kann ein gM ∈ Wℓ bestimmt werden und damit auch PM(∞)gM . Z. B.  ist P2(∞)g2 ∈ Wℓ gegeben durch
P2(∞)g2[n] =
6N - (2 + 8α2)N - (4N -16α2)n2
22N2N(2N - 1)
(
2N
N - n
)
 
(68)
In Abbildung 3.4.1 ist der Frequenzgang ℱ P2(∞)g2 für α2 = -1 und N=1,2,3,...,10 dargestellt.

Abbildung 3.4.1: Frequenzgang des Auflösungsverbesserers

Es gilt:
g2[n] =
{
1 - 2α2 n = 0
α2 n = ±1
0 sonst
 
(69)
(ℱ g2)(ω) = 1 - 2α2 + 2α2cos(ω)
(70)
N = 1 ⇒P2(∞)g2 = g2
(71)
Im obigen Verfahren wird nur die Existenz der 1- bis M-ten Ableitungen des Originalfrequenzgangs und die Forderung (ℱ f)(0) ≠ 0 benötigt. Es sind deshalb pathologische Fälle denkbar, in denen (ℱ f)-1 existiert, nicht aber gM (z. B. Lorentzfunktion, Satz 4.2.3) und Fälle, in denen gM existiert, nicht aber (ℱ f)-1 (z. B. wenn ℱ f außerhalb des Nullpunkts Nullstellen hat). Die Vorapproximation g2 hat im Vergleich zu höheren Approximationen den Vorteil, dass durch Änderung  eines Parameters (α2) verschiedene Linienformen erfassbar sind. Berücksicht man, dass der auflösungsverbessernde Effekt auf einer Verbreiterung des Signals im Frequenzbereich beruht, was dann im "Zeitbereich" ℓ2 eine Reduzierung der Breite zur Folge hat, so ist klar, dass sich das Filter für alle spektrometrischen Funktionen (Definition 4.2.3) einsetzen lässt.
Abbildung 3.4.2 zeigt ein verrauschtes Signal, das zwei dicht benachbarte visuell nicht mehr aufgelöste Gaußlinien (f[k] = exp(-(k+7)2/100) + exp(-(k-7)2/100)) enthält und eine Filterung mit dem glättenden Auflösungsverbesserer (obere Kurve. Die Filterparameter sind N = 15 und α2 = 25 .

Abbildung 3.4.2: Glättende Auflösungsverbesserung

3.5 Trigonometrische Filter

Wir wählen als Hilbertraum ℋ den Raum der komplexen finiten Funktionen Wℓℂ , ausgestattet mit dem Skalarprodukt
<f,g> ≔
 
n
 
∑
 
n
f[n]g*[n]
 
(72)
und der zugehörigen Norm
||f||2 ≔ <f,f>
  
(73)
Der Projektor (3) sei gegeben durch
JPJ : f↦
 
j∈J
 
∑
 
j∈J
<f,ej>ejj
 
(74)
wobei ejorthonormale trigonometrische Funktionen der Form
 
N
 
Λ
 
j,n=-N
ej[n] ≔ (2N + 1)-½exp((-2πijn/(2N + 1))
 
(75)
sind und die Indexmenge J eine beliebige Untermenge von
J̅̅ ≔ {-N,...,N}
  
(76)
ist mit der zusätzlichen Eigenschaft
j ∈ J  ⇒  -j ∈ J  .
  
(77)

Diese zusätzliche Eigenschaft bewirkt, dass für alle reellen h ∈ Wℓℂ auch PJh reell ist.
Die ej sind eine symmetrische Version der bei der finiten Fouriertransformation auftretenden Exponentialfunktionen (Papoulis 1977 p80).
Das Analogon zu den Sätzen 3.2.1, 3.3.2 und 3.4.1 ist
 
Satz 3.5.1
Sei h ∈ Wℓℂ und ℱN : Wℓℂ → Wℓℂ  die durch
N
Λ
n=-N
ℱNh[n] ≔ <h,e-n>
 
(78)
definierte finite Fouriertransformation, dann gilt
JPJS = SPJ
  
(79)
j∈J
Λ
j∈J
ℱNPJh[j] = ℱNh[j]
(80)
j∈J
Λ
j∈J
NℱNPJh(2πj/(2N + 1)) = (ℱ h)(2πj/(2N + 1)) .
(81)

Der Erhaltung der Momente bei der Hahnapproximation entspricht hier die Erhaltung der finiten Fouriertransformierten an den Stellen j ∈ J, was der Erhaltung des Frequenzgangs an den Stellen 2πj/(2N + 1) gleichkommt. Während sich die Erhaltungseigenschaften bei den polynomialen Approximationen auf den Nullpunkt des Frequenzgangs ℱ h konzentrieren, findet hier eine äquidistante Verteilung über den gesamten Frequenzgang statt, wodurch sich zusätzliche Möglichkeiten ergeben (Zschunke 1973).
 
Beispiel 3.5.1: Trigonometrischer Tiefpass
Um einen glättenden Tiefpass zu konstruieren, approximieren wir die Filterfunktion d des Einheitsfilters, währen die Indexmenge
J ≔ {-M,...,M}
  
(82)
und erhalten
JPJd[n] = 
1
√(2N + 1)
 
M
 
∑
 
m=-M
em[n]m=
{
0 |n| > N
(2M + 1)/(2N + 1) n = 0
sin((2N + 1)πn/(2N + 1))
(2N + 1)sin(ω/2 + πn/(2N + 1))
sonst
 
(83)
Der Tiefpass mit der Filterfunktion PJd hat die Rauschverstärkung (weißes Rauschen):
||PJd||2 = <PJd,PJd> = <d,PJd> = PJd[0] = (2M + 1)/(2N + 1)
  
(84)
und den Frequenzgang
 
ω
 
Λ
 
ω
Jℱ PJd(ω) =
 
M
 
∑
 
m=-M
sin((2M + 1)ω/2 + πm)
(2N + 1)sin(ω/2 + πm/(2N + 1))
 
(85)
Anders als bei den Hahnfiltern können hier duch einfache Änderung der Indexmenge J auch Hoch- und Bandpässe gewonnen werden. Die trigonometrischen Filter gehören zu den Frequenzabtastfiltern, siehe 2.4.

3.6 Weitere Filtertypen

Der vorgestellte Formalismus zum Entwurf optimaler Digitalfilter vereinigt nicht nur bisherige Lösungsansätze (Blum 1957, Morrison 1967, Hildebrand 1974 p357, Bromba 1978, Savitzky/Golay 1964, Lanczos 1956, Borgan 1979) oder gestattet explizite Darstellungen der Filterfunktion (Bromba 1978, Bromba/Ziegler 1980), er erlaubt auch sinnvolle Neuschöpfungen (z. B. glättende Auflösungsverbesserer). Zusätzliche Möglichkeiten ergeben sich durch die Wahl anderer Hilberträume und anderer Orthononalsysteme. So beschreibt (Morrison 1967) im Prinzip die Approximation der Einheitsfilterfunktion durch (einseitig infinite) exponentiell gewichtete diskrete Laguerrepolynome und gibt eine Rekursivdarstellung seiner Filter an.

Auf sehr einfache Weise führen unitäre Transformationen eines Orthonormalsystems zu einem neuen Orthonormalsystem mit neuen Approximationseigenschaften. Beispiele sind S, T und U (siehe 1.5 und dort (15)). Wenden wir die Hochpass ↔ Tiefpasstransformation U auf die Hahnpolynome an, so erhalten wir Digitalfilter, die bzgl. einer mit UHLU-1 gewichteten Norm optimal sind und den Frequenzgang nicht an der Stelle null sondern an der Stelle π erhalten. Ist eine Frequenzgangerhaltung an der Stelle π/2 erwünscht, kann man nacheinander die Transformationen U und V auf die Hahnpolynome anwenden. Allerdings bedingt die Transformation VU gleichzeitig den Übergang zu einem neuen Hilbertraum, wir haben Wℓ durch VWℓ zu ersetzen. Beide Transformationen (U und VU) ermöglichen mit den Hahnpolynomen wiederum exakt berechenbare Rekursivdarstellungen.

4 Polynomfilter zur Glättung spektrometrischer Signale

4.1 Einführung

Im folgenden spezialisieren wir uns auf die Glättung spektrometrischer Signale (Spektren). Die Glättung stellt hier neben der Auflösungsverbesserung und der Differenziation die wichtigste Filteroperation dar und dürfte in der Praxis auch am häufigsten angewendet werden. Unter Glättung (einer Kurve) verstehen wir das "Einebnen" von schnellen Änderungen des Kurvenverlaufs, wie sie insbesondere beim Rauschen, das für den statistischen Fehler einer Messung verantwortlich ist, auftreten. Langsame Änderungen sollen möglichst erhalten bleiben, da sie im wesentlichen den Signalanteil des Spektrums verkörpern. Abbildung 4.7.1 (Seite 76) veranschaulicht den Effekt einer Glättung am Beispiel eines ENDOR-Spektrums.

Die Vorteile digitaler Filterungen gegenüber analogen haben wir bereits in der Einleitung (Seite 3 und 4) beschrieben, so dass wir uns an dieser Stelle auf die Zusammenfassung der speziellen Vorteile von (digitalen) Polynomfiltern beschränken können.
Wenn es um die Glättung spektrometrischer Kurven geht, besitzen Polynomfilter eine Reihe von bedeutsamen Eigenschaften, die ihnen eine herausragende Stellung sichern - auch wenn im speziellen Einzelfall vielleicht nur suboptimale Ergebnisse erzielt werden können:

(  i) Implementierungsaufwand:
Exakt signalsymmetrieerhaltende Polynomfilter können als rekursive Digitalfilter realisiert werden.

( ii) Signalanpassung:
Spektrometrische Signale lassen sich in beidseitig begrenzten Bereichen sehr gut durch Polynome approximieren. Das bezüglich des Signal-Rausch-Verhältnisses optimale Digitalfilter für polynomiale Signale ist ein Polynomfilter.

(iii) Variabilität:
Die im folgenden entwickelten Polynomfilter zeichnen sich durch das Vorhandensein geschlossener Formeln für die Filterfunktion aus. Diese Formeln enthalten nur elementare Rechenoperationen. Damit ist die Filterstärke beliebig variierbar. Polynomfilter sind deshalb in der Regel einfach zu programmieren.

4.2 Struktur spektrometrischer Signale

In der Regel lassen sich Emissions- und Absorptionsspektren idealisiert als Supersposition von Gauß- und Lorentzfunktionen (Linien, Peaks) verschiedener Amplitude (Wert des Maximums), Lage (Position des Maximums) und Breite (z. B. Halbwertsbreite) beschreiben. Da wir Spektren nur linearen und translationsinvarianten Operationen unterwerfen wollen, genügt es, wenn wir unsere Untersuchungen auf zentrierte Einzellinien der Amplitude eins beschränken.
 
Definition 4.2.1
f ∈ ℓ heißt Gaußfunktion der Breite β > 0, wenn
f : n ↦ exp(-n2/β2)
  
(1)
f ∈ ℓ heißt Lorentzfunktion der Breite β > 0, wenn
f : n ↦ 1/(1 + n2/β2)
  
(2)

Abbildung 4.2.1 zeigt den prinzipiellen Verlauf einer Lorentzfunktion (obere Kurve) und einer Gaußfunktion (untere Kurve). Die wichtigsten Merkmale der Gauß- und Lorentzfunktionen sind Absolutsummierbarkeit, Symmetrie, Infinität und Monotonie, wie sich im folgenden zeigen wird.

Abbildung 4.2.1: Lorentz- und Gaußfunktion (β = 10)
 
Definition 4.2.2
Eine symmetrische Funktion f ∈ ℓ2 heißt ℓ2-monoton, wenn
∞
Λ
n=0
f[n] ≥ f[n+1]
 
(3)
Eine symmetrische Funktion f ∈ ℓ2 heißt ℒ2-monoton, wenn für alle α, β ∈ [0,π] mit 0 ≤ α ≤ α + β ≤ π
ℱ f(α) ≥ ℱ f(α + β)
  
(4)

Unter monoton verstehen wir also, dass eine Funktion im Nullpunkt ein Maximum hat und jenseits des Nullpunkts auf beiden Seiten monoton abfällt.
 
Satz 4.2.1
Sei fβ eine Gaußfunktion der Breite β > 0, dann gilt für alle ω∈]-π,π]
Jℱ fβ(ω)=π½βexp(-(βω/2)2)+2π½β
 
∞
 
∑
 
n=1
exp(-β2(ω2+4π2n2)/4)cosh(β2πωn)2
 
(5)

Beweis: Poisson-Summationsformel (Edwards 1979 p182).
Die Bedeutung von Satz 4.2.1 liegt in der Möglichkeit, eine einfache Näherung für ℱ fβ zu finden, wenn β groß genug ist, weil dann der zweite Term in (5) sehr klein wird:

ℱ fβ(ω) ≈ π½βexp(-(βω/2)2)
  
(6)
Die rechte Seite von (6) ist das Ergebnis des kontinuierlichen Falls, der bereits durch β = 10 sehr gut angenähert wird.
Weiterhin lassen sich aus Satz 4.2.1 mit Hilfe von Satz 1.4.1 alle Momente und die Normen bestimmen:
 
Satz 4.2.2
Sei fβ eine Gaußfunktion der Breite β > 0, dann gilt
Jμ0(fβ) = ||fβ||1 = π½β + 2π½β
 
∞
 
∑
 
n=1
exp(-β2π2n2)2
 
(7)
||fβ||2 = (π/2)½β + (2π)½β
 
∞
 
∑
 
n=1
exp(-β2π2n2/2)2
(8)

Die Näherungen für große β (β > 1) lauten

μ0(fβ) ≈ π½β
  
(9)
und
||fβ||2 ≈ (π/2)½β
(10)
Die Halbwertsbreite (HWB) der Gaußfunktionen beträgt
und
HWB = 2(ln(2))½β .
  
(11)
Satz 4.2.3
Sei fβ eine Lorentzfunktion der Breite β >0, dann gilt
 
ω
 
Λ
 
ω
Jℱ fβ(ω) =
πβcosh((π - |ω|)β)
sinh(πβ)
 
(12)

Beweis: Poisson-Summationsformel (Edwards 1979 p182) oder (Hansen 1975, 17.3.7).
Die Fouriertransformierte der Lorentzfunktion sieht zwar sehr viel einfacher aus als die der Gaußfunktion; dafür ist die kontinuierliche Näherung für große β ,

ℱ fβ(ω) ≈ πβexp(-|ω|β)
  
(13)
nur zu gebrauchen, wenn |ω| nicht in der Nähe von π liegt. Dort gilt nämlich
ℱ fβ(ω) ≈ 2πβexp(-|ω|β)
  
(14)
Weiterhin ist die Fouriertransformierte an der Stelle null nicht differenzierbar; es existiert nur das nullte Moment.

Abbildung 4.2.2: Fouriertransformierten von Gauß- und Lorentzfunktion (β = 10)
 
Satz 4.2.4
Sei fβ eine Lorentzfunktion der Breite β >0, dann gilt
μ0(fβ) = ||fβ||1 = πβcoth(πβ)
  
(15)
||fβ||2 = πβ(coth(πβ) + πβ(sinh(πβ))2)/2
(16)

Beweis: Satz 1.4.1 und (Hansen 1975, 6.1.126).
Die Näherungen für große β sind

μ0(fβ) ≈ πβ
  
(17)
und
||fβ||2 = πβ/2 .
(18)
Die Halbwertsbreite beträgt bei Lorentzfunktionen
und
HWB = 2β .
  
(19)
Zur Beurteilung der Wirkung von Digitalfiltern auf Spektren sind die folgenden gemeinsamen Eigenschaften von Gauß- und Lorentzfunktionen von Bedeutung:
 
Satz 4.2.5
Für Gauß- und Lorentzfunktionen fβ der Breite β > 0 gilt:
(   i) fβ ist symmetrisch    
(  ii) fβ ist ℓ2 - monoton
( iii)
n
Λ
n
fβ[n] > 0β
 
(20)
( iv) fβ ist ℒ2 - monoton
(  v)
ω
Λ
ω
ℱ fβ(ω) > 0β
(21)
( vi)
β→0
lim
β→0
fβ[n] = dβ bzgl || ||1, || || und || ||∞β
(22)
(vii)
n
Λ
n
β→∞
lim
β→∞
fβ[n] = 1β
(23)
Definition 4.2.3
fβ ∈ ℓ1 heißt spektrometrische Funktion der Breite β > 0, wenn fβ[0] > 0 und wenn fβ/fβ[0] die Eigenschaften (i) bis (vii), Satz 4.2.5, erfüllt.

Man beachte, dass Additionen und Faltungen spektrometrischer Funktionen wieder spektrometrische Funktionen ergeben.

4.3 Glättung spektrometrischer Signale

Ein Spektrum als reine Überlagerung von Gauß- oder Lorentzfunktionen stellt eine Idealisierung dar, die in der Praxis regelmäßig durch das Vorhandensein statistischer Fehler gestört wird. Wir betrachten hier nur den Fall, dass das gestörte spektrometrische Signal s̃ ∈ ℓ als zusätzlichen additiven Bestandteil zum Signal s ∈ ℓ ein Rauschen r ∈ ℓ enthält.
s̃ = s + r
  
(1)
Insbesondere nehmen wir an, dass das Rauschen r vom Signal s statistisch unabhängig ist und den Mittelwert null hat. Weiterhin fordern wir Ergodizität ("Scharmittel" = "Zeitmittel"). (All diese Voraussetzungen werden z. B. vom poissonverteilten Rauschen eines durch Photonenzählung gewonnenen Spektrums nicht erfüllt. Eine Methode zur Aufbereitung solcher Signale schlägt (Inouye 1971) vor).
In der Regel tritt das Rauschen rgaußverteilt auf. Der "Grund" dafür ist der Zentrale Grenzwertsatz der Statistik, dem auch viele spektrometrische Linien ihre Form verdanken. Von der Form der Rauschverteilung werden wir jedoch keinen Gebrauch machen müssen. Zur Beschreibung des Rauschens genügt in unserem Fall die Autokorrelationsfunktion Θr , die wir mit Hilfe des (Auto-) Korrelationsoperators Θ definieren:
m
Λ
m
Θr[m] ≡ 
 
n→∞
 
lim
 
n→∞
1
2n +1
n
∑
k=-n
r[k]r[m+k]
 
(2)
Als Maß für die mittlere Amplitude des Rauschens dient die Standardabweichung σ(r), die sich wiederum aus der Varianz σ2(r) ergibt
σ2(r) ≡ Θr[0]
  
(3)
Von besonderer Bedeutung ist das sogenannte weiße Rauschen r mit der Korrelationsfunktion
Θr = σ2(r)d ,
  
(4)
die sich einfach handhaben lässt und die Realität häufig mit ausreichender Genauigkeit beschreibt.

Ziel einer Glättungsoperation A soll es sein, die mittlere Rauschamplitude und damit den statistischen Fehler zu reduzieren, ohne dabei das Signal wesentlich zu verfälschen:

As̃ = A(s + r) ≈ s
  
(5)
Besteht das Signal s aus einer Überlagerung von spektrometrischen Linien unbekannter, aber physikalisch relevanter Amplituden, so ist es sinnvoll, den Glättungsoperator A linear zu wählen, um schlecht determinierbare Effekte zu vermeiden. Sind auch die Linienlagen unbekannt, muss zusätzlich Translationsinvarianz gefordert werden. Beide Bedingungen zusammen führen zum Einsatz von Digitalfiltern (Definition 1.6.1, Satz 1.6.1). Die Linearität gestattet eine getrennte Betrachtung der Wirkung des digitalen Glättungsfilters auf das Signal s und das Rauschen r. Liegt s̃ als zeitkontinuierliche Messung vor, käme theoretisch auch eine Analogfilterung in Frage. Eine Analogfilterung scheidet jedoch (außer vielleicht für die Vorfilterung einer zu diskretisierenden Messung) aus, da es keine nichttrivialen (RCL-) Analogfilter gibt, die die Symmetrie und damit die Lage einer einzelnen Spektrallinie erhalten können.

Leider ist die Reduzierung des statistischen Fehlers unter den genannten Voraussetzungen immer mit einer Signaldeformation, d. h. der Einführung eines systematischen Fehlers verbunden. Es ist deshalb ein zentrales Problem, das Digitalfilter so zu wählen, dass der Gesamtfehler, wie auch immer er definiert sein mag, einen möglichst niedrigen Wert annimmt. Erschwert wird diese Wahl in der Praxis dadurch, dass vom Signal s nur einige allgemeine Eigenschaften als bekannt vorauszusetzen sind (z. B. Monotonie der Einzellinien, Satz 4.2.5).

Der systematische Fehler äußert sich am allgemeinsten in der Formänderung einer Einzellinie, in deren Gefolge sich als spektroskopisch relevante Größen Amplitude, Halbwertsbreite, Momente und Symmetrie (Lage!) dieser Linien ändern können. Symmetrieverfälschungen lassen sich durch Anwendung symmetrischer Digitalfilter ausschließen, auf die wir uns deshalb im folgenden beschränken wollen. Auch exakte Momentenerhaltung ist bis zu einem vorwählbaren Grad möglich, wie wir sehen werden.

Eine Methode zur Erfassung des "globalen" systematischen Fehlers besteht in der Berechnung einer der Ausdrücke

||f - Af||1  
(6)
||f - Af||2
(7)
oder ||f - Af||∞
(8)
Es zeigt sich, dass der  Maximalfehler (8) wider alle Erwartung unter gewissen Bedingungen am einfachsten zu handhaben ist.
 
Satz 4.3.1
Sei A ein symmetrisches Digitalfilter, dessen Frequenzgang nirgends den Wert eins überschreitet:
 
ω
Λ ℱAd(ω) ≤ 1
 
ω
 
(9)
Dann gilt für alle spektrometrischen Funktionen f
||f - Af||∞ = f[0] - Af[0]
  
(10)
d. h. die größte Abweichung der spektrometrischen Funktion f von ihrer Filterung Af findet im Nullpunkt (am Ort ihres Maximums) statt.

Aus Satz 4.3.1 geht insbesonder hervor, dass das Maximum des gefilterten Signals unter den gewählten Bedingungen niemals größer als das des ungefilterten sein kann. Eine ähnliche Aussage können wir auch mit Hilfe des folgenden Satzes gewinnen.
 
Satz 4.3.2
Für alle a ∈ ℓ1 und f ∈ ℓ1, welche die Ungleichungen
 
ω
ω
Λ ℱ a(ω) ≤ ℱ a(0) und Λ ℱ f(ω) ≥ 0
 
ω
ω
 
(11)
oder die Ungleichungen
 
k
k
Λ f[k] ≤ f[0] und Λ a[k] ≥ 0
 
k
k
 
(12)
erfüllen, gilt
<a,f> ≤ μ0(a)<d,f>
  
(13)

Die Änderung des statistischen Fehlers ergibt sich mit Hilfe der Korrelationsfunktionen des gefilterten und des ungefilterten Rauschens, deren Fouriertransformierten durch die Gleichung

ℱ ΘAr = |ℱAd|2 ● ℱ Θr
  
(14)
verknüpft sind. Da sich die Varianz σ2(r) in der Form
1σ2(r) = Θr[0] = (2π)-1
 
∫
ω
ℱ Θr(ω)dω
 
(15)
darstellen lässt, folgt aus (14) und (4) für die Änderung der mittleren Rauschamplitude weißen Rauschens
σ(Ar) = ||Ad|| σ(r) ,
  
(16)
wodurch sich die Norm der Filterfunktion Ad zu einer Größe von erheblicher Bedeutung profiliert. Von einem glättenden Digitalfilter A wird man erwarten dürfen, dass die "Rauschverstärkung" ||Ad|| einerseits kleiner als eins ist, andererseits aber gewisse Signaleigenschaften erhalten bleiben. Wir wählen wie üblich (Greville 1974) als Minimalforderung die Flächenerhaltung eines absolutsummierbaren Signals, die nach Satz 1.6.4 eintritt, wenn das nullte Moment der Filterfunktion bzw. der Frequenzgang an der Stelle null genau eins ist. Damit ist gleichzeitig gewährleistet, dass eine beschränkte konstante Funktion (d. h. ein Polynom nullten Grades in ℓ) das Digitalfilter unverändert passiert. Die folgende Definition geht auf I.J. Schoenberg (Prolla 1979 p383) zurück.
 
Definition 4.3.1
Wir nennen ein symmetrisches Digitalfilter A ein Glättungsfilter, wenn der Betrag des Frequenzgangs außerhalb des Nullpunkts kleiner als eins ist und im Nullpunkt den Wert eins erreicht:
 
ω∈]-π,π]\{0}
Λ
 |ℱAd(ω)| < 1 ,  μ0(Ad) = 10
 
ω∈]-π,π]\{0}
 
(17)

Offenbar ist damit die Rauschverstärkung eines Glättungsfilters stets kleiner als eins.

Nach Definition 4.3.1 haben wir es bei Glättungsfiltern in der Regel mit digitalen Tiefpässen zu tun. Ein Tiefpass lässt sich vorteilhaft zur Glättung einsetzen, wenn das Signal niedrigfrequenter Natur ist und die Störungen sich mehr oder weniger gleichmäßig über den gesamten Frequenzbereich |ω| ≤ π erstrecken. Die Störung kann dann "oberhalb" des Signalanteils "abgeschnitten" werden. Da Signal und Rauschen in unserem Fall nicht in disjunkten Frequenzbereichen angesiedelt sind, ist klar, dass der ideale Tiefpass in der Spektrometrie nicht das optimale Glättungsfilter darstellt. Bei der Beurteilung unserer Glättungsfilter sind deshalb andere Maßstäbe anzulegen als in der üblichen Filtertheorie. Eine Diskussion dieser Unterschiede findet man in (DeBlasi et al. 1975).

Farbiges (d. h. nichtweißes) Rauschen lässt sich wie vorgefiltertes weißes Rauschen behandeln:

σ(ABr) = ||ABd||σ(r)
  
(18)
woebei B das (eventuell fiktive) digitale Vorfilter ist. Im Fall der Invertierbarkeit von B*B in ℓ2 kann die Rauschverstärkung durch die gewichtete Norm || ||B*B beschrieben werden (Definition 1.4.2):
σ(ABr) = ||Ad||B*Bσ(r)
  
(19)
Betrachtet man ausschließlich finite Digitalfilter A mit Ad ∈ Wℓ, genügt es, wenn WB*BW auf Wℓ invertierbar ist (Matrixinversion).

4.4 Gram- und Hahnglättungsfilter

Zur Berechnung der Filterfunktion glättender Hahnfilter (aLM) approximieren wir die Filterfunktion d des Einheitsfilters gemäß Abschnitt 3.3 durch Anwendung des dort definierten "Hahnprojektors" PM(L) (L,M ∈ ℕ0) .
aLM ≔ P2M(L)d
  
(1)
und erhalten
LMaLM = 
 
M
 
∑
 
m=0
pm(L)[0]
||pm(L)||CL2
CLpm(L)  ,
 
(2)
wobei der Operator CL die punktweise Multiplikation mit der festen Funktion
n ↦
 
L
 
∏
 
k=1
((N+k)2 - n2)
 
(3)
beschreibt.
Wegen der Antisymmetrie der Hahnpolynome pm(L) im Falle ungeraden Grades m gilt
<d,p
(L)
2M+1
> = p
(L)
2M+1
[0] = 0
 
(4)
Daraus folgt
P
(L)
2M
d = P
(L)
2M+1
d
(5)
und damit
LMaLM = CL
 
M
 
∑
 
m=0
p2m(L)[0]
||p2m(L)||CL2
p2m(L)  .
(6)
(6) läßt sich mit Hilfe der Christoffel-Darboux-Formel (Chihara 1978 p23) weiter vereinfachen:
aLM = αLMCLq2M(L)  ,
  
(7)
wobei das Polynom 2M-ten Grades q2M(L) durch
n
Λ
n
nq2M(L)[n] ≔ p
(L)
2M+1
[n]
 
(8)
definiert ist.

Die Konstante αLM läßt sich mit Hilfe der Bedingung

1 =
 μ0(aLM)  
=
 <p0(L),aLM>
=
 αLM<p0(L),q2M(L)>CL
(9)
bestimmen, wobei <p0(L),q2M(L)>CL schrittweise aus der Rekursionsformel für die speziellen Hahnpolynome pm(L),
pm(L)[n] = m-1(m+2L)-1(m+L)(2m+2L-1)npm-1(L)[n] - m-1(m+2L)-1(m+L)(m+L-1)(N-m/2)(N+m/2+L)pm-2(L)[n]
  
(10)
mit p-1(L)[0] ≔ 0 und p0(L)[n] ≔ 1, gewonnen werden kann. Wir erhalten
αLM-1 = (-1)MβLM
 
M
 
∏
 
m=1
((2N+2L+2m+1)(2N-2m+1)) 
 
2L+1
 
∏
 
K=1
(2N+k)
 
(11)
MβLM ≔ M!(M+L)!(2M+L+1)!/((2M+1)!(2N-2m+1)!)
Die endgültige Formel heißt dann
LMaLM =
{
L
LαLM
∏
 ((N+k)2-n2)q2M(L)[n]
k=1
falls |n| ≤ N
L0 sonst
 
(12)
Die Rekursionsformel (10) läßt sich mit Hilfe geeigneter Substitutionen (Chihara 1978 p 215) aus der in (Karlin/Mc Gregor 1961) angegebenen allgemeinen Rekursionsformel ableiten. Das zur Filterfunktion aLM gehörende Digitalfilter wollen wir mit ALM bezeichnen. Zum Vergleich sei eine von W. F. Sheppard 1913 (Greville 1966) mit klassischen Methoden entwickelte Darstellung angegeben, die allerdings die Filterfunktion aLM nur implizit enthält und deshalb in der Praxis kaum anwendbar ist:
ALM = I + (-1)M(M!)-1
 
N
 
∑
 
n=M+1
γn(T-1 - 2I + T)n
 
(13)
n-1
γn≔ 
∏
 ((N-m)(L+N+m+1)/(2L+2M+2m+3))/(n2n(n-M-1)!)n
 
m=0
Im Fall L=0 (Gramapproximation) erhalten wir die bekannten Savitzky-Golay-Glättungsfilter (Savitzky/Golay 1964). Der Grenzfall L= ∞ (Krawtchoukapproximation) ist in (Bromba/Ziegler 1980) abgehandelt.
Die wichtigsten Eigenschaften der Hahnglättungsfilter ALM fassen wir in Satz 4.4.1 zusammen.
 
Satz 4.4.1
Sei ALM das Digitalfilter mit der Filterfunktion aLM, (1), dann gilt für alle L ∈ ℕ0
(  i) ALM erhält alle Polynome pm ∈ ℓ bis m=(2M+1)-ten Grades
2M+1
Λ
m=0
ALMpm = pmm
 
(14)
( ii) ALM erhält alle existierenden Momente μm(f) einer Funktion f ∈ ℓ  bis m=2M+1:
2M+1
Λ
m=0
μm(ALMf) = μm(f)m
 
(15)
(iii) ALM ist symmetrisch
∞
Λ
M=0
ALMS = SALMm
 
(16)
( iv) Von allen finiten symmetrischen Digitalfiltern A mit Filterfunktion Ad ∈ Wℓ hat ALM unter den Nebenbedingungen der Polynomerhaltung (14) oder der Momentenerhaltung (15) die kleinste gewichtete Rauschverstärkung ||ΔLAd||
(  v) ALM ist für alle M < N (ALMd ∈ WNℓ) ein Glättungsfilter (Definition 4.3.1)
( vi) Das (2M+2)-te Moment der Filterfunktion aLM beträgt
μm(aLM) = α1α2/(α3α4)
  
(17)
2α1≔ 2(-1)M(2M+1)!(2M+1+L)!(2M+1+2L)!
2M+1
2α2≔ 
∏
 ((N-m/2+1/2)(N+m/2+1/2+L)
 
m=1
2α3≔ M!(M+L)!(4M+2L+3)!
M
4α4≔ 
∏
 ((N-m+1/2)(N+m+1/2+L)
 
m=1

Beweis: (i) und (ii) sind äquivalent und folgen zum Teil aus Satz 1.6.4 und Satz 3.3.2. (iii) ist der Symmetrie der Hahnpolynome pm(L) geraden Grades (siehe Anhang) zu verdanken. (iv) folgt aus Satz 3.1.2. (v) wurde in (Greville 1966) bewiesen. (vi) ist mit Hilfe der Rekursionsformel (10) und vollständiger Induktion zu beweisen.

(17) ist nützlich zur approximativen Berechnung der Signaldeformation bei schwacher Filterung (DeBlasi et al. 1975) und des Frequenzgangs in der Nähe von null.

Im Fall M=0 erhalten wir relativ einfach darstellbare ℓ2 - monotone Filterfunktionen

aL0[n] =
L
(2L+1)!
∏
 ((N+k) - n2)2
 
k=1
2L+1
L!L!
∏
 (2N+k)
 
k=1
 
(18)
μ0(aL0) = ||aL0||1 = 1
(19)
μ2(aL0) = N(N+L+1)/(2L+3)
(20)
Digitalfilter mit ℓ2 - monotoner Filterfunktion haben verschiedene Vorteile, wenn man auf die Erhaltung höherer Momente verzichten kann (4.7):
(  i) Die Filterung eines ℓ2 - monotonen Signals bleibt immer ℓ2 - monoton; insbesondere können keine Nebenmaxima auftauchen, um nichtvorhandene Linien vorzutäuschen.
( ii) Aufgrund von (19) und Satz 1.6.2 erhalten diese Digitalfilter den Zahlenwertbereich.
(iii) Unter der Voraussetzung, dass die Filterfunktion a nicht in W0ℓ liegt (wie z. B. beim Einheitsfilter), kann man mit Hilfe der Normierung a ↦ a/μ0(a) stets ein Glättungsfilter gewinnen.
Die Rauschverstärkung für weißes Rauschen läßt sich im Fall L=0 (M beliebig) dank der Eigenschaften von Projektoren (Definition 1.5.2) auf einfache Weise berechnen:
||a0M||2 = <P2M(L)d,P2M(L)d> = <P2M(L)d,d> = a0M[0]
  
(21)
Ähnliches gilt bei höheren L leider nur für die gewichtete Rauschverstärkung:
||aLM||CL2 = aLM[0]
  
(22)
Im Fall M=0 führt die Berechnung der ungewichteten Norm nach längerer Rechnung zu
||a10||2 = 6(4N2+8N+5)/(5(2N+1)(2N+2)(2N+3))
  
(23)
und
||a20||2 = 40(4N4+24N3+53N2+51N+21)/(7(2N+1)(2N+2)(2N+3)(2N+4)(2N+5))
  
(24)
Bei größeren L hilft nur noch eine Näherung für große Filterbreiten N:
||aL0||2 ≈ (2L+1)!(2L+1)!(2L)!(2L)!/(L!L!L!L!(4L+1)!2N)
  
(25)
(Beweis: Man ersetze die Summen durch Integrale und berücksichtige bei Polynomen in N nur die höchste Potenz.)
Was die Rekursivdarstellung von ALM (N ≥ 3L + 3M + 1),
ALM = ALM' + ALM''ALM ,
  
(26)
betrifft, so ist zunächst festzustellen, dass ALM ein symmetrisches einfaches Polynomfilter K = (2L + 2M)-ten Grades ist (Definition 2.2.2). Es läßt sich also Satz 2.2.3 und die daraus abgeleitete Formel für symmetrische Polynomfilter anwenden, wobei wir mit 2(K + 1)=4M + 4L + 2 von null verschiedenen Koeffizienten ALM'd[n] und damit K + 1 = 2M + 2L + 1 Multiplikationen im "Nichtrekursivanteil" ALM' rechnen müssen. Da jedoch der Multiplikationsoperator CL in (6) bzw. (12) dafür sorgt, dass die Filterfunktion aLM an den Stellen n = ±(N+1) bis ±(N+L) auch dann null wäre, wenn das Polynom aLM ∈ Wℓ über ±N hinaus fortgesetzt würde, bleiben von den 4M + 4L + 2 Koeffizienten ALM'd[n] nur noch 4M + 2L + 2 übrig. Damit sinkt die Zahl der Multiplikationen im Nichtrekursivanteil ALM' auf 2M + L + 1.

4.5 Abgeleitete Glättungsfilter

Sind in einem Programmsystem wie z. B. "DATEN" (Eilebrecht 1973) zwei oder drei Glättungsfiltertypen fest vorgegeben, kann es sinnvoll sein, aus diesen weitere Filtertypen mit in speziellen Anwendungen vielleicht besseren Eigenschaften abzuleiten. Drei programmiertechnisch einfach zu realisierende Methoden zur Gewinnung neuer Digitalfilter aus alten sind:
(  i) Konvexkombination
( ii) "Stückweise Zusammensetzung"
(iii) Mehrfachanwendung
Unter Konvexkombination verstehen wir die spezielle gewichtete Addition zweier Digitalfilter B und C:
A ≔ αB + (1 - α)C
 0 ≤ α ≤ 1
(1)
Satz 4.5.1
Sind B und C Glättungsfilter, so ist für alle α mit
0 ≤ α ≤ 1
  
(2)
auch αB + (1 - α)C ein Glättungsfilter.

Der Raum der Glättungsfilter ist also ein konvexer Unterraum (Luenberger 1969 p17) des Vektorraums der Digitalfilter. Eine in diesem Zusammenhang interessante Beziehung zwischen Hahnfiltern ALM (siehe 4.4) findet sich bei (Greville 1966):

AL+1,M+1 = γLMALM + (1 - γLM)AL,M-1
  
(3)
mit
γLM≔ M(2N-2M+1)/((L+N+1)(2L+4M+1))
  
(4)
Im allgemeinen kann die Konstante α in (1) zur Erfüllung spezieller Forderungen an A genutzt werden. Z. B. kann
ℱAd(π) = 0
  
(5)
eine sinnvolle Forderung sein, wenn A eine gute Hochfrequenzunterdrückung aufweisen soll.

Unter "stückweiser Zusammensetzung" verstehen wir die Konvexkombination von Glättungsfiltern z. B. eines Typs, aber verschiedener Filterbreite (z. B. N). Wählen wir als Filtertyp das Mittelwertfilter A00, so erhalten wir ein Digitalfilter mit treppenförmiger Filterfunktion. Mit Treppenfunktionen lassen sich nicht nur Filterfunktionen approximieren, es sind auch momentenerhaltende Filter konstruierbar. Diese können im Prinzip noch einfach aussehen als die von (Giannelli/Altamura 1976) vorgeschlagenen.

So wie beim Mittelwertfilter A00 nur eine Multiplikation erforderlich ist, sind bei Digitalfiltern mit treppenförmiger Filterfunktion höchstens so viele Multiplikationen nötig, wie unterschiedliche Stufen auftreten. Will man auch die Zahl der Additionen noch verringern, bietet sich eine Rekursivdarstellung an. Diese hat den gleichen "Rekursivanteil" A'' wie der Grundfiltertyp. Nur der Nichtrekursivanteil A' erweitert sich entsprechend der Zahl der Schnittstellen der Filterfunktion.

In vielen Fällen kann sich eine Mehrfachfilterung als brauchbar erweisen (Yule 1972, Edwards/Willson 1976, Arsenault/Marmet 1977, Proctor/Shervood 1980). Mehrfachfilterung AK läßt sich durch ein Digitalfilter beschreiben, dessen Filterfunktion aus der (K-1)-mal miteinander gefalteten Filterfunktion Ad besteht. Noch einfacher sieht die Darstellung im Frequenzraum ℒ2' aus, wo der resultierende Frequenzgang die K-te Potenz des Frequenzgangs ℱAd ist.
 
Satz 4.5.2
Sei A ein Glättungsfilter. Dann ist auch BK ≔ AK für alle K ∈ ℕ ein Glättungsfilter.

Die asymptotischen Eigenschaften von BKd, K→∞, sind in (Schoenberg 1948) beschrieben worden; siehe auch (Schoenberg 1979 p383, Greville 1966).

Zur Gewinnung einer Rekursivdarstellung können wir Satz 2.3.1 anwenden.

Man beachte, dass die Mehrfachanwendung eines einfachen Polynomfilters ebenso wie die stückweise Zusammensetzung keine einfachen Polynomfilter bildet. So ist z. B. die zweifache Mittelwertfilterung durch eine dreieckformige Filterfunktion charakterisiert. Es hat sich nicht nur der Polynomgrad erhöht, auch die Zahl der Schnittstellen ist um eine bereichert worden. Derlei Effekte sind allerdings, wenn es um die Rekursivdarstellung geht, in Satz 2.3.1 schon berücksichtigt.

4.6 Eigenschaften glättender Polynomfilter

Der Einfluß von Glättungsfiltern auf statistische und systematische Fehler bei spektrometrischen Signalen ist in den Arbeiten (Ernst 1966, Willson/Edward, 1976, Enke/Nieman 1976, Bromba 1978, Tominaga et al. 1972, DeBlasi et al. 1975, Ziegler 1981) teilweise recht ausführlich beschrieben worden. Wir beschränken uns deshalb auf die tabellarische Gegenüberstellung einiger charakteristischer Größen, die sich als Funktionale der Filterfunktion schreiben lassen und für gewisse Grenzfälle eine Beurteilung des Signal-Rausch-Verhaltens gestatten.
Zusätzlich ist es immer sinnvoll, einen Blick auf den Verlauf der Filterfunktion zu werfen, sintemal eine gefilterte spektrometrische Funktion mit zunehmendem Filterbreiten- zu Signalbreitenverhältnis immer mehr die Form der Filterfunktion annimmt.
Wir betrachten in diesem Abschnitt Hahnglättungsfilter ALM niedriger L- und M-Werte sowie die mehrfache Mittelwertfilterung A00K (K=1,2,3) mit den Filterfunktionen
aLM ≔ ALMd
  
(1)
bzw
a00(K)≔ A00Kd
(2)
Als Filterbreite (N) bezeichnen wir stets die halbe Breite des Intervalls, in dem die resultierende finite Filterfunktion a von null verschiedene Werte aufzuweisen hat gemäß a ∈ Wℓ (Konvention 1.2.2). Im Fall der K-fachfilterung bedeutet dies, dass
N = KÑ
  
(3)
wobei Ñ die Filterbreite des Ursprungsfilters A00 ist: a00 ∈ WÑℓ .
Abbildung 4.6.1 zeigt die Filterfunktionen mit der Breite N = 40. In Abbildung 4.6.2 sind die zugehörigen Frequenzgänge zusammengestellt (N=10).
Es zeigt sich, dass die prinzipielle Form unserer Filterfunktionen kaum von der Breite N abhängt (Edwards/Willson 1974). Wir werden deshalb zur Eliminierung komplizierter N-Abhängigkeiten sämtliche Funktionale für den Grenzfall N → ∞ konstruieren. Die gewonnenen Ergebnisse sind exakt für die kontinuierlichen Entsprechungen unserer Glättungsfilter und liefern bereits bei niedrigen N-Werten (unter 10) repräsentative Ergebnisse.

Abbildung 4.6.1


Abbildung 4.6.2

Wir beginnen mit der Rauschverstärkung.
 
Satz 4.6.1
Von allen finiten Glättungsfiltern A mit Ad ∈ Wℓ hat das Hahnglättungsfilter A00 (Mittelwertfilter, Beispiel 2.1.1) die kleinste Rauschverstärkung für weißes Rauschen.

Beweis: Definition 4.3.1 und Satz 4.4.1.
Da die Rauschverstärkung bei allen betrachteten Digitalfiltern proportional zu N-½ ist, haben wir mit

N→∞
1ϕ1(a) ≔
lim
 2N ||a||22
N→∞
 
(4)
ein geeignetes Maß zum Vergleich der Rauschverstärkungen bei fester Filterbreite (Tabelle 4.6.1).
 
Tabelle 4.6.1: A ↔ ϕ1(Ad) (Filterbreite bei fester Rauschverstärkung)
A00 1 A01 2.25
A10 1.2 A11 2.5
A200 1.3333 A02 3.5156
A00 1.4286 A12 3.786
A00 1.6317 A03 4.7852
A300 1.65 A13 4.7956

Im Bereich schwacher Filterung (kleiner systematischer Fehler bzw. kleines Filterbreiten- zu Signalbreitenverhältnis) ist die Deformation eines Signals proportional zum ersten nach μ0 nichtverschwindenden Moment der Filterfunktion (De Blasi et al. 1975, Bromba 1978). Bei Hahnglättungsfiltern ist dies das (2M+2)-te Moment (Satz 4.4.1). Wir wählen

N→∞
1ϕ2(a) ≔ 
lim
 μ2M+2(a) ||a||4M+42
N→∞
 
(5)
als Maß zur Beschreibung der Signaldeformation bei fester Rauschverstärkung oder der Rauschverstärkung bei fester Deformation (im Bereich schwacher Filterung!).
Während (gleiches M vorausgesetzt) die Hahnglättungsfilter A0M das Funktional ϕ1 minimieren (Satz 4.4.1), scheint das Funktional ϕ2 sein Minimum unter gewissen Nebenbedingungen (z. B. feste Zahl der Vorzeichenwechsel von a ∈ Wℓ im Bereich -N,...,N) im Fall L=1 anzunehmen (Gasser/Müller 1979 p23). Die Werte von ϕ2 sind nach M geordnet in der Tabelle 4.6.2 aufgeführt und stammen teilweise aus (Gasser/Müller 1979 p23).
 
Tabelle 4.6.2: A ↔ ϕ2(Ad) (Signaldeformation bei fester Rauschverstärkung (schwache Filterung))
A10   0.072  A11 0.1163 A12 0.5363 A13 4.845
A20 0.0729 A21 0.1189 A22 0.5521 A03 5.851
A30 0.0740 A01 0.1373 A02 0.6385
A200 0.0741
A300 0.0756
A00 0.0833

Man beachte, dass die Werte aus Tabelle 4.6.2 nur innerhalb einer Spalte (gleiches M) vergleichbar sind.
Geht es darum, die Verbesserung des Signal-Rauschverhältnisses (S/R) zu optimieren, ist die Effizienz (Bromba 1978) ein geeignetes Maß. Sie gibt das Verhältnis der S/R-Verbesserung an.
Als S/R betrachten wir, wie in der Spektrometrie üblich, das Verhältnis von Maximum einer geglätteten oder ungeglätteten spektrometrischen Funktion (welches sich ja im Nullpunkt befindet) zur Standardabweichung des überlagerten Rauschens. Die Effizienz ist durch

χ(a,f) ≔
<a,f>
||a|| ||f||
 
(6)
definiert, wobei a die Filterfunktion des Glättungsfilters und f die spektrometrische Funktion darstellt. Der Betrag der Effizienz kann Werte zwischen null und eins annehmen (Schwarzungleichung). Er ist genau dann maximal, wenn die Filterfunktion bis auf eine Konstante gleich der spektrometrischen Funktion ist. Offenbar macht die Infinität einer spektrometrischen Funktion (Satz 4.2.5 (iii) die exakte Realisierbarkeit des S/R-optimalen Digitalfilters unmöglich. Aus diesem Grund kann es nützlich sein, nach einer optimalen finiten Approximation zu suchen.
 
Satz 4.6.2
Sei ℋ der Hilbertraum (ℓ2;<,>) und sei P: ℋ  → Pℋ ein Projektor, dann gilt für die Effizienz (6)
g∈Pℋ
1χ(Pf,f) = 
max
 χ(g,f)
g∈Pℋ
 
(7)

Beweis: Eigenschaften des Projektors (Definition 1.5.2).

Setzen wir z. B. P ≔ W, dann besagt Satz 4.6.2, dass eine bei ±N abgeschnittene S/R-optimale Filterfunktion die S/R-optimale finite Filterfunktion ist. Nehmen wir für P einen Gramprojektor, erhalten wir auf direktem Wege die S/R-optimale finite Polynomnäherung, die hinsichtlich einer Rekursivdarstellung Vorteile haben kann. Jedoch erscheint dieser Aufwand angesichts der Tatsache, dass man auch mit Hahnglättungsfiltern sehr gute Ergebnisse erzielen kann, etwas übertrieben.

Wir definieren für Gaußfunktionen fβ der Breite β (ϕ3) bzw. für Lorentzfunktionen fβ der Breite β (ϕ4) das asymptotische Maximum der Effizienz bzgl. des Breitenverhältnisses N/β

N→∞
β∈]0,∞[
1ϕ3/4(a) ≔ 
lim
max
 χ(a,fβ)
N→∞
β∈]0,∞[
 
(8)
Die entsprechenden Zahlenwerte sind in Tabelle 4.6.3 bzw. 4.6.4 aufgeführt.
 
Tabelle 4.6.3 (Effizienzmaximum, Gauß)
A30 0.9988 1.93
A200 0.9979 1.60
A21 0.9979 2.72
A20 0.9976 1.67
A10 0.9927 1.36
A11 0.9811 2.34
A12 0.9727 3.33
A01 0.9466 1.91
A02 0.9455 2.87
A03 0.9447 3.85
A00 0.9434 0.98
Tabelle 4.6.4 (Effizienzmaximum, Lorentz)
A200 0.9816 2.49
A30 0.9786 2.93
A20 0.9751 2.51
A10 0.9658 2.02
A21 0.9539 4.20
A11 0.9440 3.60
A12 0.9330 5.18
A00 0.9065 1.39
A01 0.9040 2.88
A02 0.9032 4.44
A03 0.9029 6.01

Im Bereich starker Filterung (großes Filterbreiten- zu Signalbreitenverhältnis; die gefilterte spektrometrische Funktion nimmt die Form der Filterfunktion an) ist die Höhe des Maximums einer gefilterten spektrometrischen Funktion porportional dem Wert der Filterfunktion an der Stelle null (Papoulis 1977 p103). Mit

N→∞
1ϕ5(a) ≔ 
lim
 a[0]/||a||22
N→∞
 
(9)
haben wir ein signalunabhängiges asymptotisches Maß für die Amplitudenerhaltung einer spektrometrischen Funktion durch ein Glättungsfilter mit Filterfunktion a bei fester Rauschverstärkung und starker Filterung (Tabelle 4.6.5).
 
Tabelle 4.6.5: A ↔ ϕ5(Ad) (Signalamplitude bei fester Rauschverstärkung (starke Filterung)
A200 1.5   A11 1.125
A300 1.3636 A12 1.0833
A30 1.3406 A00 1
A20 1.3125 A01 1
A10 1.25 A02 1
A21 1.1658 A03 1

Für allgemeine Glättungsfilter besitzt ϕ5 keine obere Schranke - selbst dann nicht, wenn die Filterfunktion ℓ2 -monoton ist. Jedoch läßt sich für den letzteren Fall eine untere Schranke (ungünstigster Fall) angeben.
 
Satz 4.6.3
Sei a die ℓ2 -monotone Filterfunktion eines Glättungsfilters. Dann gilt
a[0]/||a||22≥ 1
  
(10)
Gleichheit tritt genau dann auf, wenn a die Filterfunktion des Mittelwertfilters (A00d) ist.

Beweis: Satz 4.3.2.

Offenbar gilt (10) auch für allgemeinere Funktionenklassen, wahrscheinlich sogar für alle Hahnglättungsfilter.
Die Funktionale ϕ1 bis ϕ5 lassen sich als Maße für die glättungsbedingte Signaldeformation in drei verschiedenen Bereichen (schwache Filterung, mittlere oder S/R-optimale Filterung und starke Filterung) bei fester Rauschverstärkung nutzen. Selbstverständlich kann man die Signaldeformation in allen Fällen auch auf die Filterbreite N beziehen. Die Umrechnung erfolgt dann mit Hilfe von ϕ1.

4.7 Anwendungshinweise

Wir wollen hier zwei Fälle betrachten, die bei der Glättung von Spektren häufig anzutreffen sind:
(  i) Man weiß (fast) nichts über die zu erwartenden Linien oder ist zu träge, sich irgendwelche Gedanken zu machen.
( ii) Man kann wenigstens eine untere Grenze für die Linienbreite angeben und kann Aussagen über die Linienform machen.
Im Fall (i) empfiehlt sich die Anwendung von Glättungsfiltern mit ℓ2 - monotoner Filterfunktion, also z. B. A00, A10, A002. Sollte man dann zufälligerweise einmal zu kräftig filtern, können dennoch keine als zusätzliche Signalaneile missverstandenen Nebenmaxima (sidelobes) auftreten. Diese Möglichkeit besteht bei allen Hahnfiltern, wenn M größer als eins ist (siehe Abbildung 4.6.1), da eine gefilterte spektrometrische Funktion bei starker Filterung die Form der Filterfunktion annimmt. Sogar bei M = 1 muß man mit einem Nebenmaximum rechnen, wenn die Linie auf einem schrägen Untergrund sitzt.

Die Wahl der ℓ2 - monotonen Filterfunktion ist nicht sonderlich kritisch - wenn man von der des Mittelwertfilters absieht: Aus Tabelle 4.6.1 entnehmen wir, dass das Mittwertfilter A00 zwar mit der kleinsten Rauschverstärkung bei fester Filterbreite glänzt; zum Ausgleich sind jedoch die Signaleigenschaften (Tabelle 4.6.2 ff) in fast allen Fällen die schlechtesten. Zudem ergibt sich im Bereich starker Filterung eine starke Verflachung des Maximums.
Umgekehrt läßt sich aus dem Auftauschen filterformähnlicher Linien auf zu starke Filterung (bzw. sehr schmale Linien oder Ausreißer großer Amplitude) schließen. Deshalb ist es sinnvoll, eine Filterfunktion zu wählen, die optisch gut von der zu erwarteten Linienform unterschieden werden kann. Die zweifache Mittelwertfilterung A002 (mit dreieckformiger Filterfunktion) und A10 scheinen in Fall (i) die geeignetsten "Fool-proof-Filter" zu sein, zumal auch die Unterdrückung höherer Frequenzen bei beiden Filtern spürbar besser als beim Mittelwertfilter ist. Das Mittelwertfilter kommt also nur dann in Frage, wenn keine Kompromisse in Bezug auf Rechenaufwand  gemacht werden können.
Nimmt man eine untere Grenze für die im Spektrum auftretenden Linienbreiten an (Fall(ii)), kann eine Filterbreite N so spezifiziert werden, dass

(α) die maximale Signaldeformation einen vorgegebenen Grenzwert nicht überschreitet,
(β) der statistische Fehler und der maximale systematische Fehler von gleicher Größenordnung sind,
(γ) die S/R-Verbesserung für die schmalste Linie maximal wird oder
(δ) das S/R für die gefilterte schmalste Linie gerade wieder auf das für die ungefilterte absinkt.
Die Kriterien (α) und (β) sind insbesondere im Bereich schwacher Filterung nützlich. Man beachte, dass der Fall (β) die zusätzliche a-priori-Kenntnis der mittleren Rauschamplitude benötigt. Im Bereich schwacher Filterung sind die Hahnglättungsfilter A0M (Savitzky-Golay-Glättungsfilter) zu empfehlen (Ziegler 1981). Allerdings bringt auch hier der Übergang zu höheren L (insbesondere L = 1) Vorteile in Bezug auf Signaldeformation bei festem Rauschen und fester Zahl der Vorzeichenwechsel der Filterfunktion (Tabelle 4.6.2), wenn der Implementierungsaufwand nicht die entscheidende Rolle spielt. Diese Vorteile lassen sich auch durch Zwei- oder Mehrfachanwendung der Savitzky-Golay-Glättungsfilter A0M erreichen.

Die Kriterien (γ) und (δ) entsprechen mittlerer und starker Filterung. Während im Fall (γ) noch die Anwendung von Hahnglättungsfiltern ALM mit M > 0 denkbar ist, sollten im Fall (δ) unbedingt die Hinweise für Fall (i) beachtet werden. Weitere Anwendungsfälle und -hinweise entnehme man (Bromba/Ziegler 1981, Ziegler 1981).
Ein weiteres Kriterium zur Einstellung der Filterbreite findet sich in (Wertheim 1975).

Abbildung 4.7.1 zeigt das ENDOR-Spektrum eines mit Rh3+ dotierten AgCl-Kristalls, das dankenswerterweise von Dr. J. R. Niklas (Arbeitsgruppe Prof. Dr. J.-M. Spaeth, Universität Paderborn) zur Verfügung gestellt wurde. Die Messung umfasst insgesamt 6651 Werte. Das relativ stark verrauschte Spektrum wurde mit dem Savitzky-Golay-Glättungsfilter A02 , N=1, 4, 9, 16, 25, 49 und 81 bearbeitet. Man sieht deutlich, wie sich mit zunehmender Filterbreite die Signalstrukturen zunächst immer deutlicher hervorheben, um alsdann allmählich zu "verschmieren". Man beachte, dass die beschriebenen Vorteile verschiedener Glättungsfilter beim gewählten (stark verrauschten) Spektrum kaum zum Tragen kommen, da sich die qualitativen Unterschiede hauptsächlich im Bereich kleiner Fehler bemerkbar machen, also in einem Bereich, der zeichnerisch schlecht darzustellen ist (Bromba/Ziegler 1981). Beim vorliegenden Spektrum zeigen deshalb dei verschiedenen Glättungsfiltertypen bei vergleichbarer Rauschverstärkung ein visuell kaum unterscheidbares Verhalten, so dass Abbildung 4.7.1 für alle betrachteten Filterarten als typisch angesehen werden kann.

Abbildung 4.7.1

Anhang

Formelsammlung

Hahnpolynome (Karlin/McGregor 1961, Chihara 1978 p161) pm(L)

Rekursionsformel: Seite 61 und (Bromba/Ziegler 1980)
Norm:
m+1+2L
||pm(L)||CL2 = 22L+1((m+L)!)2((2m+2L+1)m!(m+2L)!)-1
∏
 (N + k/2)
k=-m+1
   
Führender Koeffizient (Koeffizient der höchsten Potenz):
2-m (
2m+2L
m
 )
   
p0(L)[n] =  1  
p1(L)[n] =  (L+1)n
p2(L)[n] =  (L+2)((2L+3)n2 - N(N+L+1))/4
p3(L)[n] =  (L+2)(L+3)((2L+5)n3 - (3N+3(L+1)N-(L+1)n)/12
p4(L)[n] =  (L+3)(L+4)((2L+5)(2L+7)n4 - (2L+5)(6N2+6(L+1)N-4L-5)n2 + 3(N-1)N(N+L+1)(N+L+2))/96
p5(L)[n] =  (L+3)(L+4)(L+5)((2L+7)(2L+9)n5 - (2L+7)(10N2+10(L+1)N-5(2L+3))n3 + (15N4+30(L+1)N3+(3L2+L-7)N2-25(L+1)(L+2)N+6(L+1)(L+2))n)/480

Grampolynome (L=0, Bromba 1978, Hildebrand 1974 p350) pm(0)

p6(L)[n] =  (231n6 - (315N2+315N-735)n4+ (105N4+210N3-420N2-525N+294)n2 - 5(N-2)(N-1)N(N+1)(N+2)(N+3))/16   
p7(L)[n] =  (429n7 - (693N2+693N-2310)n5 + (315N4+630N3-1890N2-2205N+2121)n3 - (35N6+105N5-280N4-735N3+497N2+882N-180)n)/16

Krawtchoukpolynome (Gottlieb 1938, Chihara 1978 p161) pm

L→∞
pm≔
lim
 L-mpm(L)
L→∞
   
Rekursionsformel: (Bromba/Ziegler 1980)
Norm (3.4):
m
||pm||B2 = 22N-2m(m!)-1
∏
 (2N + 1 - k) =
k=1
 
22N-2m
 (
2N
m
 )
Führender Koeffizient: (m!)-1
p0 bis p5 siehe (Bromba/Ziegler 1980)

Gram- und Hahnglättungsfilter

L=0: M=1,2 (Madden 1978); M=0,1,2 (Bromba/Ziegler 1979) 
M=0,1,2,3 (Bromba 1978); M=3 (Bromba/Ziegler 1981)
A10d[n]2= 
 α10((N+1)2 - n2)
α10≔ 
 6/((2N+1)(2N+2)(2N+3))
A11d[n]2=  α11(3N2+6N-2 - 7n2)((N+1)2 - n2)
α11≔ 
 15/((2N-1)(2N+1)(2N+2)(2N+3)(2N+5))
A12d[n]2=  α12(15N4+60N3-15N2-150N-36 - 45(2N2+4N-5)n2 + 99n4)((N+1)2 - n2)
α12≔ 
 35/((2N-3)(2N-1)(2N+1)(2N+2)(2N+3)(2N+5)(2N+7))
A20d[n]2=  α20((N+1)2 - n2)((N+2)2 - n2)
α20≔ 
 30/((2N+1)(2N+2)(2N+3)(2N+4)(2N+5))
A21d[n]2=  α21(N2+3n-1 - 3n2)((N+1)2 - n2)((N+2)2 - n2)
α21≔ 
 210/((2N-1)(2N+1)(2N+2)(2N+3)(2N+4)(2N+5)(2N+7))
A30d[n]2=  α30((N+1)2 - n2)((N+2)2 - n2)((N+3)2 - n2)
α30≔ 
 140/((2N+1)(2N+2)(2N+3)(2N+4)(2N+5)(2N+6)(2N+7))
Rekursivdarstellungen:
L=0: M=0,1,2 (Bromba 1978, Bromba/Ziegler 1979)
A10f[k] =  3A10f[k-1] - 3A10f[k-2] + A10f[k-3] 
+ α10(2N+1)(f[k+N] - f[k-N-3])
- α10(2N+3)(f[k+N-1] - f[k-N-2])
A20f[k] =  5A20f[k-1] - 10A20f[k-2] + 10A20f[k-3] -5A20f[k-4] + A20f[k-5]
+ 2α20(2N+1)(2N+2)(f[k+N] - f[k-N-5])
- 4α20(2N+1)(2N+5)(f[k+N-1] - f[k-N-4])
+ 2α20(2N+4)(2N+5)(f[k+N-2] - f[k-N-3])
A11f[k] =  5A11f[k-1] - 10A11f[k-2] + 10A11f[k-3] -5A11f[k-4] + A11f[k-5]
- α11(2N-2)(2N-1)(2N+1)(f[k+N] - f[k-N-5])
+ 2α11(2N+5)(2N-1)(3N-1)(f[k+N-1] - f[k-N-4])
- 2α11(2N-1)(2N+5)(3N+7)(f[k+N-2] - f[k-N-3])
+α11(2N+3)(2N+5)(2N+6)(f[k+N-3] - f[k-N-2])

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Symbolliste

{ } Menge
ℕ0, ℕ Menge der natürlichen Zahlen mit und ohne Null
ℤ Menge der ganzen Zahlen
ℝ Menge der reellen Zahlen
ℂ Menge der komplexen Zahlen
]α,β] ≡ {γ ∈ ℝ | α < γ ≤ β}
]0,∞[ ≡ {γ ∈ ℝ | 0 < γ < ∞}
]α,β]\{0} ≡ {γ ∈ ]α,β] | γ ≠ 0}
Λ "für alle" (logisches UND)
⇒ "daraus folgt"
≡ globale Definition
≔ lokale Definition
sup Supremum (kleinste obere Schranke)
max Maximum
min Minimum
esssup wesentliches Supremum (Zygmund 1977 p18)
● punktweise Multiplikation
δmn Kronecker-Delta
∏( ) Produkt (Klammer beachten!)
0 null

Stichwortverzeichnis

absolutsummierbare Funktionen
Abtastung
Analogfilterung
antisymmetrische Digitalfilter
antisymmetrische Funktionen
Auflösungsverbesserung
beschränkte Funktionen
beschränkte Operatoren
Beschränktheit
Breite
Dekonvolution
Deltafunktion, diskret
Differenziation, diskret
Differenzenoperator
digitales RC-Filter
Digitalfilter
diskrete Funktion
Effizienz
Effizienzmaximum
einfache Polynomfilter
Einheitsfilter
Einheitsoperator
Eins-Norm
Ergodizität
exakt berechenbar
Faltungsoperator
farbiges Rauschen
Fehler, systematischer
Fehler, statistischer
Filterbreite
Filterfunktion
finit
finite Digitalfilter
finite Funktionen
Fool-proof-Filter
Fourierreihe
Fouriertransformation
Frequenzabtastfilter
Frequenzgang
Frequenzraum
Funktionen
Funktionale
Gaußfunktion
gaußverteilt
glättend
glättender Auflösungsverbesserer
Glättungsfilter
Gramfilter
Gramglättungsfilter
Grampolynome
Grenzzyklen
Hahnfilter
Hahnglättungsfilter
Hahnpolynome
Halbwertsbreite
Hilbertraum
Hilbertraumapproximation
Hochpass-Bandpass-Transformation
Hochpass-Tiefpass-Transformation
idealer Tiefpass
inverse Fouriertransformation
Inversfilterung
invertierbare Digitalfilter
iterative Filterung
kausale Digitalfilter
kausale Funktionen
Konvexkombination
Korrelationsfunktion
Korrelationsoperator
Krawtchoukfilter
Krawtchoukpolynome
Least-Squares-Digitalfilter
Linearität
Linien
Linienverbreiterung
Lorentzfunktion
Maximumverschiebung
Mehrfachfilterung
Messwertfolgen
Mittelwertfilter
Momente
Momentenerhaltung
monotone Funktionen
Multiplikationsoperator
Normen
Operatoren
Operatornorm
orthogonale Funktionen
orthogonales Komplement
Orthonormalsystem
Parsevalgleichung
poissonverteilt
Polynomerhaltung
Polynomfilter
Projektionsoperator
Projektionstheorem
Projektor
quadratsummierbare Funktion
Räume
Rauschen
Rauschverstärkung
RC-Tiefpass
Realisierbarmachung
Rechenregeln
Rekursionsformel
Rekursivdarstellung
rekursive Digitalfilter
Samplingtheorem
Savitzky-Golay-Glättungsfilter
schwache Filterung
Schwarzungleichung
Signal
Signaldeformation
Signal-Rausch-Verhältnis
Skalarprodukte
spektrometrische Funktionen
spektrometrische Signale
Spektrum
Spiegelung
Spiegelungsoperator
Stabilisation
Stabilität
Standardabweichung
starke Filterung
Störung
stückweise Zusammensetzung
symmetrische Digitalfilter
symmetrische Funktionen
Tiefpass
Transformation
Translation
Translationsinvarianz
Translationsoperator
Transposition
trigonometrische Filter
trigonometrischer Tiefpass
unitärer Operator
unitäre Transformation
Varianz
Vektor
Vektorraum
Vertauschbarkeit
Vertauschungsrelationen
weißes Rauschen
Wertebereich
Zentraler Grenzwertsatz